540 likes | 1.26k Views
Číselné sústavy. 2. Obsah. Číselné sústavy Delenie číselných sústav Desiatková čís . sústava Dvojková Osmičková Šestnástková Prevody sústav Základné operácie (+, -, :, *). Cieľ. vysvetliť pojem binárna sústava ukázať ako prepíšeme číslo z desiatkovej do binárnej číselnej
E N D
Obsah • Číselné sústavy • Delenie číselných sústav • Desiatková čís. sústava • Dvojková • Osmičková • Šestnástková • Prevody sústav • Základné operácie (+, -, :, *)
Cieľ • vysvetliť pojem binárna sústava • ukázať ako prepíšeme číslo z desiatkovej do binárnej číselnej sústavy • ... a z binárnej do desiatkovej
Základné pojmy • Číselná sústava je systém jednoznačných pravidiel pre zobrazenie číselných hodnôt pomocou konečného počtu znakov (číslic, cifier) • Číslo je reprezentované v danej číselnej sústave postupnosťou číslic • Číselnú sústavu charakterizuje z vonkajšieho pohľadu použitá množina znakov - číslic
Delenie číselných sústav • Polyadické (pozičné) – význam číslice vždy závisí od jej pozície v zápise • Dvojková • Osmičková • Desiatková • šestnástková • Nepolyadické(nepozičné) – význam číslice nemusí vždy závisieť od jej pozície v zápise • Rímska • „pivná“ • Vo výpočtovej technike sa používajú len pozičné sústavy
Číselné sústavy v informatike • V súvislosti s programovaním a výpočtovou technikou vôbec sa najčastejšie stretneme s číslami v sústave desiatkovej(dekadickej), osmičkovej (oktálovej), šestnástkovej(hexadecimálnej) a dvojkovej (binárnej), • preto sa ďalej budeme zaoberať prevodmi čísel:
Desiatková sústava • Používame 10 číslic ( prečo ? ) • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 • Hodnota číslice závisí od jej pozície v čísle ( napr. číslica 3 má na pozícii jednotiek inú hodnotu ako na pozícii stoviek ) • V minulosti sa používali číselné sústavy, ktoré neboli pozičné ani desiatkové ... • ... príkladom takej číselnej sústavy sú rímske číslice
Dvojková sústava • 2 cifry: • 0 a 1 • 0 znamená nepravda, 1 – pravda
Osmičková • 8 cifier: • 0 – 7
Šestnástková • 16 cifier: • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F • 10 – A • 11 – B • 12 – C • 13 – D • 14 – E • 15 - F
Prevod čísla z desiatkovej do dvojkovej sústavy • prečítaj číslo • opakuj číslo deľ dvoma zapíš zvyšok • až kým podiel nebude 0 • zvyšky zapíš od posledného po prvý
Príklad : Prepíšte číslo 78 do dvojkovej sústavy ! 78:2=39 zv.0 39:2=19 zv.1 19:2= 9 zv.1 9:2= 4 zv.1 4:2= 2 zv.0 2:2= 1 zv.0 1:2= 0 zv.1 koniec Výsledok je 1001110
Prevod čísla z binárnej sústavy do desiatkovej : • na začiatku je výsledok 0 • opakuj výsledok vynásob dvoma oddeľ jednu číslicu zľava a pripočítaj ju k výsledku • až kým nebudeš na konci čísla
Príklad :Číslo 1001110 je zapísané v binárnej sústave. Prepíšte ho do desiatkovej číselnej sústavy ! Riešenie : ((((((0.2+1).2+0).2+0).2+1).2+1).2+1).2+0=78 Tento postup je vhodný ako algoritmus pre počítač – na ručný prepočet ho neodporúčam !
