La rotation de la Terre

1. La rotation de la Terre I - Historique et preuves de la rotation de la Terre II - La rotation de la Terre en tant que solide indéformable III - La rotation réelle de la Terre

2. I - Historique et preuves de la rotation de la Terre

3. Athènes bloque la progression de la science pour des raisons religieuses I.1 - Prise de conscience de la rotation de la Terre - Mythologie grecque : la Terre est plate comme une assiette -Thalès (625-547 av J-C) : la Terre ressemble à une galette : elle est en eau sur laquelle flotte de la terre - Pythagore (530 av. J-C) : première intuition de la Terre comme une sphère - Aristarque (310-230 av. J-C) : il place le Soleil au centre du monde et non plus la Terre. La Terre tourne autour du soleil et sur elle-même - Copernic (1473-1543) : il reprend les travaux d’Aristarque. Définition du système héliocentrique

4. I.2 – Preuves de la rotation de la Terre • Il faut attendre Copernic pour prendre conscience de la rotation de la Terre mais plus tard pour en avoir enfin des preuves irréfutables. • Les preuves irréfutables de la rotation de la Terre : • Le pendule de Foucault • La force de Coriolis • L’aplatissement de la Terre

5. Le pendule de Foucault Expérience effectuée en 1851 au Panthéon

6. Le pendule de Foucault (suite) - Au pôle nord : période T = 24h, le pendule oscille dans un plan fixe et la Terre "tourne au-dessous" - A l’équateur : période T = , il n’y a aucune force perpendiculaire, il y a donc une oscillation et aucune rotation

7. L’effet Coriolis (1835) Force de Coriolis sur un projectile de masse m (pour un référentiel lié à la Terre) :    fc = - 2 m e  vr  Vr = vitesse du projectile (essentiellement radiale)  e = vitesse angulaire de la Terre Déviation vers l’est des corps en chute libre (première vérification expérimentale de l’existence de la force d’inertie de Coriolis)

8. L’aplatissement de la Terre • La Terre, considérée comme un "fluide", en mouvement circulaire autour d’elle-même, subit une accélération d’inertie – B qui : • projetée radialement, "diminue" le poids • projetée tangentiellement, donne une composante horizontale de valeur b = e² R+ sin  cos  dirigée vers l’équateur 

9. I.3 – Compréhension de la rotation de la Terre - C’est avec Copernic que l’idée d’une Terre qui tourne apparaît • A partir de Copernic, étude de cette rotation : • • Rotation d’Ouest en Est du fait du mouvement d’Est en Ouest des corps célestes dans le ciel. • Les observations des astres suggèrent que la direction de l’axe du monde, la direction des points cardinaux dans l’horizon d’un lieu, la latitude de ce lieu, la position du pôle céleste par rapport à l’étoile polaire sont invariables. • La rotation est uniforme, la rotation sidérale s’accomplissant dans un intervalle de 23h56min.

10. I.4 – Révision de cette vision élémentaire • Très tôt, des doutes sont émis : • Hipparque ( II° siècle av. J.-C.) : les pôles se déplacent lentement par rapport aux étoiles → la mobilité des pôles terrestres va entraîner la variabilité des latitudes géographiques. - Bradley (XVIII° siècle) : découverte d’un mouvement périodique des pôles célestes (auquel on a donné le nom de nutation et qui se compose avec la précession) → oscillation de l’équateur autour de sa position moyenne. - Newcomb (1872) : preuve que la rotation de la Terre est irrégulière. L’étude de la structure interne de la Terre montre que ce n’est pas un solide parfait indéformable, il ne va donc pas être soumis à une rotation uniforme.

11. II - La rotation de la Terre en tant que solide indéformable

12. → Application du théorème du moment cinétique à un solide parfait en rotation autour d’un axe II.1 - Hypothèses du modèle • La Terre est assimilée à un solide parfait indéformable • On la considère elliptique, les axes principaux de l’ellipsoïde coïncidant avec les axes principaux d’inertie de la Terre • On la suppose sans interaction avec le milieu extérieur

13. Relation liant le tenseur d’inertie et le vecteur instantané de rotation : Oxyz : repère confondu avec les axes principaux d’inertie de la Terre LC = I ω (1) Où C est un point fixe appartenant à la Terre Lc : moment cinétique calculé au point C fixe I : tenseur d’inertie associé à la Terre  : vecteur rotation instantané II.2 - Théorème du moment cinétique

14. Le tenseur I est diagonal dans Oxyz. Ses termes diagonaux sont A, B, C. Dans le repère Oxyz, cette relation se réécrit : Lx A 0 0 ωx Ly = 0 B 0 ωy Lz 0 0 C ωz

15. dLc dt = Mc Application du théorème du moment cinétique : (2) Où C est un point fixe appartenant à laTerre MC : moment associé à la résultante des forces extérieures F et calculé en un point C fixe

16. Equations régissant la rotation de la Terre, considérée comme un solide indéformable et soumis à une force F : Lc= I  dLc dt Lc= Lx Ox + Ly Oy + Lz Oz = A ωx Ox + B ωyOy + C ωz Oz = A ωx Ox + A ωx Ox + B ωyOy + B ωyOy + C ωz Oz + C ωz Oz

17. Expression de la dérivée des vecteurs de la base Oxyz : Ox = ω x Ox Oy = ω x Oy Oz = ω x Oz Lx = A ωx + (C-B) ωy ωz Ly = B ωy + (A-C) ωz ωx Lz = C ωz + (B-A) ωx ωy En appliquant le théorème du moment cinétique, on trouve le système suivant :

18. Oz O Ox Oy On va simplifier les équations obtenues en les appliquant au cas de la Terre : • Dans le cas de la Terre : • On admet que B=A • On introduit le paramètre γ = (C-A)/A qui sera déterminer expérimentalement • On considère la Terre comme un astre isolé

19. Finalement : ωx= α cos (γ ω0 (t-t0)) ωy= α sin (γ ω0 (t-t0)) ωz = ω0

20. Oz α ω ω0 O Ox Oy II.3 - Conséquences : • Vitesse de rotation de la Terre : • - la norme du vecteur ω est constante : ² = x² + y² + z² = 0 ² + α² • ω0 et α sont fournis par l’observation • α/ ω0 < 2,5.10-6 donc ω = ω0 • expérimentalement ω = 7,292.10-5 rad/s (donc T0 = 23h56min) et γ = 1/305

21. Oz ω O Ox Oy • La polhodie : • Le vecteur ω décrit un cône autour de l’axe d’inertie de la Terre de demi-angle au sommet α/ω avec une période de 304 jours. Il s’agit de la nutation eulérienne. • La nutation eulérienne ferait décrire au pôle une polhodie circulaire dont le rayon constant serait aα/ω où a est le rayon terrestre.

22. La polhodie - le tracé qui serpente à partir de la droite illustre le mouvement moyen (on a soustrait l'oscillation spirale) depuis cent dix ans. La ligne tiretée représente la trajectoire réelle de 1996 à 2000. R<15m - 0’’,5 Y 0’’,5 X La représentation de la polhodie circulaire serait :

23. II.4 - Tentative d’explication de la forme réelle de la polhodie : • Avec la théorie d’Euler : • x = f(t) et y = f(t) : deux sinusoïdes de période 304 jours et décalées d’un quart de période. • En réalité : • apparition de battements, amplitude variable, irrégularités notables… • essais faits pour isoler les deux périodes principales.

24. Mise en évidence des deux périodes principales (1891) :

25. En supposant l’invariabilité du terme annuel pendant quelques années, on arrive à décomposer le mouvement : • un terme annuel de forme ovale, allongé vers Greenwich (mouvement rétrograde, amplitudes moyennes selon les deux axes de l’ellipse : 0’’,14 et 0’’,16). A long terme : grandes variations. • l’oscillation de Chandler : sur une période, elle est circulaire. Mais son amplitude totale varie progressivement. • on n’observe pas la nutation eulérienne. En fait : oscillation de Chandler = nutation d’Euler allongée par l’élasticité de la Terre.

26. Quelques mots sur l’oscillation de Chandler : • On la considère comme une oscillation propre nécessairement amortie. • Or, elle existe encore après des milliards d’années. • Elle doit donc être entretenue. • Phénomènes pouvant entretenir ses oscillations : • les mouvements atmosphériques et océaniques (→ variation des moments d’inertie de la Terre) • grands séismes (→ concordance entre les dates des grands séismes et des altérations de la nutation libre) • effet de couples-impulsions

27. II.5 - La dérive du pôle : • Le pôle décrit une courbe complexe due au terme annuel et à l’oscillation de Chandler • A ces deux termes principaux se superpose une dérive du pôle : le pôle se déplace en moyenne vers le méridien 85°W à la vitesse de 0’’,004 par an (0,13 m/an au sol). Dérive vers le Canada.

28. Justifications possibles de la dérive du pôle : • dérive du pôle par les mouvements dans le manteau • dissymétrie des continents et des calottes glaciaires ; fontes des glaces. A cet égard, la contribution du Groenland est prépondérante et la fusion de ses glaces déplace le pôle dans sa direction…. • artefact ?? Controverses sur l’existence de la dérive…

29. Conclusion : • Le mouvement du pôle par rapport à l’axe d’inertie de la Terre est plus complexe que prévu. • Le modèle de solide parfait appliqué à la Terre ne convient pas. • Nécessité d’envisager un modèle plus complexe pour décrire la rotation libre de la Terre et surtout sa rotation forcée due à l’action de tous les astres l’environnant.

