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Contenido. Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales Resolver sistemas no lineales Teoría Aplicación de Newton-Raphson a especiación Aplicación de Picard y Newton-Raphson a transporte reactivo Comparación entre dos métodos. Contenido.

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  1. Contenido • Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales • Resolver sistemas no lineales • Teoría • Aplicación de Newton-Raphson a especiación • Aplicación de Picard y Newton-Raphson a transporte reactivo • Comparación entre dos métodos

  2. Contenido • Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales • Resolver sistemas no lineales • Teoría • Aplicación de Newton-Raphson a especiación • Aplicación de Picard y Newton-Raphson a transporte reactivo • Comparación entre dos métodos

  3. Solución transporte conservativo (1) x • Discretización especial (2D) • Diferencias finitas • Ecuación de transporte para nudo i,j j + 1 y j j - 1 i - 1 i i + 1

  4. Solución transporte conservativo (2) • Elementos Finitos • Se basa en interpolación entre nudos • Se especifica coordinadas de nudos y los nudos de cada elementos • Se pueden mezclar tipos de elementos Valor (c) Nudo Elemento Segmento 1D Segmento Triángulo Cuadrilátero Triángulo Cuadrilátero Tetraedro Prisma Malla 2D de EF

  5. Solución transporte conservativo (3) • Para todos los nudos y en notación de matriz: • Discretización temporal por DF • Resolver ck+1 mediante: Vector de concentraciones para cada nudo Matriz para adv./dif./disp. Vector de fuentes/sumideros Matriz diagonal de almacenamiento Factor de ponderación temporal (entre 0 y 1)

  6. Resolver sistema lineal • Métodos directos • Descomposición en LU • Dos partes • Descomposición: ‘prepara’ matriz A • Solución: calcula x • La descomposición es más costosa que la solución • Si cambia b pero no cambia A, se puede aprovechar la descomposición • Es un método robusto

  7. Resolver sistema lineal (2) • Métodos iterativos • Ejemplos: Gradientes Conjugados, GMRES • Empiezan con una solución inicial, que se mejora cada iteración • Pueden tener problemas de convergencia • Requieren una solución inicial y criterios de convergencia, p.e. • Son mejores para mallas de 2D y 3D con muchos nudos

  8. Contenido • Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales • Resolver sistemas no lineales • Teoría • Aplicación de Newton-Raphson a especiación • Aplicación de Picard y Newton-Raphson a transporte reactivo • Comparación entre dos métodos

  9. Solución de las ec. de transporte reactivo • Problema • Muchas ecuaciones/incógnitas: número de nudos  número de componentes • En general, ecuaciones muy no lineales • Para problemas no lineales hay dos métodos de resolución • Picard (en transporte reactivo también llamado: SIA (Sequential Iteration Approach), Two-step) • Newton Raphson (en transporte reactivo también llamado: DSA (Direct Substitution Approach), One-step, Global Implicit)

  10. Picard, principio • Escribimos ecuación como • Resolvemos iterativamente xi+1 un sistema lineal hasta que converja: • Para 1 incógnita i = número de iteración b(x) A(x1)x A(x2)x A(x)x x2 x3 x1

  11. Criterios de convergencia • Error absoluto de la incógnita • Error relativo de la incógnita • Error de la ecuación

  12. Picard, ejemplo • Dos incógnitas (x1x2) y dos ecuaciones

  13. b(x) A(x)x x3 x2 x1 Picard, divergencia • En lugar de converger (cada vez más cerca de la solución), puede divergir (cada vez más lejos de la solución) • Se puede solucionar refinando la descretización (disminuyendo x o sobre todo t)

  14. Newton-Raphson, principio • Escribimos ecuación como • Resolvemos iterativamente xi+1 mediante un sistema lineal hasta que converja: • Para 1 incógnita Jacabiano Residuo f J0 J1 x3 x2 x1 x0

  15. Newton Raphson, ejemplo

  16. Newton-Raphson, divergencia • También Newton-Raphson puede divergir • También se puede solucionar refinando descretización f x0 x1 x2

  17. Pseudo Newton-Raphson • No (siempre) se actualiza el jacobiano • Requiere más iteraciones, pero se ahorra tiempo de cálculo en el ensamblaje del jacobiano f J0 x3 x2 x1 x0

  18. Contenido • Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales • Resolver sistemas no lineales • Teoría • Aplicación de Newton-Raphson a especiación • Aplicación de Picard y Newton-Raphson a transporte reactivo • Comparación entre dos métodos

  19. Si hay expresión explícita para química • Nc ecuaciones y Nc incógnitas (c1) • Newton-Raphson 1: Se sabe la con-centración total (ua) 2: Se sabe la con-centración (cprescrita) 1: 2:

