Calcoli mentali e operazioni scritte in 1 E 2 ELEMENTARE

1. Como, 18 ottobre 2011 15 novembre 2011 Calcoli mentali e operazioni scrittein 1 E 2 ELEMENTARE

2. LA BANCA DEI NUMERI

3. USIAMOLA PER ….CAPIRE!!!!! • Come poi costruire il numero 15 utilizzando ciò che contiene questa scatola? • Costruisci I seguenti numeri: COSTRUISCI IL NUMERO 123 87 78 67 76 24 39 88 • Dopo aver costruiti mettili in fila dal più grande al più piccolo. • Costruisci un altro numero che possa stare tra questi due (es. 78 e 84). • ecc. …

4. ATTIVITÀ NUMERICHE FONDATE SUL VALORE POSIZIONALE DELLE CIFRE Le attività proposte si appoggiano su una “scatola di numeri” chiamata Banca dei numeri che, a seconda dei livelli degli allievi, può essere composta da numeri entro il 100 oppure entro il 1 000 L’obiettivo prioritario nell’uso della Banca dei numeri (e di tutte le attività correlate) consiste nel mettere l’allievo in situazioni sempre più complesse nelle quali egli possa costantemente mantenere il controllo numerico della situazione. 8 febbraio 2006

5. La BANCA DEI NUMERI Acquisire la padronanza del valore posizionale delle cifre Acquisire la padronanza di un linguaggio operativamente utile Utilizzare dei materiali didattici e dei supporti visivi che abbiano un uso temporaneo, dei mezzi per facilitare la costruzione di rappresentazioni Utilizzare un materiale che permetta di adattarsi a situazioni numeriche sempre più complesse delle quali possa mantenere il controllo numerico La banca dei numeri permette di trattare le situazioni numeriche con i seguenti fondamentali obiettivi:

6. ESEMPI DI ATTIVITÀ • Costruisci i numeri 32 e 24 • Ora mettili insieme • RICORDA: si chiama banca perché posso andare a cambiare tutto ciò che è possibile COSTRUISCI IL NUMERO Questa attività può essere svolta oralmente (in un momento di lavoro individuale) o a partire dal testo. Non è sempre vero che un allievo che sa scrivere correttamente dei numeri sappia poi costruirli con laBanca dei numeri.in questo caso (quando non ci fosse padronanza del valore posizionale delle cifre) la prima attività dell’allievo può concernere un lavoro di scoperta 30 20 4 2 50 6 • Se il bambino non sa cambiare 30 + 20 con il 50 lavorerò all’interno di questa famiglia

7. ESEMPI DI ATTIVITÀ (inizio a verbalizzare) dopo molte attività come la precedente • Costruisci i numeri 34 e 42 e sommali • 34+42= = = 76 • OPPURE • 30 + 4 + 40 +2 =70 + 6 = 76 Entra in gioco il depennare (….lo vedremo poi nei minilaboratori) 30 4 40 2 70 6 • Fino a portare i bambini a “tener fermo” un addendo • 26 + 13 = 26 + 10 + 3 = 36 + 3 = 39 • Primo scalino di astrazione • Poi potrò passare alla sottrazione • 34 – 21 = 30 – 20 qui attiverò l’automatismo 20 + 10 = 30 quindi • 34 – 21 = 30- 20 = 10 cioè 14 – 1 = 13 20 1

8. ESEMPI DI ATTIVITÀ (inizio terza…) • Costruisci seguenti numeri e sommali 345 217 23 200 300 20 40 10 3 5 7 • Sarebbe da risolvere con un calcolo scritto ma, se osservo i cartellini mi accorgo che i calcoli sono molto semplici….

9. ESEMPI DI ATTIVITÀ Scomponi dei numeri per costruirne altri che sommati danno lo stesso risultato. • Usando la Banca dei numeri, costruisci questi tre numeri: • Dopo aver ricostruiti esegui la somma.“Annota sul tuo quaderno ciò che fai” • Ora scomponi i tuoi numeri e, utilizzando tutte le parti (tutti i cartellini), componi altri numeri. • Fai ancora la somma. Cosa hai scoperto? • 113 • 321 (Non c’è, in questo caso, nessun passaggio di decina o di centinaio.) Oss: è questa una mediazione (da parte del docente) che favorisce la costruzione di algoritmi spontanei creando un collegamento diretto tra i momenti di calcolo mentale di calcolo scritto

