Vybrané dopravní modely

1. Vybrané dopravní modely 3. seminář OSA

2. Jednostupňová dopravní úloha

3. Komponenty modelu • Dodavatelé • Odběratelé • Dopravní trasy • Nákladové sazby přepravy

4. Dodavatelé • Nabízejí předmět přepravy • Maximální kapacity Odběratelé • Poptávají předmět přepravy • Minimální požadavky

5. Dopravní trasy • Nelze přepravovat záporné množství • Některé trasy mohou být uzavřené Účelová funkce • Minimalizují se přepravní náklady • Součin přepravovaného množství a ceny za přepravu jedné jednotky

6. Matematický zápis modelu xij – množství přepravovaného produktu od i-tého dodavatele k j-tému spotřebiteli ai – kapacita i-tého dodavatele bj – požadavek j-tého odběratele cij – cena za přepravu jednotky produktu od i-tého dodavatele k j-tému spotřebiteli xi1 + xi2 + … + xin ai i = 1, 2, …, m omezení kapacit dodavetelů x1j + x2j + … + xmj bj j = 1, 2, …, n zajištění požadavků odběratelů xij  0 nezápornost přepravovaného množství z = c11x11 + c12x12 + … + cmnxmn min. kritérium – minimalizace celkových nákladů Uzavřená trasa – prohibitivní sazba v účelové funkci

7. Postup řešení JDÚ • Vyvážení požadavků a kapacit • Nalezení přípustného výchozího řešení • Testování optimality aktuálního řešení • Není-li řešení optimální, přechod k novému přípustnému řešení, jinak konec • Zpět k bodu 3

8. Příklad Brambory Ze tří zemědělských farem dodáváme ročně brambory do čtyř skladů.Náklady na přepravu 1t v Kč od jednotlivých farem do skladů, kapacity farem a požadavky skladů v t jsou uvedeny v podkladové tabulce. Najděte optimální plán rozvozu – tj. při kterém budou dopravní náklady minimální. 1)      Je tato úloha vyvážená ? 2)      Najděte výchozí řešení pomocí VAM 3)      Vyřešte tento problém 4)      Interpretujte výsledné optimální řešení

9. Vyváženost dopravní úlohy • Rovnost součtu kapacit dodavatelů a součtu požadavků spotřebitelů • Převis na straně nabídky – fiktivní odběratel • Převis na straně poptávky – fiktivní dodavatel • Kapacita (požadavek) = |rozdíl N a P| • Přepravní sazby = 0

10. Nalezení výchozího řešení • Metoda severozápadního rohu • Indexová metoda • Vogelova aproximační metoda

11. Testování optimality řešení • Výpočet duálních hodnot ui a vj • Ve vhodné řadě zvolíme ui nebo vj rovno nule • Ve všech ostatních řadách dopočítáme ui a vj tak, aby pro všechna obsazená pole platilo, že ui + vj = cij • Řešení je optimální, pokud pro všechna neobsazená pole platí, že ui + vj – cij  0

12. Přípustnost nového řešení • Dantzigovy uzavřené obvody • Na nově obsazované pole přidáváme, na ostatních polích střídavě ubíráme a přidáváme • Nikde nesmí být záporné množství, proto přesouváme minimum z polí, kde ubíráme • Nesmíme rozhodit splnění omezujících podmínek, proto přičítáme (odčítáme) stejné množství

13. Příklad k procvičení Rozvoz kompostu Závod na kompostování přírodního odpadu zpracovává tento odpad ve třech od sebe vzdálených kompostárnách. Dopravní náklady na rozvoz kompostu jsou velmi vysoké. Odběratelé kompostu jsou čtyři, jsou známy vzdálenosti mezi kompostárnami a odběrateli, kapacity kompostáren a objednávky odběratelů. Která kompostárna má zásobovat jednotlivé odběratele, jestliže má být minimalizován celkový počet tunokilometrů?

14. Další typy dopravních problémů

15. Přiřazovací problém • Stejný počet dodavatelů a spotřebitelů (m) • Čtvercová matice sazeb • Přiřazení 1:1 • Silně degenerovaná řešení • Maďarská metoda

16. Maďarská metoda 1) Primární redukce – od každé řady odčítáme hodnou minimálního prvku 2) Vybíráme nezávislé nuly a vedeme krycí čáry - nula je nezávislá, je-li jediná v řádku nebo sloupci - krycí čáru vedeme přes řadu, která je kolmá na řadu nezávislé nuly 3) Je-li počet krycích čar menší než m => sekundární redukce: - vybereme minimum z nepřeškrtnutých prvků - toto minimum odečteme od nepřeškrtnutých polí - 1x přeškrtnutá pole necháme beze změny - 2x přeškrtnutá pole – k těmto minimum přičteme Zpěk k bodu 2 tak dlouho, dokud počet krycích čar není roven m

17. Příklad Navrhněte plán rozvozu aut do gararáží tak, aby celková ujetá vzdálenost byla minimální

18. Okružní dopravní problém • Problém pošťáka, problém obchodního cestujícího • Dána síť míst, která je potřeba projít tak, že • do každého místa se jde právě jednou • skončí se tam, odkud se začalo (uzavře se okruh), • Minimalizuje se délka trasy • Přibližné řešení • Metoda nejbližšího souseda • Vogelova aproximační metoda

19. Příklad Naplánujte trasu návštěv vybraných měst v ČR tak, aby celková ujetá vzdálenost byla minimální. Přepravní vzdálenosti jsou v tabulce:

20. Příklad k procvičení Naplánujte výlet po kopcích tak, aby celková délka trasy byla minimální

21. Analýza výsledků • Optimální řešení • Alternativní řešení • Suboptimální řešení • Analýza citlivosti vzhledem k změnám cen • Analýza citlivosti vzhledem k změnám pravých stran