Príklad :Číslo 1001110 je zapísané v binárnej sústave. Prepíšte ho do desiatkovej číselnej sústavy ! Iný spôsob riešenia : 1001110= =1.26+0.25+0.24+1.23+1.22+1.21+0.20= =64+0+0+8+4+2+0=78
Kalkulačky online • http://matematika-online-a.kvalitne.cz/kalkulacka-online.htm
Súčet • 0 + 0 = 0 • 0 + 1=1 • 1 + 0 = 1 • 1 + 1 = 10 • 1 + 1 + 1 = 11
Súčin • 1 . 0 = 00 . 1 =00 . 0 = 01 . 1 = 110 . 1 = 10
ROZDIEL • 1- 0 = 10 – 0 = 0 • 1 – 1 = 0 10 - 1 = 111 – 10 = 111 – 1 = 10
Podiel • 1 : 1 = 1 • 10 : 1 = 10 • 11 : 1 = 11 http://matematika-online-a.kvalitne.cz/kalkulacka-online.htm
Načo je to dobré ? • Ak je informácia zapísaná ako binárne číslo, tak ju nazývame digitálna informácia • Počítače a moderné komunikačné systémy spracúvajú a šíria digitálne informácie oveľa rýchlejšie ako analógové informácie Text Text Text Text Text Text
Ak ste nepochopili predchádzajúce prepočty, nezúfajte ! • Vedecká kalkulačka umožňuje prevod čísla do binárnej ( Bin ), osmičkovej ( Oct ) aj šestnástkovej = hexadecimálnej ( Hex ) sústavy • Šestnástková sústava okrem bežných číslic používa číslice s nasledovnou hodnotou : A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F =15 • Vyskúšajte si prácu s vedeckou kalkulačkou ! Nájdete ju na každom počítači
Zdroje • www.gymzv.sk/~prezentacie/matematika/novaky/ciselne_sustavy.pps • www.spseke.sk/web/copko/download/3_rocnik/vyt/2/sustavy.ppt • www.infovek.sk/predmety/inform/projekty/msp/.../ciselnesustavy.ppt
Prevod z desiatkovej do dvojkovej sústavy • Preveďte číslo 39 z desiatkovej do dvojkovej sústavy. V Ý Z N A M (39)10 = (100111)2
Prevod z dvojkovej do desiatkovej sústavy Príklad: Preveďte číslo 100111 z dvojkovej do desiatkovej sústavy. Dané: S6=0, z=2 a5=1,a4=0,a3=0, a2=1,a1=1,a0=1 Nc=S0=? Vzťahy: Si = Si+1*z+ai (100111)2 = (39)10
Prevod celých čísel zo sústavy s nedesiatkovým základom do desiatkovej sústavy • Nech A je celé číslo v sústave s nedesiatkovým základom a jeho jednotlivé cifry sú ai (i=n,n-1,...0) • Nech z je základ číselnej sústavy, z ktorej ideme prevádzať • Nech Nc je hľadané číslo • Potom • Si = Si+1*z+ai • Nc=S0 • Sn+1=0 • Alebo Hornerova schéma
Príklad Príklad: Preveďte číslo 100111 z dvojkovej do desiatkovej sústavy. Dané: z=2 a5=1,a4=0,a3=0, a2=1,a1=1,a0=1 Nc=? Vzťahy: Riešenie: Nc = a5*25 + a4*24 + a3*23 + a2*22 + a1*21 + a0*20 Nc = 1*32 + 0*16 + 0*8 + 1*4 + 1*2 + 1*1 Nc = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1 Nc = 39 (100111)2 = (39)10
Prevod desatinných čísel zo sústavy s nedesiatkovým základom do desiatkovej sústavy • Nech A je desatinná časť čísla v sústave s nedesiatkovým základom a jej jednotlivé cifry sú ai (i=-1,-2,...-m) • Nech z je základ číselnej sústavy, z ktorej ideme prevádzať • Nech Nd je desatinná časť hľadaného čísla • Potom • S-i = S-i-1/z+a-i • Nd=S-1/z • S-m-1=0 • Alebo