10. Conoscenze numeriche, algoritmi e automatismi

11. È corretto nelle prime classi della scuola elementare dedicare così tanto tempo ed energie all’insegnamento e apprendimento delle tecniche di calcolo? Quali sono gli obiettivi e il senso di tale pratica? Quali sono le finalità dell’insegnamento della matematica nella scuola di base? Per l’alunno, le quattro operazioni scritte sono un apprendimento prioritario? Quale relazione esiste tra l’insegnamento frontale delle tecniche di calcolo e lo sviluppo delle conoscenze e competenze logico-matematiche dell’alunno? Si tratta di competenze che gli allievi useranno veramente nel loro futuro scolastico, professionale e sociale? Quali ruoli di allievi e docenti in questo insegnamento? Se il bambino deve essere l’artefice del proprio apprendere, come considerare l’insegnamento degli algoritmi convenzionali, così come praticato nella stragrande maggioranza delle scuole? Le calcolatrici hanno, di fatto, scalzato la necessità di usare le operazioni scritte ormai in via di completa estinzione nelle pratiche sociali quotidiane? A chi e quando capita ancora, in un’intera vita di adulto, di dover fare, ad esempio, una divisione del tipo 183,45 : 3,2, oppure una semplice moltiplicazione come 38 x 45? Conoscenze numeriche, algoritmi e automatisimi Interrogativi

12. 1a fase: Il riferimento essenziale consiste nella “Banca dei numeri” Proporre situazioni numeriche che portino l’allievo al desiderio di esplorare sempre più le sue competenze nel “Calcolo mentale” e nell’usare, quando è il caso, l’annotazione scritta come supporto (procedura di scomposizione) Queste modalità portano alla costruzione di Algoritmi personali o spontanei in cui il numero è trattato da sinistra a destra Tutte le attività matematiche sono costantemente alternate a momenti di comunicazione e di validazione (l’insegnante non prende posizione) Calcolo mentale, conoscenze numeriche e “algoritmi spontanei”(indicativamente in 2a e 3a elementare)

13. 2a fase: A questo punto tra tutti gli algoritmi proposti occorre scegliere le procedure di calcolo più efficaci, più sicure, più comode per arrivare ad una condivisione di classe (ad una sapere valido per noi per il nostro gruppo) Si tratta di una auto-istituzionalizzazione provvisoria, una fase che permette sempre di confrontarsi intensamente con le procedure che meglio contribuiscono al consolidamento del calcolo mentale e delle conoscenze numeriche Prima di introdurre gli algoritmi convenzionali è necessario che gli allievi abbiano l’opportunità di acquisire padronanza nella stima e nel controllo numerico (314+521 il risultato deve essere per forza ottocento e qualcosa) Calcolo mentale, conoscenze numeriche e “algoritmi spontanei”(indicativamente in 2a e 3a elementare)

14. 3a fase: Dopo aver raggiunto la padronanza e dopo aver esteso il campo numerico (oltre il 1000 e con il numero decimale) è possibile decidere di insegnare gli algoritmi convenzionali È necessario, a questo punto, che l’allievo possa gestire alternativamente due modalità diverse nel trattare i numeri: - da destra a sinistra quando applica le diverse procedure delle operazioni convenzionali - da sinistra a destra quando deve mantenere il controllo numerico della situazione, calcolare oralmente o mentalmente oppure stimare Calcolo mentale, conoscenze numeriche, “algoritmi di classe e algoritmi convenzionali”(indicativamente nel corso della 4a elementare e a inizio 5a per allievi meno esperti)

15. L’insegnamento precoce delle operazioni scritte, in 2a e in 3a classe della scuola di base, è non solo inopportuno rispetto agli obiettivi cognitivi degli allievi, ma può addirittura avere degli effetti nefasti Conoscenze numeriche, algoritmi e automatisimiLa nostra esperienza

16. Insegnando precocemente le operazioni scritte convenzionali, l’insegnante rende le ore di matematica uno dei più penetranti e occulti strumenti di “normalizzazione” Conoscenze numeriche, algoritmi e automatisimiLa nostra esperienza

17. Conoscenze numeriche, algoritmi e automatisimiErrori “4 meno 6 non lo posso fare perché me lo ha detto la maestra … faccio 6 meno 4 … fa 2 … 1 meno 1 fa 0 e poi 1 Luca inverte l’ordine dei termini per rendere possibile l’operazione. Egli è indotto in errore dal fatto che per anni gli è stato insegnato che 4 meno 6 non si può fare.

18. Conoscenze numeriche, algoritmi e automatisimiErrori “4 più 3 fa 7 4 più 8 … 12 … scrivo 2 e ritengo 1 4 più 1 … 5 e 1 di riporto che fanno 6 lascio un posto 9 più 3 … 12 … scrivo 2 e riporto 1 9 più 8 fanno 17 e 1 che fa 18 … scrivo 8 9 e 1 fanno 10 (si dimentica l’1) … (continua con l’addizione ed esegue l’ultima fase in modo corretto) Qui siamo di fronte ad una macroscopica perdita di senso e di controllo della situazione numerica. L’allieva mescola le procedure dell’addizione e della moltiplicazione. Si sforza nel cercare di ricordare meccanicamente quanto le è stato insegnato. Concentrata più sulla procedura che sul senso della situazione numerica non vede che il risultato dovrebbe essere circa 300.

