Dipartimento di Economia Università degli Studi di Cagliari ___________________________

1. Dipartimento di Economia Università degli Studi di Cagliari ___________________________ CORSO DI ECONOMETRIA ___________________________ Prof. Paolo Mattana Lez. 10 -La logica dietro la diagnostica di routine

2. LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST • Obiettivi: • Capire le motivazioni dietro il “post regression econometric testing”; • Conoscere in termini generali su cosa si basano i test; • Essere in grado di discutere l’intuizione generale dietro i test LR, WALD, LM.

3. LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST Si consideri la necessità di “inferire” qualcosa a partire da un vettore di parametri di dimensione p (parametric testing):

4. LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST • Per ragioni che possono riguardare: • consistenza con la teoria economica; • valutazione di segni, magnitudo, significatività statistica; • diagnostica di routine (sulla conformità ipotesi classiche); • riconciliazione dei risultati con studi precedenti (condotti magari con metodologie differenti).

5. LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST • Come posso procedere? • i) Identificazione di H0 (ipotesi sul modello ristretto); • ii) (H1, in termini complementari, contempla il modello generale); • Verificare che H1 “contenga” H0 (sia più generale); • Identificare l’insieme delle (r) restrizioni su θ; • Eliminare eventuali ridondanze e/o incongruenze. • Abbiamo perciò: • Rθ = q (caso lineare) • G(θ)= 0 (caso generale – non lineare)

6. LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST • Dove: • R è una matrice (di termini costanti) r  p; • Q è un vettore di costanti r  1. • Avremo perciò (nel caso lineare per noi più utile): • H0: Rθ = q VS • H1: Rθ ≠ q

7. LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST Es: Si supponga, dopo aver stimato , e, di voler “testare”: = 1; + = 2; = 3. Avremo, sotto H0: R

8. LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST • Basi di partenza: • Esistono alcuni risultati standard sulle proprietà distributive delle stime ottenute con metodi MLE • tali risultati possono utilizzarsi per costruire test asintotici (parametrici/non parametrici) • Il passaggio da MLE a OLS (lo stimatore che conosciamo) è semplice considerando che (sotto l’ipotesi di normalità dei residui), la funzione di verosimiglianza è proporzionale a RSS

9. LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST Lo stimatore MLE del vettore di parametri sarà: Sotto H0: MLE = arg MAX L( ) s.t. R= q Sotto H1: MLE= arg MAX L() Come selezionare un test desiderabile? Possiamo sfruttare 3 principi: LR, Wald e LM

10. LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST • La gran parte dei test (sia che usino il principio LR, Wald o LM) generano statistiche da semplici regressioni ausiliarie (OLS). • Solo i test che usano il principio LR richiedono la stima di entrambi i modelli (ristretto e non ristretto). • Wald richiede solo stima modello ristretto • LM richiede solo stima modello non ristretto

11. LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST • IL PRINCIPIO LR • Si calcola il rapporto • Si può dimostrare che – 2ln(λ) si distribuisce secondo un χ2 con r gradi di libertà (dove r = numero di restrizioni). • Se le restrizioni sono “vere”: • λ 1 • Ln(λ)0 • Es: il test F di specificazione generale.

12. LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST IL PRINCIPIO di WALD Si basa su una statistica della distanza tra Si assuma che MLE ~ N(θ, V) Allora: ~ N(Rθ, RVR’) Sotto H0, ~ N(q, RVR’)

13. LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST IL PRINCIPIO di WALD Per cui ~ Con r gradi di libertà. Es: Stima funzione di produzione. Procedere alla valutazione della restrizione β2 + β3 = 1 (RCS); χ2 R q

14. LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST IL PRINCIPIO DI WALD Per cui: χ2 ‘ ~ χ2 ~

15. LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST IL PRINCIPIO LM Più complicato da derivare in termini formali Diventano però i più facili da usare dal lato pratico; Si computano utilizzando gli R2 da regressioni ausiliarie che incorporino ipotesi sui termini di errore; Una volta ottenuti gli R2 li si moltiplica per la dimensione del campione; La statistica TR2 si distribuisce secondo un χ2con r gradi di libertà (dove r = numero di restrizioni).

16. LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST IL PRINCIPIO LM Si consideri la possibilità di max lnL(θ) sotto i vincoli in H0 Il Lagrangiano sarà: E le FOCs per cui (score valutato in θ^) s(θ)=λ

17. LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST RELAZIONE FRA I TRE PRINCIPI • Le tre statistiche misurano la “distanza” secondo tre diversi criteri 

18. LA DIAGNOSTICA DI ROUTINE TEST JARQUE-BERA Statistica per testare l’ipotesi nulla di normalità dei residui. Sfrutta la differenza tra la statistica relativa ad una serie specifica e i valori che si dovrebbero determinare sotto una distribuzione normale. La statistica si computa come segue: dove S è l’indice di simmetria, K il kurtosis e k il numero di coefficienti stimati. Sotto H0, JB si distribuisce come un χ2 con 2 gradi di libertà

19. LA DIAGNOSTICA DI ROUTINE TEST DI WHITE Statistica LM utile per testare la presenza di Eteroschedasticità di qualche forma (sconosciuta). Si parta dal modello generico e si studi la regressione ausiliaria: Test sull’ipotesi congiunta sotto H0

20. LA DIAGNOSTICA DI ROUTINE TEST DI WHITE La statistica si distribuisce come un χ2 con r (restrizioni) gradi di libertà. In Eviews esiste anche la versione semplificata senza “cross-terms” In presenza di Heteroschedasticità uso la stima GLS. In Eviews trovate le stime Heteroschedasticity-consistent

21. LA DIAGNOSTICA DI ROUTINE RESET TEST (REGRESSION SPECIFICATION ERROR TEST) RAMSEY Si prenda in considerazione il modello generale: Il RESET test ipotizza l’esistenza di altre variabili (generiche) Se suppongo che la matrice Z sia composta di quadrati e altre potenze della Y avrò un test di corretta specificazione del modello

22. LA DIAGNOSTICA DI ROUTINE • RESET TEST (REGRESSION SPECIFICATION ERROR TEST) RAMSEY • Quindi il RESET è un test generale per i seguenti problemi: • Variabili omesse; X non include tutte le variabili rilevanti; • Forma funzionale errata; alcune o tutte le variabili in Y e X potrebbero essere trasformate in logaritmi, potenze, reciproci, o in altri modi. • Correlazione tra X ed e, la quale potrebbe essere causata da errori di misura in X, equazioni simultanee, combinazione di valori ritardati di y e disturbi correlati serialmente.

23. LA DIAGNOSTICA DI ROUTINE • TEST BREUSCH-GODFREY (LM) DI CORRELAZIONE SERIALE • Test condotto con regressione ausiliaria; • Bisogna specificare l’ordine di correlazione (si fissa un numero “sufficientemente elevato”; • E’ valido anche in presenza di variabili dipendenti ritardate;

24. LA DIAGNOSTICA DI ROUTINE • TEST BREUSCH-GODFREY (LM) DI CORRELAZIONE SERIALE • Steps: • Si conduca la regressione • Si salvino i residui ; • Si conduca la regressione ausiliaria: • Il test è su un’ipotesi congiunta sui gamma…