et la distance Terre-Soleil

1. Vitesse orbitale de la Terre et la distance Terre-Soleil Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

2. Au cours d’une année la Terre s’éloigne ou s’approche de l’étoile Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

3. Vr Vitesse radiale de la Terre par rapport à l’étoile V V : vitesse de la Terre sur son orbite, Vitesse radiale de la Terre / l’étoile : composante Vr de V suivant direction Terre-Etoile Où la vitesse radiale est-elle la plus grande ? Soleil en quadrature / l’étoile Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

4. Effet Doppler-Fizeau Lorsqu’une source de longueur d’onde 0 a un mouvement de vitesse V par rapport à un observateur, son rayonnement est perçu par celui-ci avec la modification : Dl = lo . V*/T / c (avec c : vitesse de la lumière) Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

5. Effet Doppler-Fizeau Si on réalise un spectre de cette source : les groupes de raiesdu spectre seront alorsdécalésvers - des longueurs d’onde plus grandes, lorque la source s’éloigne - des longueurs d’onde plus petites, lorsque la source s’approche Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

6. Etoile candidate la mieux placée pour faire de bonnes mesures ? Etoiles les plus brillantes visibles de notre latitude Nom m Sp "* l b " Taureau (Aldébaran) 1,1 K 04 33 04 +16 25 66 41 -20 40 $ Orion (Rigel) 0,3 B 05 12 08 - 08 15 77 00 -22 47 " Cocher (Capella) 0,2 G 05 12 59 +45 57 81 09 +22 52 ( Orion (Bellatrix) 1,7 B 05 22 27 +06 18 79 47 -23 06 " Orion (Bételgeuse) var M 05 52 28 +07 24 87 57 -23 24 " Grand Chien (Sirius) -1,3 A 06 42 57 +16 39 100 21 -06 25 g Grand Chien 1,6 B 06 56 40 - 28 54 105 38 -24 46 " Gémeaux (Castor) 1,6 A 07 31 25 +32 00 109 33 +10 05 " Petit Chien (Procyon) 0,5 F 07 36 41 +05 21 115 06 -16 01 $ Gémeaux (Pollux) 1,2 K 07 42 15 +28 09 112 31 +06 41 " Lion (Régulus) 1,3 B 10 05 43 +12 13 149 08 +00 28 g Grande Ourse 1,7 A 12 51 50 +56 14 158 13 +54 19 " Vierge (I'Epi) 1,2 B 13 22 33 - 10 54 199 28 +07 04 0 Grande Ourse 1,9 B 13 45 34 +49 33 176 14 +54 23 " Bouvier (Arcturus) 0,2 K 14 13 23 +19 26 203 32 +30 46 " Scorpion (Antarès) 1,2 M 16 26 20 - 26 19 166 30 -05 19 8 Scorpion 1,7 B 17 30 12 - 37 03 262 04 +20 15 " Lyre (Véga) 0,1 A 18 35 14 +38 44 284 37 +61 44 " Aigle (Altaïr) 0,9 A 19 48 21 +08 44 301 04 +29 18 " Cygne (Déneb) 1,3 A 20 39 26 +45 06 334 33 +59 56 " Poisson Austral 1,3 A 22 54 54 - 29 53 333 28 +11 29 étoile brillante, pas trop éloignée du plan de l’écliptique, dont le spectre comporte de nombreuses raies et qui ne fait pas partie d’un système multiple d’étoiles. Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