19. Conoscenze numeriche, algoritmi e automatisimiErrori “7+2…9, 4+0…4 e poi 0” “3+4…7, 9+0…9 e poi 0” “9+7…16 e scrivo 6, 2+0…2 e poi 0” 700+24=940 39+400=790 900+72=620 In un simile caso è necessario interrompere immediatamente l’insegnamento delle operazioni scritte per evitare conseguenze ancora più disastrose.

20. Conoscenze numeriche, algoritmi e automatisimiErrori “4 meno 6 non posso, allora presto 1 che fa 14 e…meno 6 fanno 8 … aggiungo 1 che fa 2 e 11 meno 2 fanno 9 … poi…1 meno 0 fa 1” Maura ha appreso quasi correttamente la tecnica insegnata, però commette un piccolo errore alla fine della procedura dimenticando che l’1 delle centinaia (10 decine) è già stato utilizzato precedentemente. L’esempio mostra che Maura non si preoccupa assolutamente del controllo numerico che la porterebbe facilmente a riconoscere che il risultato è impossibile. È così centrata nella procedura di calcolo da perdere il controllo della situazione numerica che dovrebbe immediatamente farle affermare che il risultato deve per forza essere inferiore a 100.

21. Conoscenze numeriche, algoritmi e automatisimiErrori Con fierezza dice:”Adesso sono capace di fare dei calcoli con dei numeri grandi, guarda (scrive 200+200 in colonna) 0+0 … 0 (scrive 0) 0+0 … 0 (scrive 0) 2+2 … conta usando le dita 1, 2, 3, 4 …fa 4 (scrive 4) Qual è il risultato? Esita nel leggere il numero L’esitazione nel leggere il risultato e la conta con le dita indicano chiaramente che l’allievo opera al di fuori del campo numerico padroneggiato

22. 3 1 Algoritmi spontanei Algoritmi convenzionali 2 Algoritmi “di classe” Algoritmi spontanei, algoritmi “di classe”, algoritmi convenzionali Un diverso percorso nella progettazione dell’apprendimento degli algoritmi Rispettando quali tempi?

23. Algoritmi spontanei Operando con gli algoritmi spontanei si manifestano le seguenti particolarità: • 300x3 … 900 • 20x3 … 60 • 3x4 … 12 • Addiziona i risultati parziali ottenuti • Trattando i numeri da sinistra a destra l’allievo non perde mai il controllo numerico

24. Algoritmi spontanei • 355 – 100 = 255 • 255 – 20 = 235 • 235 – 4 = 231 • Esercita e sviluppa sempre più le conoscenze-competenze nel calcolo mentale

25. Algoritmi spontanei • 263 + 100 … 363 • + 20 … 383 • + 8 … 391 • Opera soltanto entro il campo numerico di sua padronanza (non gli è possibile andare oltre senza costruirne l’estensione)

26. Algoritmi spontanei • Sa sempre spiegare la procedura utilizzata perché è frutto delle sue conoscenze • Il linguaggio interiore utilizzato si organizza e nel contempo rinforza le sue competenze sul valore posizionale (che diventa la conoscenza essenziale, costantemente sollecitata)

27. Algoritmi spontanei • Meno 200 • più 1 • È valorizzata la sua autonomia e la capacità di ricercare e scoprire soluzioni • Confronta le sue procedure con quelle dei compagni instaurando dei dibattiti sulla validità matematica delle procedure create

28. Algoritmi spontanei • Osservate come Daniele, nel cercare di risolvere la situazione numerica 252 : 4, struttura in tre momenti la ricerca della soluzione. • In un primo momento procede alla scomposizione dei numeri come fa con l’addizione. Si accorge però della difficoltà di fare 250:4 e 2:4, per cui cambia procedura. • Mette allora in atto a tappe la procedura moltiplicativa fino ad avvicinarsi il più possibile al 252 (4x60=240) • A questo punto scompone il 252 in 240 e 12, numeri che gli consentono di dividere per 4 e in questo modo trova la soluzione • In questo esempio è evidente il monitoraggio messo in atto da Daniele sul proprio operare: il controllo esecutivo è costantemente guidato dalle conoscenze numeriche di cui dispone in quel momento e dal senso delle operazioni: moltiplicazione come inverso della divisione e conoscenza implicita della proprietà dissociativa: • 252:4=(240:4)+(12:4)

29. Algoritmi spontanei • Riesce a monitorare, modificare e mantenere il controllo esecutivo della procedura e della situazione numerica • Si rende conto immediatamente degli ostacoli (errori) appena questi si manifestano • È costantemente nell’attività logico matematica in un ruolo attivo costruttore del proprio “impressionante edificio cognitivo” (Vergnaud), ragiona sulle sue scelte e prende le decisioni adeguate nel limite delle sue attuali competenze matematiche.

