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Eletrônica Digital Projeto de Circuitos Combinacionais Aritméticos. Prof. Wanderley. O que é a Aritmética Digital?. São operações aritméticas comuns realizadas com números representados em binário; Máquinas digitais são capazes de realizá-las em velocidades elevadas;
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Eletrônica Digital Projeto de Circuitos Combinacionais Aritméticos Prof. Wanderley
O que é a Aritmética Digital? • São operações aritméticas comuns realizadas com números representados em binário; • Máquinas digitais são capazes de realizá-las em velocidades elevadas; • Como tais operações são realizadas? • Quais circuitos lógicos digitais realizam tais operações?
Adição de números decimais LSD • 376 • +461 • 837
Adição de números binários • Os mesmos passos são seguidos, porém apenas quatro casos podem ocorrer, a saber; • 0+0=0 • 0+1=1 • 1+1=10=0+carry de 1 para a próxima posição • 1+1+1=11=1+carry de 1 para a próxima posição
Adição de números binários • 0+0=0 • 0+1=1 • 1+1=1(0) • 1+1+1=1(1) • 011(3) • +110(6) • 1001(9) • 1001(09) • +1111(15) • 11000(24) • 11,011(3,375) • +10,110(2,750) • 110,001(6,125)
Subtração de números binários • Idem subtração decimal, porém apenas quatro casos podem ocorrer, a saber; • 0-0=0 • 1-1=0 • 1-0=1 • 0-1= (precisa tomar 1 emprestado) 10-1=1 Empréstimo • 110(6) • - 010(2) • 100(4) • 11011(27) • - 01101(13) • 1110(14) • 1000,10(8,50) • - 0011,01(3,25) • 101,01(5,25)
Adição e Subtração com Complemento de 2 • 0 1001(+ 9) • 1 0100(- 4) • 0 0101(+5) • 0 1001(+ 9) • 0 0100(+ 4) • 0 1100(+13) Bit de sinal Bit de sinal • 1 1001(- 9) • 1 0100(- 4) • 1 1100( -13) • 1 1001(- 9) • 0 0100(+ 4) • 1 0101( - 5) Bit de sinal Bit de sinal
Adição e Subtração com Complemento de 2 • Em cada um dos exemplos anteriores, os números são constituídos de um bit de sinal e quatro bits de magnitude, inclusive as respostas. • Nos casos a seguir, a resposta provoca estouro (overflow). • 0 1001(+ 9) • 0 1000(+ 8) • 1 0001(+17) Complemento de 2 de -8 POR QUE? Magnitude incorreta Sinal incorreto
Multiplicação de Números Binários Processo idêntico à multiplicação com decimais, porém ainda mais simples. Multiplicando • 1001( 9) • 1011( 11) • 1001 • 1001 • 0000 • 1001 • 1100011(99) Multiplicador Produtos parciais Produto final Operações envolvidas: adicionar, deslocar (shift) e limpar (clear)
Divisão Binária Processo idêntico à divisão com decimais, porém ainda mais simples. 0/1 = 0 1/1 = 1 1/0 = não existe 0/0 =não existe • 1001(+ 9)/11(+3) • -00 011 (+3) • 100 • - 11 • 011 • -11 • 00 (+0) Operações envolvidas: Multiplicação e subtração binária
Adição BCD • 0101 (5) • +0100 (4) • 1001 (9) • 0100 0101 (45) • +0011 0011 (33) • 0111 1000 (78) • 0110 (6) • +0111 (7) • 1101 (13) <= Código BCD Inválido! • +0110 (6) => Soma-se 6 para corrigir • 0001(1) 0011 (3)
Circuitos Aritméticos • São circuitos eletrônicos digital capazes de executar operações aritméitcas binárias em velocidade considerada humanamente impossível. • Adição e subtração binária podem ser executadas por circuitos puramente combinacional. • Multiplicação e divisão binária requerem circuitos combinacionais mesclada com elementos de armazenamento (memória) e manipulação de dados.
O Meio Somador (Half-Adder) Considere a operação aritmética abaixo O Meio Somador é capaz de realizar apenas a soma de A0 com B0!
O Meio Somador (Half-Adder) Identificação do Problema Construção da tabela verdade Obtenção das expressões Booleanas Geração do Circuito Lógico
O Somador Completo (Full Adder) Considere a operação aritmética O Somador Completo é capaz de somar Cn-1, An e Bn, n=1,2,3,...
O Somador Completo (Full-Adder) Identificação do Problema Construção da tabela verdade Geração de Sn
O Somador Completo (Full-Adder) Geração de Sn
O Somador Completo (Full-Adder) Identificação do Problema Construção da tabela verdade Geração de Cn
O Somador Completo (Full-Adder) Geração do Circuito Lógico
O Somador Completo a partir de Meio Somadores Expressões para o Meio Somador Expressões para o Somador Completo
O Somador Completo a partir de Meio Somadores Da tabela verdade, temos que
O Somador Completo a partir de Meio Somadores Como Então, o circuito do somador completo a partir de meio somadores se reduz a
O Somador de 4 Bits Observe que os Carrys se propagam. Isso demanda um tempo precioso!
O Somador de 8 Bits A medida que o número de bits a serem somados aumenta, aumenta também o tempo de transporte de carry!
Geração Antecipada de Vai Um (Carry Look-Ahead) • Como solução, podemos projetar circuitos somadores com vai um antecipado.
O Complementador a 2 Foi visto em aulas passadas que a operação de subtração de números binários pode ser transladada a uma operação de soma envolvendo o complemento do número negativo. Logo, em termos de circuito, se agregarmos um complementador a 2 ao circuito somador já existente, obteremos um subtrator.
O Complementador a 2 Na prática, implementa-se como segue
O Subtrator de 4 Bits em Complemento de 2 Considerando Minuendo (M) ≥ Subtraendo (S) Há estouro!
O Subtrator de 4 Bits em Complemento de 2 Considerando Minuendo (M) < Subtraendo (S) • Neste caso não há estouro, isto é, C4=0. • Neste caso o resultado da soma M+C2S deve passar por um novo complemento de 2, isto se o objetivo for obter a real magnitude da subtração. • Em operações internas de computador, resultados negativos permanecem complementados a 2.
Multiplicador e Divisor Na prática, multiplicadores e divisores digitais também são implementados a partir de somadores/subtratores. Entretanto, tais operações só são possíveis quando se tem elementos de armazenamento de informação (registradores). Logo, o projeto de uma ALU (Unidade de Lógica e Aritmética) completa será tratado em Sistemas Digitais.
Referência Bibliográfica e Exercícios • Capítulo 6 do Tocci, 11 ed. • Exercícios: 6.1 a 6.36.
