Bestimmung von Näherungs-koordinaten

1. Bestimmung von Näherungs-koordinaten • Iterative Ausgleichung • Herkömmliche Ansätze • Direkter Ansatz • Strategie für 3D-Netze Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

2. Problemstellung • Bisher: Näherungskoordinaten Teil der Aufgabenstellung • Manuelle Aufbereitung: Zusätzlicher Aufwand vernachlässigbar, Netzbild von Bearbeiter verwendet um Koordinaten zu bestimmen • Automatische Bearbeitung der Ausgleichung erwünscht (automatischer Datenfluss) • Voraussetzung: Automatische Bestimmung von Näherungskoordinaten Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

3. Voraussetzungen • Koordinatensystem definiert – entsprechende Anzahl an Koordinaten bzw. Punkten (näherungsweise) bekannt • Rohdaten aufbereitet – Korrekturen an die Beobachtungen angebracht (Achtung: Gauß-Krüger-Verzerrung ist abhängig von den y-Koordinaten) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

4. Iterative Ausgleichung • Methode der kleinsten Quadrate: Benötigt lineare Verbesserungsgleichungen • Linearisierung durch Taylor-Reihe • Eindimensionaler Fall • Voraussetzungen: • Funktionsverlauf stetig • Näherungswerte hinreichend genau bekannt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

5. Anwendung in der Vermessung • Stetiger Funktionsverlauf meist gegeben • Bestimmung von Näherungskoordinaten ist problematisch • Indiz für Güte der Näherungskoordinaten: Haupt- oder Schlussprobe Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

6. Iterative Ausgleichung • Durchgeführt, wenn Differenzen in Haupt-probe größer als nach Rechenschärfe zu erwarten • Matrix A und Vektor w (l) neu bestimmt • Ergebnis der Ausgleichung als neue Näherungswerte verwendet, also Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

7. Abbruchskriterium • Definiert für Ergebnis der Hauptprobe oder Parametervektor x • Beispiel: Norm von x kleiner als Grenzwert • Weiterer Ansatz: Wenn x annähernd Null, dann v=Ax-l=-l, Kriterium lTl-vTv≤ e • Verfahren konvergiert jedoch nur, wenn Näherungswerte gut genug! Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

8. Herkömmliche Ansätze • Höhennetze: Näherungswerte nicht relevant (lineare Gleichungen) • Lagenetze: Häufig angelehnt an manuelle Bestimmung (von bekannten Punkten mit Methoden der Punktbestimmung) • Problem: Wenn nicht möglich • Festpunkte A, B,Streckennetz Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

9. Direkter Ansatz (1) • Nachteil herkömmlicher Methoden: nicht leicht programmierbar (unterschiedliche Algorithmen verschieden kombiniert) • Ideal: Lösung mit linearen Beobachtungs-gleichungen, also lineare Beziehungen zwischen den Koordinaten Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

10. Direkter Ansatz (2) • Abgeleitete Größen: Koordinaten-differenzen – als Beobachtungen eingeführt: • Bedingung: Orientierungen bekannt • Es gilt: • Orientierungen als Unbekannte  Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

11. Direkter Ansatz (3) • Für gut eingebundenen Punkt wird Orientierung gewählt (meist Null) • Alle anderen Orientierungen in Abhängig-keit von der gewählten Orientierung bestimmt • Somit Orientierung der x-Achse des lokalen Systems abhängig von diesem Punkt • Vorsicht: Grobe Fehler möglich Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

12. Direkter Ansatz (4) • Für zusammenhängenden Teil jetzt Aufstellen von linearen Gleichungen für Koordinatendifferenzen möglich • Nicht bestimmte Punkte (Polarpunkt, VWS, RWS, BS) zusätzlich berechnet • Koordinaten im übergeordneten System mittels Transformation Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

13. Strategie für 3D • Direkter Ansatz wie bei 2D nicht möglich (wäre numerisch nicht stabil) • Aufspalten in Lage- und Höhennetz aber stabil  Getrennte Bestimmung der Näherungs-koordinaten für Lage und Höhe • Wichtig: Bearbeitung der Messwerte (Raumstrecken in horizontale Strecken und Höhenunterschiede) • GPS-Punkte im gewünschten Datum – meist genau genug Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil