LA TOMOGRAPHIE DE LA TERRE

1. LA TOMOGRAPHIE DE LA TERRE La Terre un objet complexe qu’il est difficile de pénétrer : observation indirecte La Terre est le siège de phénomènes physiques divers que nous pouvons enregistrer s’ils atteignent ou se manifestent à la surface de la Terre. Le Géoïde Document GRGS (A. Cazenave) Par Jean Virieux, Professeur Université de Nice-Sophia Antipolis

2. LA TERRE TRANSLUCIDE En 1889, pour la première fois, on a associé un séisme au Japon et un enregistrement à Potsdam en Allemagne. La sismologie moderne était née. • La Terre est transparente aux ondes Les séismes sont connus depuis la plus haute antiquité mais concernaient la zone source

3. UNE VISION NAIVE Les manifestations violentes à la surface du globe laissaient présager un monde de ténèbres et de chaleur comme nous le montre la vision de Jules Verne dans son livre

4. L’INTERIEUR DE LA TERRE • Connaissance avant 1900 sans sismologie globale ! (essentiellement grâce aux moments d’inertie et à la course de la Terre autour du Soleil) • Connaissance vers 1935 accumulation de données de temps de trajet sur ½ siècle ! • Connaissance vers 1985 interprétation des formes d’onde !

5. PROPAGATION DES ONDES La Terre est un objet mécanique au comportement complexe qui peut être analysé et interprété. Les échelles de temps caractéristiques le milliard d’années (goutte d’eau) le million d’années (corps visco-élastique) la centaine d’années (corps rigide) la journée (corps rigide : vibrations - atténuation) la fraction de seconde (corps rigide : vibrations) sept ordres de grandeur !!

6. Le mouvement des particules Ondes de volume • Onde P : onde compressive 5 km/s surface • Onde S : onde cisaillante 3 km/s surface Ondes de surface • Onde LQ : onde cisaillante 2.9 km/s surface • Onde LR : onde complexe 2.7 km/s surface

7. LES ECHELLES DE TEMPS • Le temps de la source de 0.1 sec à 100 sec (vit. de rupture) • Le temps entre ondes de 1 sec à plusieurs heures • Le temps d’observation des secondes à des jours

8. LES LONGUEURS TYPES • La longueur de la faille 200 km pour une vr=2 km/s • La distance entre discontinuités de qques mètres à qques 100 kms • La longueur du volume impliqué de qques kms à qques 1000 kms

9. Nomenclature: ondes converties • P : onde P manteau • S : onde S manteau • K : onde P noyau • I : onde P graine • J : onde S graine • c : onde réfléchie noyau • i : onde réfléchie graine • m : ordre des réflexions Dessiner onde PKP, PKKP, SKKKS=S3KS

10. Trains d’onde : hodochrone • Plus de 6000 temps d’arrivée de phases converties sur des discontinuités à l’intérieur de la Terre. • Construction de modèles de vitesse pour vérifier ces hodochrones Modèle JB ( 2 sec écart)

11. SIMULATION ONDE TERRE Programmes d’Alan L JONES représentant la propagation des ondes dans une Terre en coquilles concentriques

12. La propagation des ondes Notion de front d’onde • Front d’onde : particules vibrant en phase • Principe de Huygens : construction d’un front d’onde Notion de rayons • Rayons : trajectoire perpendiculaire aux fronts d’onde • Temps de propagation : vitesse de propagation

13. L’APPROCHE ASYMPTOTIQUE Approximation de l’optique Le front d’onde est conservé dans sa structure même s’il se déforme Milieu fortement hétérogène Introduction de la trajectoire orthogonale au front qu’est le rayon sismique Milieu faiblement hétérogène

14. Fronts d’onde Milieu inhomogène : les fronts d’onde « conservent » leur cohérence mais se « déforment ». Localement on a T2 T1 la lenteur est qui donne l’équation de l’eikonal

15. Les rayons sismiques • Rayon sismique trajectoire orthogonale aux fronts • Temps de propagation même en milieu inhomogène. Vibrations P et S comme en optique

16. Tracer/Lancer de rayons Géométrie cartésienne Géométrie sphérique • Construction des équations • la trajectoire du rayon dans un milieu quelconque défini par une vitesse continue v(x,y,z) ou une lenteur continue u(x,y,z) • le temps de parcours T(x,y,z) • l’amplitude A(x,y,z)

17. Milieu discontinu : un interface • Rupture du front d’onde • Conversion des ondes • Ondes à incidence critique • Rayons et temps encore valables si certaines valeurs sont conservées

18. Milieux discrets vers milieux continus Equation d’évolution du rayon sismique Extension à la géométrie sphérique

19. Approche Hamiltonienne A partir de l’eikonal définissant les fronts d’onde où le temps se conserve, on peut définir les trajectoires orthogonales dites bicaractéristiques qui suivent des equations différentielles ordinaires (ODE) d’évolution en fonction d’un paramètre d’échantillonnage comme le temps, l’abscisse curviligne ou tout autre paramètre monotone (géométrie différentielle pure qui peut s’exprimer suivant un formalisme hamiltonien) rayon s abscisse curviligne

20. Exemple de tracés de rayon • Indiquer le label de ce rayon • Caustique • Singularité • Temps de parcours • Amplitude

21. Champ de vitesse v(z) Les équations d’évolution deviennent La composante horizontale du vecteur lenteur est constante : la trajectoire se fait donc dans un plan dit plan de propagation dans lequel on peut définir le repère (xoz) où px est une constante p pour un rayon pointant vers le bas

22. Champ de vitesse v(z) A une profondeur maximale zp, le vecteur lenteur est horizontal suivant l’équation zp Si on considère une source à la surface comme le récepteur, on obtient avec p = usini En cartesien En sphérique

23. Structure de vitesse en profondeur • Structure radiale

24. Les discontinuités majeures • Croûte ou écorce terrestre (discontinuité de Mohorovicic (moho – 30 km) • Manteau (discontinuité de Gutenberg – 2900 km) • Noyau (discontinuité de Lehman – 5100 km) Zone d’ombre de la discontinuité de Gutenberg : épaisseur qqs kms

25. Les discontinuités mineures • Interface à 100-200 km • Interface à 670-700 km • Interface à 15 km (discontinuité de Conrad) Ces discontinuités sont à mettre en relation avec les structures lithosphériques, mésosphériques et sismogéniques. Elles ne s’étendent pas sur tout le globe

26. Comment reconstruire la structure ? • Problème direct (facile) à partir d’une structure de vitesse, il est possible de calculer les temps de parcours, la distance d’émergence et les amplitudes • Problème inverse (difficile) à partir des temps de parcours (et aussi des distances d ’émergence), il est possible de déduire la structure de vitesse : c’est la tomographie des temps plus difficile est la tomographie en diffraction qui utilise la forme d’onde et/ou l’amplitude

27. Approche tomographique • Problème très général médecine; océanographie; atmosphère • Problème difficile sans connaissance du milieu a priori (tomographie des temps) • Problème plus facile si un premier milieu peut être initialement construit car des techniques de perturbation peuvent être utilisées (tomographie des écarts de temps)

28. LA TOMOGRAPHIE DES TEMPS D’ARRIVEE • Il faut « inverser » le temps ou la distance d’émergence pour trouver z(u): on prendra la distance. • Problème d’Abel (1826) Détermination de la forme d’une colline à partir du temps mis par une boule parcourant la colline pour revenir à sa position initiale prise comme zéro en considérant toutes les vitesses verticales initiales

29. LE PROBLEME D’ABEL x Une particule de masse 1 et de vitesse initiale v0 atteint une hauteur maximale x donnée par x dx ds que nous prendrons comme valeur zéro pour l’énergie potentielle, ce qui nous donne l’équation suivante et son intégration: y On peut mettre sous la forme de l’intégrale d’Abel où t(x) est connu et f(x), la forme de la colline est à trouver : c’est une équation intégrale

30. LA SOLUTION EXACTE On multiplie et on intègre On inverse les intégrations On fait un changement de variable On différencie et on écrit suivant la forme attendue

31. LA SOLUTION D’ABEL En changeant de variable x en a-x et x en a-x, on a les formules standards Il faut que t(x) soit continu, que t(0)=0 et que t(x) ait une dérivée finie avec un nombre fini de discontinuités : la restriction la plus sévère est la continuité requise de la fonction t(x)

