1 / 30

VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ II. část

20. září 2012 VY_32_INOVACE_110204_Variace_bez_opakovani_II.cast_DUM. VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ II. část. o br.1. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlík

brinly
Download Presentation

VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ II. část

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 20. září 2012 VY_32_INOVACE_110204_Variace_bez_opakovani_II.cast_DUM VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍII. část obr.1 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlík Obchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace. Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

  2. O čem pojednává prezentace… V 1. části prezentovaného učiva o variacích jsme se setkali s úlohami na jednoduché využití variačního vzorce, s úlohami na úpravu jednoduchých matematických výrazů s variacemi a s úlohami, kde se variace vyskytovaly v rovnicích. Tato 2. část nám připomene, že variace je možné i využít v kombinatorických úlohách o počtu různých přirozených čísel bez opakování číslic nebo v příkladech na počet prvků, ze kterých se variace tvoří.

  3. Variace bez opakování Připomeňme si, co znamená v kombinatorice pojem variace bez opakování: k-členná variace z n prvků je každá uspořádaná k-tice (tj. k-tice, v níž záleží na pořadí prvků) vytvořená pouze z těchto n prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše jednou. obr.2

  4. Variace bez opakování Abychom mohli opět počítat s variacemi, je třeba si znovu připomenout dva základní variační vzorce! obr.2

  5. 1. vzorec pro počet variací pomocí faktoriálu: Poznámka 1: Označení V(k,n) čteme: „variace k-té třídy z n prvků“ Poznámka 2: n-faktoriál se definuje jako: obr.2

  6. 2. vzorec pro počet variací Pro k, n N0; k n platí: obr. 2

  7. Variace bez opakování V následujících sedmi variačních úlohách si přiblížíme další využití obou variačních vzorců, které už známe z minulé prezentace. obr. 1

  8. Úloha 1 Kolik různých šesticiferných přirozených čísel, v nichž se žádná číslice neopakuje, lze sestavit z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ? obr. 3

  9. Řešení úlohy 1 Šesticiferná přirozená čísla mohou začínat na libovolnou číslici ze zadaných číslic, ale nikdy nesmí začínat nulou! Obsazujeme tedy šest pozic v čísle sedmi číslicemi, ale musíme přitom vyloučit všechny uspořádané šestice, které začínají nulou: _ _ _ _ _ _ - 0 _ _ _ _ _ (k=6, n=7) - (k=5, n=6) Pomocí variací lze tedy psát: Existuje celkem 4320 těchto čísel. obr.1

  10. Úloha 2 Kolik různých: a) lichých trojciferných přirozených čísel, b) sudých čtyřciferných přirozených čísel lze sestavit z číslic 0, 1, 2, 5, 8 tak, že se žádná číslice neopakuje? obr. 3

  11. Řešení úlohy 2 a) Lichá trojciferná čísla musí končit na číslice 1 nebo 5, nesmí začínat číslicí 0. Schematicky tuto situaci znázorníme: _ _ 1 - 0 _ 1 nebo_ _ 5 - 0 _ 5 (n=4,k=2) – (n=3,k=1) Pomocí variací bez opakování lze psát:

  12. Řešení úlohy 2 b) Sudá čtyřciferná čísla končí na číslice 0, 2, 8, ale nesmí začínat nulou, schematicky tuto situaci nejprve opět znázorníme: _ _ _ 0nebo _ _ _ 2 - 0 _ _ 2nebo _ _ _ 8 – 0 _ _ 8 Pomocí variací lze psát: Existuje60 čísel. obr. 2

  13. Úloha 3 Kolik různých: a) přirozených čísel menších než 300, b) přirozených čísel větších než 5000 lze sestavit z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5 tak, že se žádná číslice neopakuje? obr. 3

  14. Řešení úlohy 3 ad a) Přirozená čísla menší než 300 z číslic 0,1,2,3,4,5 bez opakování: a1) trojciferná čísla začínající na číslice 1 nebo 2: 1 _ _ nebo 2 _ _ , ve variacích zapisujeme:40 čísel a2) dvojciferná čísla nesmí začínat nulou, tzn. začínají na některou z číslic 1,2,3,4,5: 1 _ nebo 2 _ nebo 3 _ nebo 4 _ nebo 5 _, ve variacích zapisujeme: čísel a3) jednociferná přirozená čísla z daných číslic jsou kromě nuly všechna ostatní čísla (1,2,3,4,5), tj. celkem 5 čísel Celkem lze tedy sestavit 40 + 25 +5 = 70 různých přirozených čísel menších než 300.

