Erlang’s loss system and B-formula Loss systems with full accessibility Overflow theory

2. Bevezetés 1. Veszteséges rendszerek • Erlang’s loss system and B-formula • Loss systems with full accessibility • Overflow theory • Multi-dimensional loss systems A TTE klasszikus elmélete innen indult. Erlang, Engset, Fry, Molina … Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

3. Bevezetés 2. Erlang’s loss system and B-formula gondolatmenet  • Feltevések és modell • Végtelen kapacitás/vonalszám • Véges vonalszám  Erlang-B • Állapot–ábrák (állapot átmeneti diagramok) – receptkönyv • Numerikus eljárások • Méretezési alapelvek – GoS és költségek Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

4. A modell 1. • Szerkezet: n egyforma csatorna (vonal, időrés) – homogén csoport • Stratégia: • teljes hozzáférhetőség (full accessibility) • foglalt csoportot találó hívások utóhatás nélkül elvesznek (lost calls cleared) • Ez: Erlang’s loss model • Forgalom: • tartásidők exp. eloszl. μintenzitás (1/μ várható érték, „tartásidő”) • beérkezési gyakoriság:  intenzitás • tiszta születési és kihalási folyamat (pure birth and death process ill. Pure Chance Traffic type One  PCT-1 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

5. A modell 2. • Felajánlott forgalom: • offered traffic = carried traffic, ha n∞ • Vizsgált esetek: • n = ∞ Poisson eloszlás • n < ∞ csonkított Poisson eloszlás • Teljesítmény mérőszámok (Performance measures) : • Idő torlódás E (time congestion) • hívás torlódás B (call congestion) • forgalom torlódás C (traffic congestion) azaz: átlagos beérkezési gyakoriság x átlagos tartásidő A modell érzéketlen a tartásidő eloszlására Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

6. A modell 3. A modell érzéketlen a tartásidő eloszlására Insensitivity: A system is insensitive to the holding time distribution if the state probabilitiesof the system only depend on the mean value of the holding time. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

7. n = ∞  Poisson eloszlás 1. [i]  [i+1] időegységenként -szor [i]  [i-1]időegységenként iμ-ször Stacionaritás  Statisztikai egyensúly (a folyamat idő szerinti deriváltjai 0-val egyenlők. (Erről a pont folyamatok jellemzésekor bővebben lesz még szó.) statistical equilibrium Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

8. n = ∞  Poisson eloszlás 2. a)Csomóponti egyenletek (3 állapot, mindig jó !) b) metszeti egyenletek (2 állapot, főleg egy dimenziós esetekre) Normálás Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

9. n = ∞  Poisson eloszlás 3. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

10. n = ∞  Poisson eloszlás 4. A = /μ bevezetése Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

11. n = ∞  Poisson eloszlás 5. Végeredményben: A foglalt vonalak száma egy véletlen időpontban Poisson eloszlású ! n ∞, minden igényt kiszolgál a rendszer ! Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

12. n = ∞  Poisson eloszlás 6. A Poisson eloszlás forgalmi jellemzői: Csúcsosság Peakedness vonal dimenziójú ! Az [i] állapot tartóssága – mivel az állapotból való kilépés teljes intenzitása ( + iμ) : Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

13. Peakedness - Csúcsosság Emlékeztető: TTE-05 !!! (A jövő emlékei !!!) Index of Dispersion for Counts IDC. To describe second order properties of the number representation we use the index ofdispersion for counts, IDC. This describes the variations of the arrival process during atime interval t and is defined as: variance(szórásnégyzet) expectation(várható érték) By dividing the time interval t into x intervals of duration t/x and observing the numberof events during these intervals we obtain an estimate of IDC(t). For the Poisson processIDC becomes equal to one. IDC is equal to “peakedness”, which we later introduce to characterize the number of busy channels in a traffic process. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

14. n = véges  Erlang eloszlás 1. Forgalom: PCT-1 Erlang eloszlás(csonkított Poisson) [feltételes Poisson p(i i n) – lásd e-A - val szorozva] Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

15. n = véges  Erlang eloszlás 2. Időtorlódás – Time congestion Mind az n vonal foglalt egy véletlen időpontban Erlang B képlet Hívástorlódás – Call congestion Egy véletlen hívás visszautasítása Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

16. n = véges  Erlang eloszlás 3. Lebonyolított forgalom – Carried traffic Metszeti egyenlet az [i-1] és [i] között Elveszett forgalom – Lost traffic Forgalmi torlódás –Traffic congestion E = B = C mert a hívásintenzitás állapottól független PASTA – Poisson arrivals see time averages Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

17. n = véges  Erlang eloszlás 4. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

