Lei de Potência A relação entre altura e tempo de queda não é linear

1. Expoentes de Hurst, Leis de Potência e Eficiência no Mercado de Câmbio BrasileiroSergio Da SilvaDepartamento de Economia, Universidade Federal de SantaCatarinaRaul MatsushitaDepartamento de Estatística, Universidade de BrasíliaIram GleriaDepartamento de Física, Universidade Federal de AlagoasAnnibal FigueiredoDepartamento de Física, Universidade de Brasília

2. ResumoEncontramos evidência de eficiência informacional fraca no mercado de câmbio brasileiro diário usando expoentes de Hurst(Hurst 1951, 1955, Feder 1988)Os expoentes de Hurst oferecem uma alternativa vinda da física estatística às abordagens econométricas tradicionais para a eficiência

3. ResumoMostramos que uma tendência rumo à eficiência foi revertida depois da crise cambial de 1999Também encontramos leis de potência (Mantegna and Stanley 2000) nas médias, volatilidades, expoentes de Hurst, tempos de autocorrelação e índices de complexidade dos retornos para crescentes incrementos de tempoNossos resultados também aparecem para uma série do preço do dólar de alta frequência

4. KeywordsMercado do DólarEficiência InformacionalEconofísica Leis de Potência Expoentes de Hurst

5. Eficiência InformacionalAssociada a passeios aleatóriostipos 1, 2 e 3No passeio aleatório tipo 1 os incrementos são independentes (não correlacionados) e identicamente distribuídosComo os incrementos pertencem a uma mesma distribuição, argumenta-se que o passeio aleatório tipo 1 não serve para séries com quebras estruturais(caso da série diária do preço do dólar)

6. Eficiência InformacionalNo passeio aleatório tipo 2 os incrementos são independentes, mas provêm de diferentes distribuiçõesNo passeio aleatório tipo 3 há diferentes distribuições, mas os quadrados dos incrementos são auto-correlacionados (embora os incrementos sejam ainda independentes)

7. Eficiência InformacionalEficiência Forte: o preço do ativo já leva em conta toda a informação disponível, pública e privada (inside trading)Eficiência Semi-Forte: o preço do ativo já leva em conta toda a informação pública disponível Eficiência Fraca: o preço do ativo já leva em conta a informação disponível em sua série históricaTestes de séries temporais de única variável buscam verificar a existência de eficiência fraca

8. Eficiência InformacionalExemplos de testes econométricos para a eficiência fraca são os efeitosintraday, dia da semana, sazonalidade dos retornose os testesde autocorrelação, Runs, razão de variância, de lucratividade de regras de filtro ou análise técnicae de existência de padrão não-linear nos retornos (Laurini & Portugal 2002)

9. EconofísicaNeologismo utilizado para o ramo da física dos sistemas complexosque procura fazer um levantamento completo das propriedades estatísticas dos mercados financeirosusando o imenso volume de dados agora disponíveise a metodologia de trabalho da física estatística(Mantegna & Stanley 2000)Pode ser vista como uma abordagem alternativa de finanças

10. Lei de PotênciaReta em um log-log plotA lei de Newton de queda livre é um exemplo de lei de potênciaSoltando um objeto de uma torre

11. Lei de PotênciaA relação entre altura e tempo de queda não é linear

12. Lei de PotênciaMas o log do tempo de queda versus log da altura de queda é uma retaInclinação = ½  escalonamento gaussiano

13. Lei de Potência

14. Lei de Potência

15. Lei de PotênciaIntuiçãoUma lei de potência sem escala e não gaussiana significa que não há um evento típicoNão há diferença qualitativa entre um evento comum e outro extremoUm evento extremo não precisa ter causaA causa de um evento comum pode ser a mesma de um evento extremoAnalisar a situação inicial não serve para predizer um evento

16. Expoente de HurstO desvio padrão em séries independentes e normalmente distribuídas se comporta comoondeH = ½ e t é tempo(Gnedenko and Kolmogorov 1968)O expoente dessa relação de escalonamento entre o desvio padrão de uma série temporal e os incrementos de tempo é o expoente de Hurst