  20. Ejemplo • Primarias: H+, CO3-2 • Secundarias: HCO3-, CO2, OH- • Carbono total = 10-3, pH =7

  21. Si no hay expresión explícita para química • Ecuaciones químicas • ¿Cómo calcular ca2 y ca2/c1? • O, montar Newton-Raphson con Ns incógnitas (c) y ecuaciones (componentes y químicas) • O, calcularca2 y ca2/c1 iterativamente (i+1 = (ci)) Se itera Después de la última iteración Regla de la cadena

  22. Contenido • Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales • Resolver sistemas no lineales • Teoría • Aplicación de Newton-Raphson a especiación • Aplicación de Picard y Newton-Raphson a transporte reactivo • Comparación entre dos métodos

  23. Picard, aplicación a transporte reactivo • Escribimos ec. de transporte reactivo como: • Primer paso: transporte • Se puede resolver para cada componente por separado • Ecuación discretizada Términos lineales Términos no lineales = vector de conc. acuosas de componente c para todos los nudos

  24. Picard, aplicación a transporte reactivo (2) • Segundo paso: química • Cálculo de bi+1 a partir de uai+1 para cada nudo por separado • Resolver c1 (Nc) y cm (Nm) aplicando Newton-Raphson (pequeño) • Calcular bi+1 a partir de c1 y cm Nc Nm

  25. Detalles ecuaciones químicas Ec. de transporte tratada como ec. química Para componentes inmóviles, p.e. [XNa] + 2[X2Ca] = CEC

  26. Ejemplo • Reacciones en equilibrio R1: CO32- = HCO3- - H+ R2: X2Ca = 2XNa + Ca2+ - 2Na+ R3: H2O = H+ + OH- R4: CaCO3(s) = Ca2+ + CO32- • Componentes: Ca2+, HCO3-, Na+, XNa (CEC), H+, OH- Tratar como ecuación 'química'

  27. Resolver las concentraciones acuosas Ejemplo, paso de transporte

  28. Ejemplo, paso químico • Resolver Ca2+, HCO3-, Na+, H+, OH-, XNa, CaCO3

  29. Picard, variantes • Utilizar u en lugar de ua como variable • Paso de transporte • Paso químico • SNIA (Sequential Non Iterative Approach) • Lo mismo que SIA pero sin iterar

  30. Valores iniciales • Paso de transporte: utilizar el valor del tiempo anterior • Paso químico: utilizar el valor de la iteración de transporte anterior i = iteración de transporte j = iteración química

  31. Picard y eliminación de minerales • La presencia de minerales puede depender del espacio  E y EU dependen del espacio • Se pierde la ventaja de calcular el paso de transporte para cada componente por separado • La eliminación de minerales sólo se puede incorporar a Picard, si la presencia de minerales no depende del espacio.

  32. Newton-Raphson, aplicación a trans. react. • Escribimos ecuación de transp. react. como • Hace falta • Discretizar • Jacobiano • Si las conc. secundarias se escriben explícitamente en función de las primarias, p.e.se pueden escribir las ec. de transporte en función de conc. primarias

  33. Newton-Raphson, sustitución ec. químicas • Si ecuaciones químicas no son explícitas • Aplicar Newton-Raphson a ecuación de transporte • Newton-Raphson pequeño para química (Nc-Np) ecuaciones de transporte (Nr)ecuaciones químicas Se itera Después de la última iteración

  34. Valores iniciales • Para el valor inicial utilizar el valor del tiempo anterior

  35. Contenido • Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales • Resolver sistemas no lineales • Teoría • Aplicación de Newton-Raphson a especiación • Aplicación de Picard y Newton-Raphson a transporte reactivo • Comparación entre dos métodos

  36. Comparación teórica

  37. Comparación mediante ejemplos • Metodología • Calcular ejemplos mediante los dos métodos • Usar gestión automática de t • Comparar número de incrementos de tiempo, número de iteraciones y tiempo de CPU

  38. Ejemplo CAL • Disolución de CALcita 3 componentes 7 acuosas 1 mineral 21 nudos 1.0 volumen poros lavados

  39. Ejemplo WAD • Intercambio iónico en el ‘WADdenzee’ 6 componentes 9 acuosas 3 adsorbidas 1 mineral 21 nudos 37.5 vol.por.lav.

  40. Ejemplo DEDO • DEDOlimitación cerca de una fractura 7 componentes 15 acuosas 2 mineral 225 nudos 22 705 vol.por.lav.

  41. Ejemplo OSA • Meteorización en una mina de Uranio de OSAmu Utsumi (Poços de Caldas, Brasil) 13 componentes 42 acuosas 8 mineral 101 nudos 40 000 vol.por.lav.

  42. Resultados

  43. Influencia malla • ¿Qué pasa con mallas finas y de más dimensiones? • Cambiar las mallas 1D en 2D • Variar el número de nudos

  44. Resultados

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