30. cognitivo e metacognitivo Il gioco delle famiglie

31. Premessa: Chi utilizza l'approccio e i materiali Dimat, è tenuto a proporre alla classe dei momenti di lavoro e riflessione (lezioni, attività, giochi,..) sulle "famiglie di calcoli". In assenza di questi momenti, una gran parte dei materiali Dimat(relativi soprattutto ai calcoli mentali e orali)risulterebbe per gli allievi di difficile comprensione. In relazione al "calcolare", rispetto alle consuete scelte didattiche (in cui si mira essenzialmente alla ricerca del risultato) sono state operate delle "ROTTURE di CONTRATTO". In particolare prendiamo in considerazione: - gli obiettivi cognitivi calcolo mentale, orale e operazioni scritte - gli obiettivi metacognitivi - le diverse procedure messe in atto - le scelte didattiche dell'insegnante

32. Esempio: 1.Ritaglia tutti i rettangoli contenenti le addizioni. 2.Ordina le addizioni dalla più facile alla più difficile, senza calcolare i risultati. 3.Risolvi ora tutte le addizioni, iniziando dalla più facile. Se necessario, modifica l’ordine nel quale hai messo le addizioni. 4.Ricerca altre “famiglie” da inserire nella tua lista. 5.Confronta il tuo lavoro … 6.… (altre consegne possibili) ………

37. "Gioco delle famiglie" (per i docenti del corso) Dapprima risolvi le sei addizioni. Ora, queste addizioni appartengono a due "famiglie" diverse. Quali appartengono ad una "famiglia" e quali all'altra? Cosa hanno di simile e cosa hanno di diverso queste due "famiglie"?

38. Dopo gli esempi e la riflessione che abbiamo fatto sulle “famiglie”, potrebbe essere interessante proporre alla classe un’ attività di ricerca e di scoperta a coppie o a gruppetti.

39. Osservazione: Nelle prime settimane di 3a, attraverso questa attività di ricerca, avete la possibilità di osservare e verificare il grado di padronanza di vostri allievi nel campo dei primi 100 numeri. Annotazione: Diverse sono le possibilità pratiche di proporre e di svolgere questa attività di ricerca per cui proponiamo un momento di discussione a gruppetti, tra docenti, per analizzare le variabili e i vincoli da mettere in gioco (sia da un punto di vista cognitivo che socio-affettivo). Il lavoro è fatto al meglio quando riusciamo a definire in modo esatto le consegne e le procedure che proponiamo alla classe. In qualunque caso l’attività che proponiamo agli allievi deve poter rispondere ad interrogativi di questo genere: - Quale il senso di questo lavoro? (cognitivo, metacognitivo, socio-affettivo) - Come desideriamo che lavori il gruppo di allievi? - Quali i momenti collettivi e quali i momenti individuali? Come stimolare o “vincolare” gli uni e gli altri? - Deve correggere l’insegnante? - Che ruolo ha il docente durante il lavoro a gruppi? - Prende posizione di fronte ad eventuali errori? Perché? - ecc... Gli allievi devono poter produrre un materiale (traccia del loro lavoro) nel quale appaiono le diverse famiglie “scoperte”. I lavori dei gruppi vengono poi messi in comune per una discussione e un bilancio finale: comunicazione e validazione da parte dei singoli gruppi (sono delle importanti “lezioni di sintesi”)

40. Seguono altri quattro fogli, con altre “famiglie”. Alla sera ogni membro del gruppo si è portato a casa un paio di fogli ed ha aggiunto un po’ di addizioni che sono poi state controllate dai compagni il giorno dopo. In un altro gruppo, ognuno ha ricopiato su un foglio i titoli delle famiglie e a casa ha dovuto pensare ad almeno due nuovi membri. Il giorno dopo hanno aggiunto ai fogli i “nuovi arrivati.” Esempio: ecco dei fogli (da me trascritti) che hanno preparato alcuni allievi di una classe.

41. Esempio “Da un’attività collettiva a un materiale di ripresa.” Quali variabili entrano in gioco? - “Distanza” tra le famiglie. - Controllo (correzione a coppie, autocorrettivo, ...) - ecc. ............... . . . . .

42. Le famiglie di calcoli Per finire facciamo un gioco: Questi calcoli appartengono a famiglie diverse, voi fate delle squadre e vediamo chi riesce a trovare in 5 minuti il maggior numero di calcoli che appartengono alla stessa famiglia. Con i bambini si può anche dare una sola famiglia per volta