PROGRESIONES GEOMÉTRICAS DÍA 07 * 1º BAD CS

1. PROGRESIONES GEOMÉTRICASDÍA 07 * 1º BAD CS

2. Sucesiones de números reales • SUCESIÓN es el conjunto de números ordenados mediante una regla o ley de formación. • Cada uno de los números ordenados se llama término. • El término general o genérico nos señala la ley de formación. • Las sucesiones más importantes son las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas. • Los intereses bancarios, las anualidades de capitalización o las mensualidades de amortización de préstamos son progresiones, bien aritméticas o bien, la mayoría, geométricas.

3. Progresiones geométricas • Es una sucesión en la cual cualquier término es igual al anterior multiplicado por una constante, r , llamada RAZÓN . • an = a1 , a2 , a3 , a4 , …, ak , …, an-1 , an • Deducimos la fórmula principal: • a1 = a1 • a2 = a1 . r • a3 = a2 . r = a1 . r2 • a4 = a3 . r = a1 . r3 • ……………… • an = an-1 . r = a1 . rn - 1 • Fórmula: an = a1 . rn - 1 • Y de ella despejamos a1 , n o d en caso necesario.

4. Suma de términos en P.G. • Demostramos la fórmula de la suma: • S = a1 + a2 + a3 + a4 , …, + ak , …, + an-1 , + an • Si multiplico todo por la razón r, queda : • S.r = a1. r + a2.r + a3.r + , …, an-1 ,.r + an.r • Restando una de otra expresión : • S ‑ S.r = a1 ‑ an . r • a1 – an..r • S.(1 ‑ r ) = a1 ‑ an . r  S = -------------- • 1 - r

5. EJEMPLO_1 • En una PG el primer término vale 5 y la razón 2. • Hallar el término séptimo y el término duodécimo. • Tenemos: • n-1 • a = a . r • n 1 • De donde: • 7-1 6 • a = a . 2 = 5 . 2 = 5 . 64 = 320 • 7 1 • 12-1 11 • a = a . 2 = 5 . 2 • 12 1 • La PG sería: • {a } = 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, … • n

6. EJEMPLO_2 • En una PG el primer término vale 5 y el quinto vale 125. • Hallar la razón. • Tenemos: • n-1 • a = a . r • n 1 • De donde: • 5-1 4 4 4 • a = a . r ,, 125 = 5 . r ,, 25 = r ,, r = √ 25 = √ 5 • 5 1 • La PG sería: • {a } = 5, 5 √ 5, 25, 25 √ 5 , 125, … • n

7. EJEMPLO_3 • En una PG el noveno término vale 10 y la razón vale 5. • Hallar el primer término. • Tenemos: • n-1 • a = a . r • n 1 • De donde: • 9 -1 8 7 -7 • a = a / 5 = 10 / 5 = 2 / 5 = 2. 5 • 1 9 • La PG sería: • -7 - 6 -5 • {a } = 2. 5 , 2.5 , 2.5 , … • n

8. Ejemplo_4 • En un tablero de ajedrez se pone 1 € en la primera casilla, 2 € en la segunda, 4 € en la tercera y así sucesivamente hasta la 64ª casilla. Hallar la suma de todos los euros colocados. • La P.G. sería: an = 1, 2, 4, 8, 16, … • Donde a1 = 1 , r = 2 y n = 64 • 64-1 63 • Hallamos a64 = a1 . 2 = 2 • Y aplicando la suma S = (a1 - an r ) / (1- r.) queda: • 63 64 19 • S = (1 - 2 . 2) / ( 1 – 2 ) = 2 - 1 = 1,8 . 10

9. Ejemplo_5 • En una población un vecino se entera de una noticia importante y en una hora se la comunica a cuatro vecinos, cada uno de los cuales, también en una hora, la transmite a su vez a otros cuatro, y así sucesivamente. ¿Cuántos vecinos conocerán la noticia al cabo de 12 horas?. • La sucesión de vecinos informados hora a hora sería: • an = 1, 4, 16, … • Está claro que es una P.G. donde a1 = 1 , r = 4 y n = 12 • 12-1 11 • Hallamos a12 = a1 . 4 = 4 • Y aplicando la suma S = (a1 - an r ) / (1- r.) queda: • 11 12 • S = (1 - 4 . 4) / ( 1 – 4 ) = ( 4 - 1 ) / 3 = 5.592.405

10. Ejemplo_6 • Durante 5 años depositamos 1.000 € al mes, al 5 % anual. Hallar el capital obtenido al cabo de los cinco años. • La fórmula es: Cf = Co (1+ r/1200) m • El 1º depósito: Cf1 = 1.000.(1+ 5/1200)60 = 1000.1,28335 = 1.283,35 • El 60º depósito: Cf60 = 1.000.(1+ 5/1200)= 1.000.1,00417 = 1.004,17 • Sumemos las cantidades para hallar el capital final • Veámoslo por la suma de las progresiones geométricas: • a1 = 1004,17 , an = 1283,35 y r = 1,004167 • a1 – an .r 1004,17 – 1283,35 - 279,18 • S = ------------ = --------------------------- = ----------------- = 67.000 € • 1 – r 1 – 1,004167 - 0,004167 • Hemos invertido 60.000 € y vemos que el beneficio ha sido de 7.000 €