7. Classification spectrale et présence des raies dans les étoiles Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

8. Etoile candidate la mieux placée pour faire de bonnes mesures ? Etoiles les plus brillantes visibles de notre latitude Nom m Sp "* l b " Taureau (Aldébaran) 1,1 K 04 33 04 +16 25 66 41 -20 40 $ Orion (Rigel) 0,3 B 05 12 08 - 08 15 77 00 -22 47 " Cocher (Capella) 0,2 G 05 12 59 +45 57 81 09 +22 52 ( Orion (Bellatrix) 1,7 B 05 22 27 +06 18 79 47 -23 06 " Orion (Bételgeuse) var M 05 52 28 +07 24 87 57 -23 24 " Grand Chien (Sirius) -1,3 A 06 42 57 +16 39 100 21 -06 25 g Grand Chien 1,6 B 06 56 40 - 28 54 105 38 -24 46 " Gémeaux (Castor) 1,6 A 07 31 25 +32 00 109 33 +10 05 " Petit Chien (Procyon) 0,5 F 07 36 41 +05 21 115 06 -16 01 $ Gémeaux (Pollux) 1,2 K 07 42 15 +28 09 112 31 +06 41 " Lion (Régulus) 1,3 B 10 05 43 +12 13 149 08 +00 28 g Grande Ourse 1,7 A 12 51 50 +56 14 158 13 +54 19 " Vierge (I'Epi) 1,2 B 13 22 33 - 10 54 199 28 +07 04 0 Grande Ourse 1,9 B 13 45 34 +49 33 176 14 +54 23 " Bouvier (Arcturus) 0,2 K 14 13 23 +19 26 203 32 +30 46 " Scorpion (Antarès) 1,2 M 16 26 20 - 26 19 166 30 -05 19 8 Scorpion 1,7 B 17 30 12 - 37 03 262 04 +20 15 " Lyre (Véga) 0,1 A 18 35 14 +38 44 284 37 +61 44 " Aigle (Altaïr) 0,9 A 19 48 21 +08 44 301 04 +29 18 " Cygne (Déneb) 1,3 A 20 39 26 +45 06 334 33 +59 56 " Poisson Austral 1,3 A 22 54 54 - 29 53 333 28 +11 29 étoile brillante, pas trop éloignée du plan de l’écliptique, dont le spectre comporte de nombreuses raies et qui ne fait pas partie d’un système multiple d’étoiles. Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

9. Etoile candidate la mieux placée pour faire de bonnes mesures ? étoile brillante, pas trop éloignée du plan de l’écliptique,  dont le spectre comporte de nombreuses raies et qui ne fait pas partie d’un système multiple d’étoiles. Arcturus ascension droite déclinaison  = 14 h 13 min = 19° 26 Longitude écliptique 203° latitude écliptique b = 30,8° magnitude 0,2 classe spectrale K Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

10. Arcturus Arcturus Grande ourse Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

11. A quel moment de l’année ? moment le plus proche d’une quadrature mi juillet Spectre a) - 19 juillet 1959 mi janvier Spectre b) - 30 janvier 1960 à quel moment de la nuit ? quand Arcturus est au plus haut, au passage au méridien (on peut utiliser Stellarium) en juillet, début de nuit en janvier, fin de nuit Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

12. Les clichés obtenus Spectre a) - 19 juillet 1959 Spectre b) - 30 janvier 1960 Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

13. Spectres de comparaison de laboratoire Spectre de l'étoile Contenu d’un cliché du spectre de l’étoile Arcturus spectre continu (fond blanc) avec raies d’absorption (bandes noires) Arc du fer raies brillantes d’émission du Fe I (bandes blanches sur un fond noir) Les spectres de l'étoile et de l'étalonnage sont pris dans les mêmes conditions Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

14. on observe dans le spectre de l’étoile le même groupe de raies que dans le spectre de référence Contenu d’un cliché du spectre de l’étoile Arcturus Arcturus est une étoile froide (4000 K) On y trouve des raies métalliques, en particulier celles du Fe I Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

15. n° raie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l 440,475 441,512 442,731 444,234 444,772 446,165 446,654 447,602 449,457 (nm) Etalonnage des clichés Les raies du spectre de référence permettent le repérage des longueurs d'onde 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x (en pixels) la longueur d’onde croit de gauche à droite, sur le cliché l = f(x) Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

16. On note pour chaque raies, dans une feuille de calcu, sa longueur d’onde l connue et sa position x Graphique obtenu : On calcule la pente a et l’ordonnée à l’origine b On détermine la position x des raies de référence au moyen d’un logiciel de traitement d’image, par exemple le logiciel IRIS ou Géogébra la dispersion est linéaire  = a x + b Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

17. On procède de même pour le cliché du 30 janvier 1960 Les valeurs de a et b diffèrent très légèrement : les conditions de prise de vue et de scan de l’image ne peuvent être rigoureusement identiques Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

18. Spectre d ’Arcturus lors des deux quadratures annuelles Spectre a) - 19 juillet 1959 Spectre b) - 30 janvier 1960 1 2 3 4 5 6 7 8 9 on retrouve les mêmes groupes de raies sur les deux spectres stellaires a) et b) Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

19. Les raies du spectre stellaire sont décalées par rapport à celles du spectre de référence la Terre s’éloigne de l’étoile en juillet Spectre a • vers la droite (vers les plus grandes longueurs d’onde) dans le spectre a la Terre se rapproche de l’étoile en janvier Spectre b • vers la gauche (vers les plus petites longueurs d’onde) dans le spectre b Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

20. Puis on calcule la longueur d ’onde correspondante par la relation :  = a x + b (avec les valeurs de a et b trouvées précédemment) On calcule ensuite la différence : calculée - lab =  Décalages spectraux des spectres A et B On détermine la position x d’une raie comme pour les spectres de référence Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

