360 likes | 682 Views
20. září 2012 VY_32_INOVACE_110204_Variace_bez_opakovani_II.cast_DUM. VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ II. část. o br.1. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlík
E N D
20. září 2012 VY_32_INOVACE_110204_Variace_bez_opakovani_II.cast_DUM VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍII. část obr.1 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlík Obchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace. Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.
O čem pojednává prezentace… V 1. části prezentovaného učiva o variacích jsme se setkali s úlohami na jednoduché využití variačního vzorce, s úlohami na úpravu jednoduchých matematických výrazů s variacemi a s úlohami, kde se variace vyskytovaly v rovnicích. Tato 2. část nám připomene, že variace je možné i využít v kombinatorických úlohách o počtu různých přirozených čísel bez opakování číslic nebo v příkladech na počet prvků, ze kterých se variace tvoří.
Variace bez opakování Připomeňme si, co znamená v kombinatorice pojem variace bez opakování: k-členná variace z n prvků je každá uspořádaná k-tice (tj. k-tice, v níž záleží na pořadí prvků) vytvořená pouze z těchto n prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše jednou. obr.2
Variace bez opakování Abychom mohli opět počítat s variacemi, je třeba si znovu připomenout dva základní variační vzorce! obr.2
1. vzorec pro počet variací pomocí faktoriálu: Poznámka 1: Označení V(k,n) čteme: „variace k-té třídy z n prvků“ Poznámka 2: n-faktoriál se definuje jako: obr.2
2. vzorec pro počet variací Pro k, n N0; k n platí: obr. 2
Variace bez opakování V následujících sedmi variačních úlohách si přiblížíme další využití obou variačních vzorců, které už známe z minulé prezentace. obr. 1
Úloha 1 Kolik různých šesticiferných přirozených čísel, v nichž se žádná číslice neopakuje, lze sestavit z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ? obr. 3
Řešení úlohy 1 Šesticiferná přirozená čísla mohou začínat na libovolnou číslici ze zadaných číslic, ale nikdy nesmí začínat nulou! Obsazujeme tedy šest pozic v čísle sedmi číslicemi, ale musíme přitom vyloučit všechny uspořádané šestice, které začínají nulou: _ _ _ _ _ _ - 0 _ _ _ _ _ (k=6, n=7) - (k=5, n=6) Pomocí variací lze tedy psát: Existuje celkem 4320 těchto čísel. obr.1
Úloha 2 Kolik různých: a) lichých trojciferných přirozených čísel, b) sudých čtyřciferných přirozených čísel lze sestavit z číslic 0, 1, 2, 5, 8 tak, že se žádná číslice neopakuje? obr. 3
Řešení úlohy 2 a) Lichá trojciferná čísla musí končit na číslice 1 nebo 5, nesmí začínat číslicí 0. Schematicky tuto situaci znázorníme: _ _ 1 - 0 _ 1 nebo_ _ 5 - 0 _ 5 (n=4,k=2) – (n=3,k=1) Pomocí variací bez opakování lze psát:
Řešení úlohy 2 b) Sudá čtyřciferná čísla končí na číslice 0, 2, 8, ale nesmí začínat nulou, schematicky tuto situaci nejprve opět znázorníme: _ _ _ 0nebo _ _ _ 2 - 0 _ _ 2nebo _ _ _ 8 – 0 _ _ 8 Pomocí variací lze psát: Existuje60 čísel. obr. 2
Úloha 3 Kolik různých: a) přirozených čísel menších než 300, b) přirozených čísel větších než 5000 lze sestavit z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5 tak, že se žádná číslice neopakuje? obr. 3
Řešení úlohy 3 ad a) Přirozená čísla menší než 300 z číslic 0,1,2,3,4,5 bez opakování: a1) trojciferná čísla začínající na číslice 1 nebo 2: 1 _ _ nebo 2 _ _ , ve variacích zapisujeme:40 čísel a2) dvojciferná čísla nesmí začínat nulou, tzn. začínají na některou z číslic 1,2,3,4,5: 1 _ nebo 2 _ nebo 3 _ nebo 4 _ nebo 5 _, ve variacích zapisujeme: čísel a3) jednociferná přirozená čísla z daných číslic jsou kromě nuly všechna ostatní čísla (1,2,3,4,5), tj. celkem 5 čísel Celkem lze tedy sestavit 40 + 25 +5 = 70 různých přirozených čísel menších než 300.
Řešení úlohy 3 ad b) Přirozená čísla větší než 5 000 z číslic 0,1,2,3,4,5: b1) čtyřciferná přirozená čísla musí začínat na číslici 5: 5 _ _ _ (n=5, k=3) Ve variacích lze psát: b2) pěticiferná přirozená čísla nesmí začínat na číslici nula: _ _ _ _ _ - 0 _ _ _ _ (n=6,k=5) – (n=5,k=4) Ve variacích lze psát: b3) šesticiferná přirozená čísla nesmí začínat nulou: _ _ _ _ _ _ - 0 _ _ _ _ _ (n=6,k=6) – (n=5,k=5) Ve variacích lze psát: Celkem tedy existuje 60+600+600 = 1260 různých přirozených čísel větších než 5000. obr. 2
Úloha 4 Z kolika prvků lze vytvořit 30 variací 2. třídy bez opakování ? obr. 3
Řešení úlohy 4 Jedná se o variace 2.třídy bez opakování, tj. k=2, n=?. Počet těchto variací má být 30. Lze tedy psát: (podmínkou je: n ≥ 2, n) Podle variačního vzorce přepíšeme: Pomocí Viétových vzorců zapisujeme: Vyhovuje dvojice kořenů: Pro nejsou variace definovány (n ≥ 2), pro kořen provedeme zkoušku.
Řešení úlohy 4 Zkouška pro kořen : Kořen vyhovuje. Počet prvků pro vytvoření třiceti variací 2.třídy bez opakování je 6. obr. 2
Úloha 5 Zvětší-li se počet prvků o 2, zvětší se počet variací 2. třídy z těchto prvků vytvořených o 34. Kolik je prvků ? obr. 3
Řešení úlohy 5 Jedná se o variace 2. třídy bez opakování: Můžeme tedy sestavit rovnici: Podmínky jsou: Z obou podmínek plyne, že: Při řešení rovnice dostaneme: Pro kořen provedeme zkoušku. obr. 2
Řešení úlohy 5 Zkouška pro kořen : Kořen vyhovuje. Prvků je 8.
Úloha 6 Zmenší-li se počet prvků o 4, zmenší se počet variací druhé třídy z těchto prvků vytvořených třikrát. Kolik je prvků ? obr. 3
Řešení úlohy 6 Jedná se opět o variace 2.třídy bez opakování: Sestavíme tedy rovnici: Podmínky jsou: Z obou podmínek plyne: Při řešení rovnice dostaneme: Na dořešení kvadratické rovnice využijeme Viétovy vzorce: - nevyhovuje podmínce
Řešení úlohy 6 Pro kořen provedeme zkoušku. Zkouška pro kořen : Kořen vyhovuje. Prvků je 10. obr. 2
Úloha 7 Z kolika prvků lze vytvořit sedmkrát více variací třetí třídy než variací druhé třídy ? obr. 3
Řešení úlohy 7 Jedná se o variace 2.třídy resp. 3.třídy: Sestavíme rovnici: Podmínky jsou: Z podmínek plyne: Po úpravě podle variačního vzorce následně řešíme rovnici: Pro kořen provedeme zkoušku.
Řešení úlohy 7 Zkouška pro kořen Kořen vyhovuje. Prvků je 9. obr. 2
POUŽITÁ LITERATURA 1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 197. ISBN 80-7196-165-5.
CITACE ZDROJŮ Použité obrázky: 1) Search results - "math" - math 4 u color - Public Domain Clip Art [online]. [cit. 2012-09-20]. Dostupnépod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=search&cat=0&pos=1 2) People - StickFigures - Sticksm 010 - Public DomainClip Art [online]. [cit. 2012-09-20]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/albums/People__Stick_Figures/Stick_sm_010.png 3) People - StickFigures - Sticksm 005 - Public DomainClip Art [online]. [cit. 2012-09-20]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=32 Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint 2010.
Konec prezentace.Děkuji Vám za pozornost. Mgr. Daniel Hanzlík