18. n = véges  Erlang eloszlás 5. Véletlen lefoglalás – Random hunting Akihasználás, (utilization) azonos torlódás esetében, a vonalszámmal növekszik Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

19. n = véges  Erlang eloszlás 6. Sorrendi lefoglalás – Sequential hunting Az i-dik vonal által lebonyolitott forgalom független a vonalak számától. Nincs feed-back. Az átvitt forgalom növekedése, egy többlet vonal hozzáadásakor: ! Határértékek: Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

20. n = véges  Erlang eloszlás 7. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

21. n = véges  Erlang eloszlás 8. Csúcsosság Dimenzió: vonalszám Sorrendi lefoglalás esetében az utolsó vonal forgalmából becsülhető Az [i] állapot tartóssága Az [i] állapot elhagyásának intenzitása:( + iμ). Exponenciális eloszlás sf. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

22. A robusztus Erlang B formula Az Erlang B formula általánosítása • Érvényes tetszőleges tartásidő eloszlás esetében (a képletek csak a tartásidő átlagától függenek, amelyet az A felajánlott forgalom tartalmaz). • A levezetés Poisson érkezési folyamatot tételezett fel. Palm tétele szerint ez érvényes, ha sok egymástól független forrásból érkezik a forgalom. • Matematikai általánosítás lehetséges tört vonalszámra is. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

23. Állapotábrák 1. • Szerkesztés • Állapotok definiálása • Ábrázolás • Átmenetek feltüntetése • érkezés vagy fázis váltás • távozás (tartásidő vége vagy fázisváltás) • Egyenletek felírása Ha statisztikai egyensúly van, akkor: • csomóponti egyenletek vagy • metszeti egyenletek • Egyenletek megoldása • kifejezés pl. [0] valószínűségével: p(0) • p(0) kiszámítása normálással Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

24. Állapotábrák 2. Példa. Két dimenziós állapottér Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

25. Állapotábrák 3. Legyen a nem normalizált állapotvalószínűség q(0), kiszámítjuk a q(i), (i = 1, 2, …) értékeket. Majd normalizálással: ahol Az időtorlódás: Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

26. Erlang B formula számítása 1. • Nagy állapottér esetében numerikus problémák merülhetnek fel az állapotvalószínűségek meghatározása során. • Jól használható eljárások és rekurziós képletek állnak rendelkezésre. • [Részletesebben lásd jegyzet:7.4.1 fejezet, (7.22) – (7.28) képletek] Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

27. Erlang B formula számítása 2. Nehezen kezelhető, mert n! és An gyorsan növekszik Hasznos rekurziós formula: és ahol: Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

28. Méretezési elvek 1. QoS  GoS követelmények Gazdaságosság Méretezés a gyakorlatban Erlang B képlete több mint 80 éve ismert Gazdaságossági megfontolások elméletileg is pontos formában 1940-es évektől. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

29. Méretezési elvek 2. Méretezés rögzített veszteségre a=(37.901 x 0.99)/50 = 0.7504 F1,n(A)==37,901[0,01-0,00738] =37,901 x 0.00262 =0.0993 Improvement function (Egy vonallal több !!) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

30. Méretezési elvek 3. • A vonalak átlagoskihasználtság nagy vonalcsoportban nagyobb mint kis vonalcsoportban. • Nagy vonalcsoportok érzékenyebbek a túlterhelésre. Kis vonalcsoportoknak nagyobb tartalék-kapacitásuk van. • Méretezéskor választani lehet, hogy a tervezés mire irányuljon: • nagyobb kihasználtságra vagy • kisebb túlterhelés-érzékenységre Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

31. Méretezési elvek 4. Méretezés rögzített improvement function mellett ∆A/∆n állandó !! • Kis vonalcsoportok kihasználtsága növekedett. • Nagy vonalcsoportokban a torlódás csökkent. • Az így tervezett hálózat összességében kevésbé • érzékeny a túlterhelésre. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

32. Méretezési elvek 5. Ez az ábra az előző táblázatot szemlélteti. FB=0,05 A =2,009 E =3,72% Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

33. Méretezési elvek 6. Egyszerű gazdasági számítás a kívánatos F1,n(A) meghatározására Költség/időegység : vonalcsoport költsége Elvesző forgalom miatti veszteség Bevétel/erlang/időegység Minimális a költség, ha: Improvement value Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

34. Méretezési elvek 7. Példa FB = 0.35 A = 25 erlang Költség min. n = 30 -nál Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.

35. Méretezési elvek 8. FBértéke c0–től nem függ. c0 azt határozza meg, hogy egyáltalán érdemes-e forgalmat lebonyolítani (szolgáltatást nyújtani). Meg kell kívánni, hogy valamely n értékre igaz legyen, hogy: (Csak ebben az esetben nyereséges a szolgáltatás !) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.