21. Vitesse radiale de la Terre V = (   /  )  c (avec c = 300 000 km/s) |Vb | = 29,64 km/s |Va| = 20,12 km/s ? |Va| < |Vb| Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

22. |Va| < |Vb| TA et TB sont pratiquement symétriques par rapport à la direction de l'étoile  la composante radiale de la Terre par rapport à l'étoile devrait être la même au signe près en TA et TB Or la vitesse d’éloignement, en juillet, est inférieure à la vitesse d’approche, en janvier  l’étoile a un mouvement propre qui s'ajoute à celui de la Terre : elle s’approche du Soleil Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

23. b = 30,8° La vitesse radiale de la Terre, par rapport à l’étoile, n’est pas égale à sa vitesse sur son orbite, même au moment d’une quadrature Vitesse orbitale de la Terre et Vitesse propre de l’étoile L’étoile Arcturus n’est pas située dans le plan de l’écliptique Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

24. Expression de la composante radiale de la vitesse orbitale de la Terre  Le mouvement de la Terre est considéré comme uniforme la valeur constante de sa vitesse sur son orbite est : VT/S La composante radiale de la vitesse orbitale de la Terre sera obtenue en projetant VT/S sur la direction TE. On la désigne par : vT/S v T/S = VT/S . cos b Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

25. Plan E TATB Plan contenant le Soleil S, l'étoile E et les deux positions de la Terre en juillet et en janvier, TA et TB. La projection de l'orbite de la Terre y est une ellipse Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

26. Application de la règle de composition des vitesses La vitesse de l’étoile par rapport au Soleil n’est pas connue, on peut toutefois la considérer comme constante : V*/S  V = V*/S + vS/T Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

27.  (1)+(2)  (1) - (2) en juillet : V(a) = 20,12 km/s  V(a) = V*/S + vS/T(a) (1) V(a) = V*/S - vT/S(a) = V*/S - VT/S . cos b en janvier : V(b) = - 29,64 km/s  V(b) = V*/S + vS/T(b) (2)V(b) = V*/S + vS/T(b) =V*/S + VT/S . cos b En résolvant ce système de deux équations à deux inconnues : = - 4,76 km/s = 28,96 km/s Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

28. Distance Terre - Soleil distance parcourue par la Terre sur son orbite en un an : un an = 365,25 . 24 . 3600 d = V . T = 28,96 . 365,25 . 24 . 3600 = 913 908 096 km R = 145,5 . 10 6 km d = 2 .  . R  Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

29. Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

30. Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

31. Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

32. Protocole du traitement Géogébra 1 - Mise en place des spectres • 2 – Étalonnage - à faire pour les deux spectres A et B. • Mesure des positions des raies d’étalonnage et calcul de l’ajustement donnant la relation position->longueur d’onde. • Calcul des régressions linéaires, vérification des mesures et estimations de la précision • 3 - Mesure des spectres de l’étoile • Identification des raies à mesurer • Mesure et calcul des longueurs d’onde correspondantes • 4 - Vitesses radiales • Calcul des vitesses radiales • Corrections éventuelles de position sur l’orbite • Calcul de la vitesse de la Terre Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

33. 1 - Installation des spectres Position d’une image entièrement contrôlée par l’utilisateur. Images placées l’une au-dessus de l’autre. Position largeur : de 0 à 1000 • Position verticale : • Spectre A ordonnée 20 • Spectre B ordonnée 300 Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

34. 1 - Installation des spectres .Lancer Géogébra .Fermer pour l’instant la Fenêtre algèbre : CTRL Maj A ou Affichage / Fenêtre algèbre (bascule). • Choisir la commande • Positionner la souris sur la fenêtre graphique • Cliquer sur bouton gauche. • Une fenêtre Répertoire s’ouvre. • Choisir une image (spectra_a.jpg et spectra_b.jpg). • Faire Esc pour sortir du programme d’insertion ou bouton . Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

35. 1 - Installation des spectres Mise en place Cliquer sur l’image, Bouton droit Choisir Propriétés La fenêtre Propriété s’ouvre Onglet Position Donner les points des coins 1 et 2 sous la forme (x,y) Spectre A : (0,20) et (1000,20) Spectre B : (0,300) et (1000,300) Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

36. Curseur de mesure Spectres raies alignées verticalement Repérage suivant l’axe des abscisses Par curseur : trait vertical repéré en abscisses. Construction : a) – curseur horizontal Créer le curseur xpos. Donner le nom Min, max et incrément Appliquer Sortir de la commande Curseur (Touche Esc ou bouton ) Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

