Prezent ácia na tému : Množiny

1. Prezentácia na tému : Množiny Jakub Šarmír

2. Množina • · je súbor prvkov, ktoré spĺňajú určitú vlastnosť • · je jednoznačne určená, keď o každom prvku viem povedať, či danú vlastnosť má alebo • nemá, t.j. či do množiny patrí alebo nepatrí • · prvok x patrí do množiny A · zapisujeme: x € A • · prvok x nepatrí do množiny A · zapisujeme: x € A • · označenie: · množiny: A, B, R ... · prvky: a, b, 1, 2, ...

3. Určovanie množín • · vymenovaním všetkých jej prvkov · pri konečných množinách · Konečná množina: je to množina, ktorá má konečný počet prvkov · napr. A = {1,2,3,4} • · udaním charakteristickej vlastnosti prvka množiny · pri nekonečných množinách · Nekonečná množina: je to množina, ktorá má nekonečný počet prvkov · napr. množina všetkých reálnych čísel; · napr. B = {x Î N; x ³ 6}

4. VZŤAHY • Rovnosť množín: • · množiny A a B sa rovnajú (A=B) práve vtedy, keď každý prvok množiny A je prvkom množiny B a každý prvok množiny B je prvkom množiny A • · A=B vyplyva x; x patri A vyplyva x patri B • · rovnosť množín je: · reflexívna: A=A · symetrická: A=B vyplyva B=A · tranzitívnosť: A=B zaroven B=C vyplyva A=C

5. Množinová inklúzia • · Množina A je podmnožinou množiny B (alebo B je nadmnožinou množiny A) a píšeme AÌ B, ak každý prvok množiny A je zároveň prvkom množiny B • · AÌ B Û "x; x Î A ⇒ x Î B • · vlastnosti: · reflexívnosť: AÌA · tranzitívnosť: AÌ B Ù BÌC ⇒ AÌC · každá množina je nadmnožinou prázdnej množiny; ØÌ A

6. Grafické vyjadrenie množín • · vzťahy medzi množinami vyjadrujeme pomocou tzv. Vennových diagramov • · množinu U nazývame základná množina 3 mnoziny 4 mnoziny 2 množiny:

7. OPERÁCIE • Zjednotenie množín: • · Zjednotením množín A,B nazývame množinu AÈB tvorenú práve tými objektmi x, ktoré • sú prvkami aspoň jednej z množín A,B • · x Î AÈB Û xÎA Ú xÎB • · vlastnosti: • · AÈA = A • · AÈB = BÈA komutatívnosť • · AÈØ = A • · AÈ(BÈC) = (AÈB) ÈC asociatívnosť • · AÌB ⇒ AÈB = B

8. Prienik množín • · Prienikom množín A,B nazývame množinu AÇB tvorenú práve tými objektmi x, ktoré sú • súčasne prvkami oboch množin A,B • · x Î AÇB Û xÎA Ù xÎB • · vlastnosti: • · AÇA=A • · AÇB=BÇA komutatívnosť • · AÇ Ø= Ø • · AÇ(BÇC)=(AÇB) ÇC asociatívnosť

9. Rozdiel množín • · Rozdielom množín A,B (v uvedenom poradí) nazývame množinu A-B tvorenú práve tými • objektmi x, ktoré patria do množiny A a nepatria do množiny B • · x Î A-B Û xÎA Ù xÏB • · vlastnosti: • · A-A = Ø • · A-Ø = A • · Ø-A = Ø • · (A-B) Ì A • · ak A¹ B, tak A-B ¹ B-A • (A-B) Ç (B-A) = Ø operácia rozdielu nie je komutatívna • · A-B = Ø Û AÌ B

10. Doplnok množín • · Doplnkom (komplementom) množiny A v jej nadmnožine X nazývame množinu A`X • tvorenú práve tými objektmi x, ktoré sú prvkami X, ale nie sú prvkami A • · vlastnosti: • · A`X = X-A • · A` Ç A = Ø • · A` È A = X • · (A`)` = A

11. De Morganove pravidlá: • · (AÈB)` = A` Ç B` • · (AÇB)` = A` È B` • · A Ç B = Ø množiny A a B sú DISJUNKTNÉ (nemajú žiaden spoločný prvok) • Distributívne zákony: • · AÈ(BÇC) = (AÈB) Ç (AÈC) • · AÇ(BÈC) = (AÇB) È (AÇC)

12. Princíp inklúzie a exklúzie: • · Počet prvkov konečnej množiny A označujeme A • · Na výpočet prvkov sa často používa princíp inklúzie a exklúzie (zapojenia a vypojenia). • · pre 2 množiny: • · A ÈB = A + B - A ÇB • · pre 3 množiny: • · A ÈBÈC = A + B + C - A ÇB - A ÇC - BÇC + A ÇBÇC • · pre 4 množiny: • · A ÈBÈCÈD = A + B + C + D - A ÇB - A ÇC - A ÇD - BÇC - BÇD - • - CÇD + A ÇBÇC + A ÇBÇD + A ÇCÇD + BÇCÇD - A ÇBÇCÇD