Príklad Príklad: Preveďte číslo 0.010011 z dvojkovej do desiatkovej sústavy. Dané: S-7=0, z=2 a-6=1,a-5=1,a-4=0, a-3=0,a-2=1,a-1=0 Nd=S-1/z=? Vzťahy: S-i = S-i-1/z+a-i (0,010011)2 = (0,296875)10
Príklad Príklad: Preveďte číslo 0.010011 z dvojkovej do desiatkovej sústavy. Dané: z=2 a-6=1,a-5=1,a-4=0, a-3=0,a-2=1,a-1=0 Nd=? Vzťahy: Riešenie: Nd = a-6*2-6 + a-5*2-5 + a-4*2-4 + + a-3*2-3 + a-2*2-2 + a-1*2-1 Nd = 1*0,015625 + 1*0,03125 + 0*0,0625 + + 0*0,125 + 1*0,25 + 0*0,5 Nd = 0,015625 + 0,03125 + 0 + + 0 + 0,25 + 0 Nd = 0,296875 (0,010011)2 = (0,296875)10
Prevod medzi sústavami so základom rovným mocnine čísla 2 • Nech A je číslo v sústave, z ktorej ideme prevádzať a jeho cifry sú ai • Nech P je číslo v sústave, do ktorej ideme prevádzať a jeho cifry sú pi • Prevod medzi sústavami so základmi 2j a 2k
Prevod medzi sústavami so základmi 2j a 2k ak j=2 a k>2 • Číslo A je v tvare anan-1...a1a0.a-1a-2...a-m • Postup: • K celej časti pridáme nuly zľava tak, aby počet číslic bol násobkom k • K desatinnej časti pridáme nuly sprava tak, aby počet číslic bol násobkom k • Z cifier ai vytvoríme k-tice, ktoré potom prevádzame na cifry pi
Príklad Príklad: Preveďťe číslo 1110011.1101 z dvojkovej do osmičkovej sústavy Riešenie: Základ dvojkovej sústavy je 2=21, teda j=1. Základ osmičkovej sústavy je 8=23, teda k=3. 1. K celej časti pridáme nuly zľava tak, aby počet číslic bol násobkom k. Počet číslic celej časti je 7. Najbližší násobok čísla 3 je 9. Teda celá časť čísla bude mať 9 číslic => 001110011 2. K desatinnej časti pridáme nuly sprava tak, aby počet číslic bol násobkom k. Počet číslic desatinnej časti je 4. Najbližší násobok čísla 3 je 6. Teda desatinná časť čísla bude mať 6 číslic => 110100
Príklad 3. Z cifier ai vytvoríme k-tice, ktoré potom prevádzame na cifry pi. Teda z cifier čísla 001110011.110100 vytvoríme trojice, ktoré potom prevádzame. 001 | 110 | 011 . 110 | 100 1 6 3 . 6 4 (1110011,1101)2 = (163,64)8
Prevod medzi sústavami so základmi 2j a 2k ak j>2 a k=2 • Číslo A je v tvare anan-1...a1a0.a-1a-2...a-m • Postup: • Jednotilvé číslice ai prevádzame na j-tice
Príklad Príklad: Preveďťe číslo 163.64 z osmičkovej do dvojkovej sústavy Riešenie: Základ osmičkovej sústavy je 8=23, teda j=3. Základ dvojkovej sústavy je 2=21, teda k=1. 1. Jednotilvé číslice ai prevádzame na trojice 1 6 3 . 6 4 001 110 011 . 110 100 (1110011,1101)2 = (163,64)8
Prevod medzi sústavami so základmi 2i a 2j ak i>2 a j>2 • Číslo A je v tvare anan-1...a1a0.a-1a-2...a-m • Postup: • Číslo A prevedieme do dvojkovej sústavy, podľa postupu prevodu medzi sústavami so základmi 2i a 2j ak i>2 a j=2 • Nové A v dvojkovej sústave prevedieme podľa postupu prevodu medzi sústavami so základmi 2i a 2j ak i=2 a j>2