37. Curseur (suite) Ouvrir sa fenêtre Propriétés Onglet Basique dévalider l’option Position absolue à l’écran. Onglet Curseur : horizontal largeur = 1000 • Onglet Couleur et Onglet Style (facultatif) : • donner une couleur et une épaisseur au trait. Fermer la fenêtre • Placer le curseur sur la page entre les deux spectres à l’aide de la souris (bouton gauche appuyé) Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

38. b) la droite verticale curseur Création dans la fenêtre de saisie en bas Des deux segments verticaux : spectre B vcura = Segment[(xpos, 280), (xpos, 600)] spectre A vcurb = Segment[(xpos, 0), (xpos, 260)] Avec les propriétés : une couleur une épaisseur de 1 un style pointillé Maniement du curseur 1 - pointé dessus avec bouton gauche de la souris et en déplaçant 2 - en cliquant dessus : devient grisé. touches flèches : incrémenter ou  décrémenter avec le pas de l’onglet curseur Si fenêtre Algèbre est ouverte 3 - en changeant directement la valeur de xpos 4 - en cliquant une fois sur xpos dans la fenêtre et en agissant sur les flèches  Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

39. 2 - Etalonnage Mesure des positions des raies Ouvrir la fenêtre Tableur Créer dans la cellule B14, l’affichage du curseur : "x = " + xpos Colonne C : l étalonnage (raies 1 à 9) Spectre A (C2 à C10) Spectre B (C17 à C25) Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

40. 2 - Etalonnage Mesurer en se servant du curseur du Zoom (pour mieux ajuster) du déplacement les positions des raies d’étalonnage reporter leurs abscisses données par xpos dans le tableau cellules B2:B10 (spectre A) cellules B17:B25 (Spectre B) Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

41. Listes de points Pour le calcul des ajustements Sélectionner les cellules B2 à C10 (spectre A) Souris - bouton droit. Créer une liste de points Par défaut nom : liste1. On peut la renommer par la fenêtre Propriétés Idem pour le spectre B. Cellule B17 à C25 : liste2. Ajustements Créer les droites de régression dans les cellules C12 : =RegPoly[liste1,1] C19 : =RegPoly[liste2,1] Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

42. Test des étalonnages Dans les cellules D2 à D10 appliquer la régression aux abscisses trouvées : D2: =C$12(B2), D3: =C$12(B3), etc Les $ : même rôle que dans les tableurs pour recopier les formules dans les cellules voisines. Cellules E2 à E10 : différences des longueurs d’onde calculées-laboratoire =D2 - C2, etc Cellule E12 : écart type des différences EcartType[E2:E10] Faire de même pour le spectre B dans les cellules correspondantes. Si dans la colonne (E) une différences est très grande par rapport aux autres, il y a lieu d’aller refaire la mesure. L’étalonnage est prêt à servir. Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

43. Spectre d’Arcturus lors des deux quadratures annuelles Spectre a) - 19 juillet 1959 Spectre b) - 30 janvier 1960 1 2 3 4 5 6 7 8 9 on retrouve les mêmes groupes de raies sur les deux spectres stellaires a) et b) Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

44. 3 - Mesure des spectres de l’étoile Mesure des raies Spectre A cellules F2:F10 Spectre B cellules F17:F25 Calcul des longueurs : Spectre A cellules G2:G10 Spectre B cellules G17:G25 Différences de longueurs d’onde : Spectre A cellules H2:H10 Spectre B cellules H17:H25 Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

45. 4 - Vitesses radiales On va appliquer la formule de Doppler-Fizeau à tous ces décalages Calcul des vitesses radiales Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

46. Calcul de la vitesse de la Terre • Vitesse mesurée dans la direction de l’étoile = • la vitesse de l’étoile par rapport au Soleil • + • la projection de la vitesse de la Terre sur la direction de l’étoile. V(a) = V*/S + VS/T = V*/S + VT/S . cos b V(b) = V*/S + VS/T = V*/S - VT/S . cos b L’étoile n’est pas dans le plan de l’écliptique latitude écliptiqueb = 30.75° cellule C29 (Sirius) =(I13 + I28) / 2 cellule C30 (Terre) =(I13 - I28) / 2 Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre

47. Calcul du rayon de l’orbite de la Terre Année sidérale : 365,25 jours La vitesse trouvée est en km/s. Trajet parcouru en un an : 365.25 * 24*3600 * VT = 2 p RT Circonférence de l’orbite : (en millions de km) =D30 * 3600 * 24 * 365.25 / 2 / π / 1000000 Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre