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INGENIERÍA ECONÓMICA

INGENIERÍA ECONÓMICA. MODULO II FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO. Relación prestamista - prestatario. Formas de pago de un préstamo. Pago único. Serie uniforme. Amortización constante. MODULO II FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO. Serie gradiente. Serie gradiente porcentual.

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  1. INGENIERÍA ECONÓMICA

  2. MODULO II FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO • Relación prestamista - prestatario. • Formas de pago de un préstamo. • Pago único. • Serie uniforme. • Amortización constante.

  3. MODULO II FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO • Serie gradiente. • Serie gradiente porcentual. • Equivalencias para formas de pago.

  4. RELACIÓN PRESTAMISTA - PRESTATARIO • Prestamista: persona natural o jurídica que concede dinero en préstamo. • Prestatario: persona que recibe dinero en préstamo. • Elementos de un préstamo: • Magnitud o monto. • Valor de la tasa de interés. • Plazo.

  5. RELACIÓN PRESTAMISTA - PRESTATARIO • Forma de pago. • Garantía o fiador. • Requisitos de capacidad de pago. • Periodo de gracia: tiempo durante el cual se pueden pagar únicamente los intereses o también puede ser el tiempo durante el cual los intereses se capitalizan, pero no hay desembolso alguno por el prestatario.

  6. RELACIÓN PRESTAMISTA - PRESTATARIO • Amortización del préstamo original: toda cuota o pago de un préstamo la podemos descomponer en dos partes: una correspondiente a la disminución o abono que hagamos al préstamo original, la otra será el componente de interés. La amortización nunca será negativa y cuando no hay amortización se entenderá que toda la cuota corresponde a intereses.

  7. P 1 2 3 4 n 0 A A A A A FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO • SERIE UNIFORME: • Se hace un préstamo a una tasa de interés por periodo y se paga en cuotas exactamente iguales.

  8. P 1 2 3 n 0 An A3 A2 A1 FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO • SERIE DE PAGOS DE • AMORTIZACIÓN • CONSTANTE: • El préstamo se paga en cuotas periódicas de las cuales el contenido de amortización del principal siempre es igual.

  9. P 1 2 3 n 0 A1 A2 A3 An FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO • SERIE GRADIENTE: • El préstamo de paga en cuotas que pueden aumentar o disminuir un monto uniforme cada periodo (sucesión aritmética).

  10. P 1 2 n 0 A1 A2 An FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO • SERIE GRADIENTE • PORCENTUAL: • El préstamo se paga en cuotas que pueden aumentar o disminuir un porcentaje cada periodo (sucesión geométrica).

  11. P 1 2 n 0 F PAGO ÚNICO F = P(1+i)n

  12. PAGO ÚNICO Demostración de la formula de valor futuro, donde: P: préstamo i: tasa de interés n: plazo F: pago único SK: saldo o deuda al final de cualquier período K Total intereses: I = Total pagado-Total prestado I = F-P (1)

  13. PAGO ÚNICO

  14. PAGO ÚNICO EJEMPLO: Se ahorran 1´000.000 de pesos el 1 de marzo del 2002, en una entidad que reconoce el 1% efectivo mensual. ¿Cuál es el valor futuro el 31 de diciembre de 2003? ¿Cuál era el saldo después de pagar la cuota del 30 de junio de 2002? Valor futuro: F = P(1+i)n (3) Para tablas: F = P(F/P,i,n) (3´) Valor futuro 31/12/2003:1´000.000(1+0.01)22 = $1´244.715,86 Saldo: Sk = P(1+i)k (2) Saldo 30/06/2002: 1´000.000(1+0.01)4= $1´040.604,01

  15. P 1 2 3 4 n i (1+i)n (1+i)n -1 0 A = P * A A A A A SERIE UNIFORME

  16. SERIE UNIFORME Demostración de las fórmulas para serie uniforme, donde: A: cuota uniforme. ak:abono o parte de la cuota que amortiza la deuda. Ik: parte de la cuota que cubre intereses. Pk: valor presente equivalente a la cuota del periodo k.

  17. SERIE UNIFORME P será equivalente a los pagos efectuados considerando la tasa i, ello implica que P será igual a la suma de los valores presentes de las cuotas. Pk =A * (1+i)-k según formula (3) P =  Pkpor principio N°2 P =  A * (1+i)-k P = A *  (1+i)-k P=A*{(1+i)-1+(1+i)-2+ ... +(1+i)-(n-1)+(1+i)-n} (1*) P(1+i)=A{(1+i)0+(1+i)-1+(1+i)-2+...+(1+i)-n+2+(1+i)-n+1} (2*)

  18. i (1+i)n (4)(1+i)n -1 A = P * SERIE UNIFORME Si usted resta (2*) de (1*), simplifica y despeja A. El factor de P en la formula (4) para uso de tablas se identificará así: (A/P,i,n) Se podrá escribir así: A = P * (A/P,i,n)(4’)

  19. (1+i)n - 1 i (1+i)n P = A * SERIE UNIFORME Despejando P de (4) tendremos: (4’’) Para las tablas: P = A * (P/A,i,n) (4’’’)

  20. P SK (n-k)PENDIENTES 1 2 3 4 k k+1 n 0 ........ ... A A A A A A A A K PAGADAS SERIE UNIFORME Saldo o deuda:

  21. (5) (1+i)n-k -1 i (1+i)n-k Sk = A SERIE UNIFORME Si P es el valor presente de todas las cuotas, sk será el valor presente de las (n-k) restantes. Aplicamos la (4’’) con n = (n-k)

  22. SERIE UNIFORME En la cuota A ¿qué parte es abono al capital y que parte corresponde a intereses? ak = Sk-1 - Sk(6) Ik = i  S(k-1) (7) Ik= A- ak

  23. Sk P k 0 1 2 3 4 . . . n Comportamiento del saldo (Sk) para la forma de pago serie uniforme En una serie uniforme el comportamiento del saldo es decreciente siendo cero en el periodo n.

  24. P 1 2 3 24 0 A A A A A SERIE UNIFORME Ejemplo: Se hace un préstamo de un millón de pesos al 0.5% de interés mensual efectivo para pagarlo en cuotas iguales de fin de mes.¿Cuál es al valor de la cuota mensual? Solución:

  25. 0.005 (1+0.005)24 (1+0.005)24 -1 = $44.320,61 A =1000000 SERIE UNIFORME • Resolver el ejemplo anterior si el trabajador paga a principio de mes. • Solución: • Se debe transladar el préstamo a un periodo • antes con la formula de pago único y luego • aplicamos la formula de A.

  26. P 0.005 (1+0.005)23 (1+0.005)23 -1 A = 1000000 = $ 44.100 0´ 1 2 3 4 23 24 0 A A A A A F = P(1+i)n= 1000000(1+0.005)-1 = 995.024,87 SERIE UNIFORME

  27. S19 $1000.000 (24-19) i:0.5% 1 2 3 24 19 0 ....... A A A A A A A A 19 PAGADAS SERIE UNIFORME • Cuál es la deuda del trabajador en el ejemplo después de haber pagado la cuota 19. • Solución:

  28. En la cuota 19 ¿qué parte es abono al capiltal y que parte es interés? • Solución: • a19 = S18 – S19 (1+0.005)24-19 -1 0.005 (1+0.005)5 S19 = 44.320,61 =$218.317,399 (1+0.005)24-18 -1 0.005 (1+0.005)6 = $261.331,35 S18 = 44.320,61 SERIE UNIFORME

  29. SERIE UNIFORME • a19=$43.013,9 • I19 = 261.331,35*0.005 = $1306.66 • Para ese trabajador ¿cuál es el total de intereses pagados? • Solución: • I = total de intereses pagados – total pagado • I= n  A-P = $63.644,40

  30. F = ? Interés = i 0 1 2 3 n Periodos ...... A A A A A: Ahorro CAPITALIZADORASUNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME

  31. Dados A, i y n se deberá calcular F. F: será el valor futuro en n equivalente al valor presente de la serie uniforme. F = P (1+i)n aplicando (3) Pero: (1+i)n - 1 i (1+i)n P = A aplicando (4’’) CAPITALIZADORASUNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME

  32. Entonces: (1+i)n - 1 i (1+i)n F = A * (1+i)n (1+i)n - 1 i F = A * Para el uso de tablas: F = A * (F/A, i, n) (8´) (8) CAPITALIZADORASUNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME

  33. CAPITALIZADORASUNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME Ejemplo: Un ingeniero ahorra 200.000 pesos al principio de mes en una entidad que le reconoce el 2% efectivo mensual, esto lo hace durante 5 años. ¿ Cual es el valor acumulado al final del ultimo mes?

  34. F = ? i = 2% ef. mensual 0´ 0 1 2 59 60 meses 200.000 CAPITALIZADORASUNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME

  35. CAPITALIZADORASUNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME Solución: F59 = valor futuro de los 60 ahorros en el mes 59. F59 = 200.000 (F/A, 2%, 60) F59 = 200.000 (114.051539) F59 = 22’810.307,8 F =F59 (1.02)1 F = (22’810.307,8) (1.02) F = 23’266.513,96

  36. P 1 2 3 n 0 An A3 A2 A1 1 - (k - 1)P n n Ak= i  P + AMORTIZACIÓN CONSTANTE

  37. AMORTIZACIÓN CONSTANTE Demostración de la formulas para amortización constante, donde: Ak: cuota al final del periodo k. Sk: saldo después de pagar la cuota Ak. Como su nombre lo indica, en esta forma de pago el abono a la deuda es igual, por lo tanto: a1 = a2 = a3 = ak = an = P/n (9)

  38. 1 n S1 = P 1 - A2 = i  S1 + (P/n) 1 n P n i  P 1 - + 2P n 2 n S2 = P - = P 1 - AMORTIZACIÓN CONSTANTE A1 = i  P + (P/n) Si se abonó (P/n), entonces S1 = P - (P/n) Entonces:

  39. P n (k-1) n Ak = i  P 1 - + (10) (11) (12) k n Sk = P 1 - (k-1) n Ik = i  P 1 - AMORTIZACIÓN CONSTANTE

  40. AMORTIZACIÓN CONSTANTE Ejemplo: Se tiene un préstamo de un millón de pesos al 3% mensual sobre saldos. Si se paga en 10 cuotas mensuales de amortización constante,¿cuál es el valor de la primera y tercera cuota? ¿Cuál es el saldo una vez pagada la tercera cuota?

  41. Solución: (3 - 1)1000000 10 10 A3= 0.031000000 1 - + 3 10 A1=130.000 S3 = 1000000 1 - = 7000000 A3=124.000 (1- 1)1000000 10 10 A1=0.031000000 1 - + AMORTIZACIÓN CONSTANTE

  42. P 1 2 3 n 0 A1 A2 A3 An AK = A1 + (K - 1)*g SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

  43. SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Esta forma de pago se compone por la suma de dos series, una que se comporta de manera uniforme y otra que sufre un cambio aritmético para cada periodo. Demostración de la formula para serie gradiente, donde: g :aumento aritmético de la cuota. Ak seria: A1 = A1 A2 = A1 + g A3 = A2 + g = A1 + g + g = A1 + 2g AK = A1 + (k - 1)  g (en funciòn de A1) (13)

  44. P 1 2 3 n-1 n 0 A1 + Ag . . . . . . SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) La parte gradiente se transforma en una serie equivalente uniforme que se llama Ag, entonces, la serie gradiente original será equivalente a la suma de las dos series uniformes. At=A1+Ag (14) A1:serie parte uniforme. Ag:serie uniforme equivalente a parte gradiente. At :serie uniforme total equivalente a la serie gradiente original.

  45. SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Ag se halla llevando cada uno de los aumentos (g, 2g, 3g,...) al presente y sumandolos, después esta sumatoria se distribuye en una serie uniforme y se obtendría: (15) Por tablas sería: Ag= g(A/g,i,n) (15’)

  46. De (14) tenemos: A1= At - Ag (16) Por tabla seria: A1 = P(A/P,i,n) - g(A/g,i,n)(16’) SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

  47. Partiendo de (16) se obtiene: (17) Para uso de tablas: P(A/P,i,n) = A1 + g(A/g,i,n) (17’) SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

  48. SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) P Sk = ? n - k Pendientes 1 2 3 4 k k-1 0 . . . . . . Ak Ak + 1 k pagados An Una vez pagada Ak quedan pendientes n-k cuotas, empezando por Ak+1 y terminando en An. Sk será el valor presente en k de esas cuotas pendientes.

  49. Utilizando (17) con "A1" = Ak+1 Y remplazando en (13) tenemos: Ak+ 1 = A1 + (k+1-1)g, de donde "A1" = A1 + kg De lo anterior: (18) SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

  50. SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Ejemplo: Se tiene un préstamo de 1.000 pesos, a una tasa de interés anual del 30% para pagarlo en 5 cuotas anuales que se incrementan 200 pesos . Cuàl es el valor de la primera y la ùltima cuota?

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