17. Expoente de HurstH = ½: movimento browniano (passeio aleatório), i.e. um processo aleatório sem memória longaA hipótese do mercado eficiente supõe então H = ½Valores diferentes de ½ são indicativos de longa memória e de que os dados não são independentes

18. Expoente de HurstValores entre ½ e 1 indicam dependência longa positiva: séries com persistência e trend-reinforcingValores positivos menores do que ½ indicam dependência longa negativa: tendências passadas tendem a se reverter no futuro (anti-persistência)

19. Expoente de HurstCálculo usando Chaos Data Analyzer(Sprott & Rowlands 1995)Uma vez que o valor da variável, em média, se distancia de sua posição inicial em um montante proporcional à raiz quadrada do tempo (quando ocorre H = ½),o programa plota o deslocamento contra o tempo, usando cada ponto da série como condição inicial: a inclinação da curva é o expoente de Hurst(Sprott 2003)

20. Expoente de HurstCálculo por rescaled range (R/S) analysis(Hurst 1951)Como o deslocamento da variável escalona com a raiz quadrada do tempo,Hurst expressou o deslocamento absoluto em termos de desvios cumulativos reescalonados da médiae definiu tempo como o número da dados (n) usados

21. Expoente de HurstO expoente de escalonamento da relação(onde c é uma constante) é agora o expoente de HurstSe os dados forem independentes, a distância percorrida vai aumentar com a raiz quadrada do tempo e H = ½

22. DadosSérie diária:2 de janeiro de 1995 a 31 de agosto de 2006Fonte: website do Federal Reserve Série intraday (espaçada em 15 minutos):9h30 de 19 julho de 2001 até 16h30 de 14 de janeiro de 2003 Fonte: Agora Senior Consultoria

23. Série Diária

24. Retornos da Série Diária

25. Série Diária

26. Série Intraday

27. Retornos da Série Intraday

28. DadosA série diária apresenta raiz unitária em níveis, mas fica estacionária em primeira diferençaIsto pode ser visto com o teste de Perron para séries com quebras estruturais (Moura & Da Silva 2005)Assim, os retornos diários são estacionários

29. DadosA série diária apresenta uma quebra ao olho nu em 13 de janeiro de 1999, quando ocorreu uma crise cambialO regime de câmbio fixo, ou “âncora cambial”, foi substituído pelo câmbio flutuanteMas a média é semelhante nos dois regimesA volatilidade no regime de câmbio flutuante é dez vezes maior, mas isso não afeta a estacionaridade da média dos retornos

30. Dados

31. Leis de Potência nos Momentos EstatísticosEstudo dos retornosvariando os incrementos de 1 a 1000

32. Leis de Potência nos Momentos EstatísticosQuando aumenta,as médias e volatilidades crescem (como esperado)Mas o crescimento é governado por leis de potência

33. Lei de Potência nas Médias da Série DiáriaInclinação ≠ ½  escalonamento não gaussiano

34. Lei de Potência nas Médias da Série Diária

35. Lei de Potência nas Médias da Série IntradayInclinação ≠ ½  escalonamento não gaussiano

36. 0 0 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 -1 -1 -1.2 -1.2 -1.4 -1.4 y = 0.5331x − 1.5889 y = 0.4195x − 1.4791 -1.6 -1.6 R = 0.9993 2 R 2 = 0.9633 -1.8 -1.8 0 0.5 1 1.5 2 0 1 2 3 Lei de Potência nas Volatilidades das Séries Diária e IntradayInclinação ≠ ½  escalonamento não gaussiano

37. Leis de Potência nos Momentos EstatísticosOs momentos estatísticos podem ser expressos comoonde o efeito de nos momentos será maior,quanto maior for(Gleria, Matsushita & Da Silva 2002)

38. Leis de Potência nos Momentos EstatísticosEscalonamento nos momentos é chamado de “structure function analysis” e pode ser usado para fins de previsão (Richards 2004) Ele também está relacionado ao grau de multi-fractalidade de uma série (Schmitt et al 2000) e pode informar o tipo da sua distribuição subjacente