32. LA SOLUTION HERGLOTZ-WIECHERT-BATH HWB De la solution directe, on déduit la solution inverse qui donne après quelques manipulations une solution en cartésien dont on peut déduire une solution en sphérique On trouve r(v) pour une valeur de r/v En cartésien En sphérique

33. Structure de vitesse en profondeur • Profil de vitesse reconstruit sans a priori Un problème si décroissance de la vitesse

34. UN MILIEU INITIAL GRACE A LA METHODE HWB • Un milieu initial peut donc être construit • La formulation inverse exacte ne permet pas d’introduire des informations complémentaires, F. Press dès 1968 a préféré une exploration exhaustive de tous les profils de vitesse (5 millions à l’époque). La qualité du profil est évaluée à partir d’une fonction écart comme la somme des carrés de temps pointés et des temps calculés. On peut compliquer cette fonction écart en introduisant d’autres informations comme les relations avec la masse volumique et les moments d’inertie... • Exploration par méthode de grille, marche aléatoire, recuit simulé, algorithme génétique …

35. LA TOMOGRAPHIE DES ECARTS DE TEMPS D’ARRIVEE • Si nous connaissons un milieu initial, alors il est possible de procéder par perturbation en essayant d’estimer des écarts de vitesse à partir des écarts de temps d’arrivée. • Le problème inverse devient linéaire et peut donc se réaliser pour des vitesses dépendantes de x,y,z

36. Cas simple : petite perturbation • Structure initiale de vitesse • Recherche de petite variation de vitesse ou de lenteur • Approche linéaire

37. PETITES PERTURBATIONS • Considérons des perturbations du(x,y,z) • Faisons une approximation sur la courbe d’intégration qui sera le rayon dans le milieu initial pas de justification car si des petits écarts de vitesse induisent des petits écarts de temps (Principe de Fermat), la réciproque n’est pas vraie Problème linéaire

38. DESCRIPTION DE LA PERTURBATION DE VITESSE • Le champ de perturbation de vitesse (ou de lenteur) du(x,y,z) peut être décrit dans un cube maillé régulièrement en x,y,z pour simplification. On définit en chaque nœud une valeur ui,j,k. L’interpolation se fait suivant des fonctions de forme hi,j,k=1 pour i,j,k, nul pour les autres indices

39. LE PROBLEME INVERSE LINEARISE DT=ADM A une matrice creuse Temps lus : n (million) Paramètres : m (million)

40. LA RESOLUTION AU SENS DES MOINDRES CARRES • Le système linéaire peut se résoudre au sens des moindres carrés, ce qui revient à définir les équations normales dont l’inversion formelle donne la solution AtDT=AtADM DM=(AtA)-1AtDT • Le système est à la fois sous-déterminé et sur-déterminé suivant les zones considérées (beaucoup de rayons passent dans certains cubes alors que d’autres ne sont pas échantillonés par des rayons

41. Exemple : Massif Central

42. Tomographie globale • Variations de vitesse à 200 km : bonne corrélation avec structure superficielle • Variations de vitesse à 1325 km : bonne corrélation avec le géoïde Document W. Spakman

43. LE RIFT DE CORINTHE Une zone en extension où projet de forage profond Comment s’ouvre le rift corinthien ? Quels sont les mécanismes physiques (fractures, fluides, équilibre isostatique ???) Travail de Diana Latorre et de Vadim Monteiller

44. MILIEU 1D : HWB ET TIRAGE

45. IMAGE VITESSE Coupes horizontales

46. IMAGE VITESSE Coupes verticales P S

47. Le rapport Vp/Vs : présence de fluides ? Certains paramètres déduits portent des interprétations plus faciles comme le rapport Vp/Vs en relation avec la présence de fluides ou le produit Vp*Vs en relation avec la porosité Faveur pour le 2ème mécanisme ????

48. OÙ SONT LES CONVERTIES ? Travail actuel est de traquer les ondes converties sur un horizon subhorizontal

49. Peut-être entre la P et la S ?

50. Earthscope: the big foot 1995-2000 : Similar experiments all over the world in Seismology. Tomoves project compares favorably with other international projects. • New Century: • Ambitious projects • USARRAY (USA) • EarthSimulator (JAPAN)