30. III - La rotation réelle de la Terre

31. III.1 - Preuves d’une Terre inhomogène et déformable • Inhomogénéité de la répartition de masse - Plus de continents dans l’hémisphère nord que dans l’hémisphère sud - Pas la même quantité d’eau au nord et au sud - Masse d’air inégalement répartie à la surface de la Terre • Variation du moment d’inertie I =  (r) d² dV avec d = distance à l’axe   varie donc I également

32. Preuves d’une Terre inhomogène et déformable (suite)  Nouveau modèle  Equations plus complexes • Terre non-sphérique • - Aplatissement aux pôles • Bourrelet équatorial (  43 km) (dû à l’attraction de la Lune sur la Terre non uniforme) Terre non isolée : influence des astres alentours (Lune, Soleil notamment)  Modification du mouvement

33. III.2 - Précession et nutation III.2.1 - Définitions Précession: lent mouvement de toupie effectué par l’axe terrestre autour du pôle nord écliptique dû à l’attraction exercée par le Soleil et la Lune sur le renflement de la Terre Nutation : léger mouvement d’oscillation de l’axe céleste de part et d’autre du cercle de précession Pôle nord de l’écliptique dessin

34. Une toupie en rotation est en équilibre grâce à la force gyroscopique (axe gyroscopique = pointe et la toupie n’est en équilibre que pour une certaine vitesse malgré une même masse de part et d’autre de l’axe). Plus la vitesse augmente, plus la force gyroscopique est importante Un léger déséquilibre de la toupie  force de rappel pour la rééquilibrer Cette force  précession de l’axe de l’objet : l’axe décrit un cône III.2.2 - Précession • Analogie avec le mouvement d’une toupie

35. Précession (suite) - Inclinaison de l’axe de rotation de la Terre sur son orbite de 23,5° - Renflement équatorial Attraction Lune sur Terre non uniforme  couple qui tend à ramener le plan équatorial dans le plan de la trajectoire de la Lune autour de la Terre (voisin de l’écliptique) Couple responsable de la variation du moment d’inertie  précession • Causes de la Précession

36. Précession (suite) L’axe de rotation de la Terre décrit un cône (d’angle 23,5° = angle d’inclinaison de l’écliptique par rapport à l’équateur) dans le sens rétrograde • Effets de la précession Sur l’axe de rotation

37. Précession (suite) Du fait que l’axe bouge et décrive un mouvement circulaire, l’étoile polaire (étoile vers laquelle pointe l’axe de rotation) n’est pas toujours la même Sur le mouvement de l’axe de rotation dans l’espace

38. Causes de la nutation - La Lune et le Soleil ne se trouvant pas toujours à la même distance de la Terre, au-dessus ou au-dessous de l’équateur terrestre, il y a des variations régulières du couple exercé sur le renflement. - Donc l’influence de la Lune et du Soleil est plus ou moins forte, celle-ci est minimale lorsque la distance angulaire entre la Lune et l’équateur est la plus petite et elle est maximale lorsque la distance est la plus grande III.2.2 - Nutation

39. Nutation (suite)  Axe de rotation décrit un mouvement ellipsoïdal de ½ grand axe 9",2 dirigé vers le pôle nord de l’écliptique et de ½ petit axe 6",8 • Effets de la nutation

40. III.2.3 - Couplage Précession - Nutation • Mouvement résultant de l’axe de rotation = superposition de la précession et de la nutation • Cercle dentelé avec dentelure très petite par rapport au rayon du cercle ___ 9,2"  10-4 23,5° • Ce qui se traduit également par la différence de périodes entre les mouvements de précession et nutation explique la dentelure très petite : • Précession : 26000 ans • Nutation : 18,6 ans

41. Couplage Précession-Nutation(suite) 

42. III.3 - Ralentissement de la Terre III.3.1 - Dû aux marées Le frottement des océans sur les fonds marins  perte d’énergie mécanique sous forme de chaleur. Cette dissipation d’énergie diminue l’énergie de rotation de la Terre de telle sorte que la longueur du jour augmente d’environ 0,002 secondes par siècle Ce ralentissement s’explique par le fait que : Pour la rotation, la protubérance due aux marées réagit en retard  ralentissement Attraction de la Lune  certains points (protubérance) plus attirés  couple de rappel freine le mouvement

43. Ralentissement de la Terre (suite)

44. Ralentissement de la Terre (suite) Ralentissement de la Terre III.3.2 - Dû au climat Distribution des vents et leurs frottements  modification de la rotation terrestre Distribution inégale des continents entre l’hémisphère nord et sud  changements saisonniers du régime des vents et de la position des masses d’air pas symétriques  Rotation terrestre ralentie en hiver, accélérée en été (été et hiver pour l’hémisphère nord)

45. En résumé Axe de l’écliptique Nutation Axe de rotation Cercle de précession 23°27’ Plan de l’écliptique