39. Eficiência e Hurst Usando o CDA, para a amostra inteira de retornos simples da taxa diária real-dólar, H = 0.54 Este valor é parecido para porções dos dados (tabela anterior) Para os dados de alta frequência, H = 0.52 Estes valores são compatíveis com eficiência fraca, i.e. são levemente diferentes de ½ Mas são também compatíveis com existência de autocorrelação

40. Eficiência e Hurst Aumentando na definição dos retornos, esperamos que os expoentes de Hurst aumentem, porque há mais agregação Mas surpreendentemente há leis de potência governando o ritmo de crescimento dos expoentes

41. 0.002 0 0 -0.01 -0.05 0 -0.02 -0.03 -0.002 -0.1 -0.04 -0.15 -0.004 -0.05 -0.06 -0.006 -0.2 -0.07 -0.25 -0.008 y = 0.0753x − 0.1528 y = 0.0076x − 0.0216 y = 0.1692x − 0.2519 -0.08 R = 0.9687 2 R 2 = 0.8159 R 2= 0.9983 -0.09 -0.01 -0.3 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Eficiência e Hurst Escalonamento dos expoentes de Hurst para as séries de crescentes incrementos da série diária

42. 0 0 0 -0.02 -0.05 -0.005 -0.04 -0.1 -0.06 -0.15 -0.01 -0.2 -0.08 -0.1 -0.25 -0.015 y = 0.1015x − 0.2177 y = 0.1658x − 0.2807 y = 0.015x − 0.0454 -0.12 -0.3 R 2 = 0.9966 2 R = 0.9971 R 2 = 0.9256 -0.35 -0.14 -0.02 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 Eficiência e Hurst Escalonamento dos expoentes de Hurst para as séries de crescentes incrementos da série intraday

43. Eficiência e Hurst Encontramos valores ainda maiores fazendo o cálculo do expoente por R/S analysis Na linha reta de melhor ajustamento para a série diária H = 0.63 Para a série intraday, H = 0.62

44. Eficiência e Hurst A maioria dos estudos que encontra H ≠ ½ não inclui um teste de significância (Couillard & Davison 2005) Rodamos o teste sugerido por Couillard & Davison e econtramos que os expoentes calculados são estatisticamente significativos com p–value < 0.001

45. Eficiência e Hurst A R/S analysis costuma ser criticada por não conseguir distinguir memória curta de memória longa (Lo 1991) Lo sugere uma modificação que viesa contra a hipótese de dependência longa (Teverovsky et al 1999, Willinger et al 1999) Outra modificação sugerida é filtrar a R/S analysis com um processo AR(1)–GARCH(1, 1) (Cajueiro & Tabak 2004)

46. Eficiência e Hurst Também calculamos os expoentes em janelas móveis de tempo de quatro anos, i.e. 1008 observações de cada vez Isto permite saber se a série fica mais ou menos eficiente à medida que o tempo passa (Cajueiro & Tabak 2004) Precisa-se aqui também verificar se o histograma é normalmente distribuído: se for, há erros de mensuração

47. Eficiência e Hurst Os Hursts foram calculados por R/S analysis filtrada com um AR(1)–GARCH(1, 1) onde a, b, , , 1, 2 são os parâmetros estimados h(t) é a variância condicional dos resíduos s(t) é normalmente distribuído e independente de s(t'), t ≠ t'

48. Eficiência e Hurst O Hurst se aproxima de ½ por volta da observação 1010 (dezembro de 1998), depois de uma prévia ultrapassagem  o mercado fica mais eficiente De dezembro de 1998 em diante, o Hurst se afasta de ½

49. Eficiência e Hurst A figura anterior também mostra os limites de confiança a 95% usando o teste de Couillard & Davison, i.e. 0.4811 e 0.6277 (sob a hipótese nula de que a série é independente e gaussiana) A figura abaixo mostra que o histograma não tem formato de sino

50. Eficiência e Hurst Interpretação Até dezembro de 1998, o real era desvalorizado à média diária de 0.003% Esta informação poderia ser facilmente levada em conta pelos participantes do mercado  não surpreende que o mercado fique mais eficiente