1 / 18

Kružnica, rovnica kružnice

Kružnica, rovnica kružnice. Ing. Jana Vargová. Kružnica. Kružnica je množina všetkých bodov roviny, ktoré majú od stredu S rovnakú vzdialenosť – polomer r. Rovnica kružnice so stredom S [0, 0] – stredový tvar rovnice. Kružnica so stredom S [0, 0]a s polomerom r > 0 má rovnicu:

cargan
Download Presentation

Kružnica, rovnica kružnice

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Kružnica, rovnica kružnice Ing. Jana Vargová

  2. Kružnica • Kružnica je množina všetkých bodov roviny, ktoré majú od stredu S rovnakú vzdialenosť – polomer r.

  3. Rovnica kružnice so stredom S [0, 0] – stredový tvar rovnice • Kružnica so stredom S [0, 0]a s polomerom r > 0 má rovnicu: x2 + y2 = r2

  4. Body kružnice • Body X[x, y], ktoré ležia vnútri kružnice s polomerom r > 0, majú od jej stredu S [0, 0] vzdialenosť menšiu ako r(|XS| < r). Teda o súradniciach každého vnútorného bodu kružnice platí: x2 + y2 < r2 . • Body X[x, y], ktoré ležia zvonku kružnice s polomerom r > 0, majú od jej stredu S [0, 0] vzdialenosť väčšiu ako r(|XS| > r). Teda o súradniciach každého vnútorného bodu kružnice platí: x2 + y2 > r2 .

  5. Príklad 1 • Napíšte rovnicu kružnice, ktorá má stred v začiatku sústavy súradníc a prechádza bodom A [-3, 2]. Riešenie: • Kružnica so stredom S [0, 0]má rovnicu: x2 + y2 = r2 . • Polomer r zistíme dosadením súradníc bodu A, ktorý leží na kružnici, do tejto rovnice. (-3)2 + 22 = r2 r2 = 13 r = √13.

  6. Rovnica kružnice so stredom S[m, n] – stredový tvar rovnice kružnice • Kružnica so stredom S[m, n] a s polomerom r > 0 má rovnicu: (x – m)2 +(y – n)2 =r2

  7. Všeobecný tvar rovnice kružnice • Rovnica kružnice sa dá vyjadriť aj v tvare: x2 + y2 + ax + by + c = 0 kde a, b, c sú reálne čísla.

  8. Príklad 2 • Napíšte stredový i všeobecný tvar rovnice kružnice so stredom S [1, -2] a polomerom r=3 (x-1)2 + (y + 2)2 = 9 Po úpravách: x2 - 2x + 1 + y2 + 4y + 4 = 9 x2 + y2 – 2x + 4y – 5 =0

  9. Príklad 3 • Napíšte rovnicu kružnice, ktorá má stred S [-3,5] a prechádza bodom A [-7, 8]. ( x + 3)2 + (y – 5)2 = r2 ( -7 + 3)2 + (8 – 5)2 = r2 r2 = 25 ( x + 3)2 + (y – 5)2 = 25

  10. Príklad4 Napíšte rovnicu kružnice k, ktorá prechádza bodmi A [5, 1]; B [0, 6]; C [4, -2]; Riešenie: • Zistíme či body A, B, C neležia v jednej priamke. Smerový vektor AB je B – A =(-5, 5), smerový vektor BC je C – B=(4, -8). Vektory sú rôznobežné a teda aj priamky sú rôznobežné AB, BC. • Bod A leží na kružnici k, preto: 25+1+5a+b+c = 0 • Bod B leží na kružnici k: 02 +62 +0a+6b+c = 0 • A podobne pre bod C patrí kružnici: 16+4+4a-2b+c=0

  11. Príklad4 • Riešením sústavy troch rovníc o tromi neznámymi a, b,c: 5a+b+c=-26 6b+c=-36 4a–2b+c=-20 dostaneme a=0, b=-2, c=-24. Rovnica kružnice vo všeobecnom tvare je: X2 + y2 – 2y – 24 = 0

  12. Domáca úloha • Napíšte stredový i všeobecný tvar rovnice kružnice, keď S[7, -3]; r =6; (x-m)2 +(y – n)2 = r2 (x-7)2 +(y + 3)2 = 62 x2 – 14x + 49 + y2 + 6y + 9 = 36 X2 + y2 -14x + 6y + 22 = 0

  13. Vzájomná poloha priamky a kružnice • Pre vzájomnú polohu priamky p a kružnice k platí: • Sp r p je nesečnica Sústava vytvorená z  rovníc priamky a kružnice nemá riešenie. • Sp= r p je dotyčnica Sústava vytvorená z rovníc priamky a kružnice má jedno riešenie  súradnice bodu dotyku • Sp r p je sečnica Sústava vytvorená z rovníc priamky a kružnice má dve riešenia  súradnice priesečníkov

  14. Zisťovanie vzájomnej polohy priamky a kružnice • Vzájomnú polohu priamky a rovnice zisťujeme riešením sústavy ich rovníc, a to tak, že rovnicu priamky vždy dosadzujeme do rovnice kružnice (kvadratickej rovnice). • Sústava má buď 2 riešenia (2 kružnica a priamka majú dva spoločné body), alebo 1(jeden spoločný bod) riešenie, alebo nemá riešenie v obore reálnych čísel (žiaden spoločný bod).

  15. Príklad 1 • Zistite vzájomnú polohu priamky 4x – 3y – 20 = 0 a kružnice x2 + y2 = 25 4x – 3y – 20 = 0 ⇒ y = 4/3 x – 20/3 x2 + y2 = 25 Dosadíme do rovnice kružnice: X2 + (4/3 x – 20/3)2 = 25 Dostaneme kvadratickú rovnicu: 5x2 – 32x + 35 = 0 Diskriminant: D = (-32)2 - 4.5.35 = 324 X1 = 5; X2 = 7/5; Dosadíme za x1 do rovnice priamky a dostaneme y1 = O. Pre x2 je y2 = -24/5. Priamka je sečnicou kružnice k (majú spoločné dva body)

  16. Príklady na precvičenie • Zistite vzájomnú polohu kružnice x2 + y2 = 25 a priamky x – 2y + 5 =0 • Zistite vzájomnú polohu kružnice x2 + y2 = 25 a priamky x – 2y – 18 = 0 • Zistite vzájomnú polohu kružnice (x – 2)2 +(y -3)2 = 0 a priamky p: x=4+2t; y=1+t.

  17. Domáca úloha • Určte číslo „c“ tak, aby priamka x+2y+c=0 bola dotyčnicou kružnice x2 + y2 = 4 (aby priamka bola dotyčnicou kružnice jej diskriminant sa musí rovnať 0) 0=b2 - 4.a.c (z tejto rovnice vypočítame „c“)

  18. Ďakujem za pozornosť

More Related