  15. Řešení úlohy 3 ad b) Přirozená čísla větší než 5 000 z číslic 0,1,2,3,4,5: b1) čtyřciferná přirozená čísla musí začínat na číslici 5: 5 _ _ _ (n=5, k=3) Ve variacích lze psát: b2) pěticiferná přirozená čísla nesmí začínat na číslici nula: _ _ _ _ _ - 0 _ _ _ _ (n=6,k=5) – (n=5,k=4) Ve variacích lze psát: b3) šesticiferná přirozená čísla nesmí začínat nulou: _ _ _ _ _ _ - 0 _ _ _ _ _ (n=6,k=6) – (n=5,k=5) Ve variacích lze psát: Celkem tedy existuje 60+600+600 = 1260 různých přirozených čísel větších než 5000. obr. 2

  16. Úloha 4 Z kolika prvků lze vytvořit 30 variací 2. třídy bez opakování ? obr. 3

  17. Řešení úlohy 4 Jedná se o variace 2.třídy bez opakování, tj. k=2, n=?. Počet těchto variací má být 30. Lze tedy psát: (podmínkou je: n ≥ 2, n) Podle variačního vzorce přepíšeme: Pomocí Viétových vzorců zapisujeme: Vyhovuje dvojice kořenů: Pro nejsou variace definovány (n ≥ 2), pro kořen provedeme zkoušku.

  18. Řešení úlohy 4 Zkouška pro kořen : Kořen vyhovuje. Počet prvků pro vytvoření třiceti variací 2.třídy bez opakování je 6. obr. 2

  19. Úloha 5 Zvětší-li se počet prvků o 2, zvětší se počet variací 2. třídy z těchto prvků vytvořených o 34. Kolik je prvků ? obr. 3

  20. Řešení úlohy 5 Jedná se o variace 2. třídy bez opakování: Můžeme tedy sestavit rovnici: Podmínky jsou: Z obou podmínek plyne, že: Při řešení rovnice dostaneme: Pro kořen provedeme zkoušku. obr. 2

  21. Řešení úlohy 5 Zkouška pro kořen : Kořen vyhovuje. Prvků je 8.

  22. Úloha 6 Zmenší-li se počet prvků o 4, zmenší se počet variací druhé třídy z těchto prvků vytvořených třikrát. Kolik je prvků ? obr. 3

  23. Řešení úlohy 6 Jedná se opět o variace 2.třídy bez opakování: Sestavíme tedy rovnici: Podmínky jsou: Z obou podmínek plyne: Při řešení rovnice dostaneme: Na dořešení kvadratické rovnice využijeme Viétovy vzorce: - nevyhovuje podmínce

  24. Řešení úlohy 6 Pro kořen provedeme zkoušku. Zkouška pro kořen : Kořen vyhovuje. Prvků je 10. obr. 2

  25. Úloha 7 Z kolika prvků lze vytvořit sedmkrát více variací třetí třídy než variací druhé třídy ? obr. 3

  26. Řešení úlohy 7 Jedná se o variace 2.třídy resp. 3.třídy: Sestavíme rovnici: Podmínky jsou: Z podmínek plyne: Po úpravě podle variačního vzorce následně řešíme rovnici: Pro kořen provedeme zkoušku.

  27. Řešení úlohy 7 Zkouška pro kořen Kořen vyhovuje. Prvků je 9. obr. 2

  28. POUŽITÁ LITERATURA 1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 197. ISBN 80-7196-165-5.

  29. CITACE ZDROJŮ Použité obrázky: 1) Search results - "math" - math 4 u color - Public Domain Clip Art [online]. [cit. 2012-09-20]. Dostupnépod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=search&cat=0&pos=1 2) People - StickFigures - Sticksm 010 - Public DomainClip Art [online]. [cit. 2012-09-20]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/albums/People__Stick_Figures/Stick_sm_010.png 3) People - StickFigures - Sticksm 005 - Public DomainClip Art [online]. [cit. 2012-09-20]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=32 Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint 2010.

  30. Konec prezentace.Děkuji Vám za pozornost. Mgr. Daniel Hanzlík

More Related