1 / 99

UVOD V KINEMATIKO KONTINUUMA

UVOD V KINEMATIKO KONTINUUMA. Vejo mehanike, kjer snov obravnavamo nedeljivo (brez notranje strukture) imenujemo mehaniko kontinuuma. Teoretično obravnavamo infinitezimalni del volumna snovi, ki potem z ostalimi infinitezimalnimi deli skupaj tvori obravnavani makroskopski del snovi.

chaela
Download Presentation

UVOD V KINEMATIKO KONTINUUMA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. UVOD V KINEMATIKO KONTINUUMA Vejo mehanike, kjer snov obravnavamo nedeljivo (brez notranje strukture) imenujemo mehaniko kontinuuma. Teoretično obravnavamo infinitezimalni del volumna snovi, ki potem z ostalimi infinitezimalnimi deli skupaj tvori obravnavani makroskopski del snovi. V tem poglavju obravnavamo kinematiko (gibanje) tovrstnih infinitezimalnih delov snovi. Popolnoma nič pa se ne sprašujemo zakaj to gibanje nastaja. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  2. POGLAVJE 3 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  3. OPIS GIBANJA KONTINUUMA V kinematiki pot delca opišemo z vektorsko funkcijo v odvisnosti od časa predstavlja pozicijski vektor, ki ga izražamo s koordinatnimi vektorji Prejšnjo enačbo s komponentami zapišemo v obliki MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  4. V primeru, da imamo delcev in poti, vsako izmed poti opišemo z eno izmed enačb Delec 1 potuje po poti Delec 2 potuje po poti Itd. V kontinuumu je neskončno veliki delcev. Zato jih ni mogoče oštevilčiti in obravnavati vsakega posebej. Zato delce identificiramo s pozicijo, ki jo delci zasedajo ob referenčnem času MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  5. KINEMATIKA KONTINUUMA Delec je bil ob času na položaju Zato lahko delec identificiramo z začetnimi koordinatami Poti vsakega delca kontinuuma lahko opišemo z naslednjo vektorsko enačbo pri čemer velja začetno stanje MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  6. Pri čemer je pozicijski vektor delca ob času Ta delec je bil ob času V razpisani koordinatni obliki sta zgornji dve enačbi V skrajšani koordinatni obliki pa MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  7. Koordinate definirajo različne delce sistema. Zato jih imenujemo snovne (materialne) koordinate. Zapisane enačbe definirajo gibanje kontinuuma. Pravzaprav definirajo poti vseh delcev kontinuuma. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  8. SNOVNI (MATERIALNI) POPIS IN PROSTORSKI POPIS Če se kontinuum giba, se njegova temperatura hitrost in napetostni tenzor spreminjajo v času. Spreminjanje lahko opišemo na dva načina 1) Prvi način: sledimo spremembam istega delca (na različnih krajih) po času strešica pomeni isti delec Tak opis imenujemo snovni (materialni) opis ali Lagrangeov opis. so snovne (materialne) koordinate MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  9. 2) Drugi način: sledimo spremembam različnih delcev na fiksnem kraju po času Tak opis imenujemo prostorski opis ali Eulerjev opis. so prostorske koordinate MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  10. MATERIALNI ODVOD Spremembo lastnosti delca po času imenujemo snovni (materialni) odvod. Snovni odvod označimo kot (v določenih knjigah) 1) V primeru snovnega popisa skalarne funkcije imamo Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  11. 2) V primeru prostorskega popisa skalarne funkcije imamo V brezkoordinatni obliki imamo MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  12. POSPEŠEVANJE DELCA Opišimo gibanje kontinuuma v obliki pri čemer velja začetna konfiguracija Hitrost delca ob času delca je Pospešek delca ob času je MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  13. Primer 1 Imamo podano in izračunamo pospešek delca. Primer 2 Imamo podano in izračunamo pospešek delca. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  14. Imejmo Kartezijev koordinatni sistem Ker so bazni vektorji fiksni, velja V komponentni obliki imamo MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  15. V brezkoordinatni obliki imamo MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  16. POLJE PREMIKA Polje premika delca iz referenčne pozicije do trenutne pozicije definiramo kot vektor od do in ga označimo z . Iz zgornjega je razvidno, da če poznamo pot delca, poznamo tudi njegov premik. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  17. ENAČBE GIBANJA TOGEGA TELESA Translacijo togega telesa opišemo z Pri tem je Premik togega telesa zaradi translacije je neodvisen od Rotacijo togega telesa okoli fiksne točke opišemo z Kjer je rotacijski tenzor. in je konstantni vektor, ki predstavlja točko okoli katere se togo telo vrti. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  18. Splošno gibanje togega telesa opišemo z je vektor, za Kjer je rotacijski tenzor. in katerega velja Zgornja enačba predstavlja translacijo točke in rotacijo okoli te točke. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  19. INFINITEZIMALNA DEFORMACIJA Shema infinitezimalne deformacije MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  20. INFINITEZIMALNA DEFORMACIJA Obstajajo številni problemi, kjer lahko predpostavimo, da je deformacija (premik) infinitezimalna. Po deformaciji je pozicija delca Sosednja točka , ki je na položaju pride na položaj po deformaciji je pozicija delca Če zgornji dve enačbi odštejemo, dobimo je tenzor drugega reda, ki ga imenujemo gradient premika. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  21. V Kartezijevem koordinatnem sistemu je matrika tenzorja oblike Enačbo lahko zapišemo tudi kot MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  22. imenujemo deformacijski gradient. Ker predstavlja gradient funkcije, , ki predstavlja gibanje. Poiščimo relacije med razdaljami , ki predstavlja dolžino , ki predstavlja dolžino Tenzor imenujemo desni Cauchy-Greenov deformacijski tenzor. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  23. V primeru Velja Zato predstavlja gibanje togega telesa (translacije in/ali rotacije). Definirajmo Lagrangeov deformacijski tenzor Zgornja enačba za desni Cahchy-Greenov deformacijski tenzor zato dobi obliko MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  24. V nadaljevanju privzamimo samo majhne deformacije. V tem primeru velja Ta tenzor imenujemo infinitezimalni deformacijski tenzor. V Kartezijevih koordinatah ima obliko MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  25. Matrika infinitezimalnega deformacijskega tenzorja je v Kartezijevih koordinatah MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  26. Obravnavajmo dva snovna elementa Zaradi gibanja postaneta ob času Zaradi infinitezimalne deformacije lahko zapišemo zadnjo približnost To enačbo bomo v nadaljevanju uporabili za definicijo pomena komponent infinitezimalnega deformacijskega tenzorja. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  27. GEOMETRIJSKI POMEN KOMPONENT INFINITEZIMALNEGADEFORMACIJSKEGA TENZORJA Diagonalni elementi infinitezimalnega deformacijskega tenzorja enotski vektor po deformaciji je dolžina je dolžina Za majhne deformacije velja MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  28. Diagonalne elemente imenujemo tudi normalne deformacije. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  29. Ne-diagonalni elementi infinitezimalnega deformacijskega tenzorja Imejmo Predpostavimo Definirajmo je strižna deformacija Za male deformacije velja Če sta bila in v smeri in velja MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  30. POGLAVITNE DEFORMACIJE Ker je infinitezimalni deformacijski tenzor simetričen in realen, obstajajo vsaj tri med seboj ortogonalne poglavitne smeri , da lahko zapišemo imenujemo poglavitne skalarne invariante infinitezimalnega deformacijskega tenzorja MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  31. DILATACIJA Prva skalarna invarianta deformacijskega tenzorja ima preprosti geometrijski pomen. Predpostavimo tri diferenciale materialnih dolžin v smeri koordinatnih osi. Volumen, ki ga opisujejo, je Po deformaciji velja za majhne deformacije prva skalarna invarianta imenujemo dilatacija MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  32. INFINITEZIMALNI ROTACIJSKI TENZOR Tenzor gradienta premika izrazimo s simetričnim in nesimetričnim delom deformacijskega tenzorja infinitezimalni deformacijski tenzor infinitezimalni rotacijski tenzor predstavlja infinitezimalno rotacijo triade poglavitnih lastnih vektorjev Rotacijo opišemo z vektorjem Komponente vektorja podajajo infinitezimalni kot rotacije okoli osi , ki so v smeri poglavitnih smeri MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  33. SPREMEMBA MATERIALNEGA ELEMENTA PO ČASU (HITROST) Predpostavimo materialni element na mestu ob času . Izračunajmo spremembo tega materialnega elementa po času Naredimo materialni odvod zgornje enačbe Indeks pri gradientnem operatorju označuje bodisi snovni ali prostorski popis. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  34. V nadaljevanju uporabljamo samo prostorski popis hitrosti, tako da imamo za gradient hitrosti V Kartezijevih koordinatah je tenzor gradienta hitrosti MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  35. SPREMEMBA DEFORMACIJSKEGA TENZORJA PO ČASU (HITROST DEFORMACIJE) Tenzor gradienta hitrosti lahko razstavimo na simetrični in antisimetrični del tenzor hitrosti deformacije tenzor spina MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  36. Komponente tenzorja hitrosti deformacije so v Kartezijevih koordinatah MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  37. Komponente tenzorja spina so v Kartezijevih koordinatah MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  38. Pokažimo, da je hitrost spremembe dolžine opisana s tenzorjem Uporabimo definicijo transponiranega vektorja in antisimetrično lastnost Tako velja MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  39. Velja Hitrost deformacije dolžine imenujemo skrček. Podan je z . MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  40. Hitrost zmanjšanja kota imenujemo tudi hitrost striga ali striženje. Relativna sprememba volumna po času Omenjeno s komponentami hitrosti zapišemo kot Ker je simetričen, vedno obstajajo tri med seboj pravokotne smeri (poglavitne lastne vektorje ), okoli katerih ima krčenje minimalno in maksimalno vrednost. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  41. TENZOR SPINA IN VEKTOR KOTNE HITROSTI Ker je tenzor spina antisimetričen, lahko definiramo vektor kotne hitrosti Lahko zapišemo Velja Vektor rotira vektor brez spremembe njegove dolžine. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  42. ENAČBA OHRANITVE MASE Definirajmo pomemben princip mehanike kontinuuma, princip ohranitve mase. Princip navaja, da če sledimo infinitezimalnemu volumnu materiala, se lahko spremenita volumen ali gostota materiala, njun produkt (masa) pa ne. V koordinatno invariantni obliki je zgornja enačba MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  43. V Kartezijevih koordinatah je enačba ohranitve mase MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  44. POGOJI KOMPATIBILNOSTI INFINITEZIMALNIH KOMPONENT DEFORMACIJE V primeru, ko imamo podane tri komponente premika lahko izračunamo šest komponent deformacijskega tenzorja na podočjih, kjer lahko izračunamo odvode V primeru, ko imamo podanih šest komponent deformacijskega tenzorja pa lahko tudi ne obstajajo tri komponente premika, ki zadovoljujejo naslednje deformacijsko-premične zveze. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  45. Zveze med premikom in deformacijo MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  46. Kot primer neobstoja teh ralacij si oglejmo naslednje komponente deformacijskega tenzorja Sledi Kjer sta in poljubni integracijski konstanti (funkciji). Ker je mora veljati MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  47. Ta enačba pa nikoli ne mora biti zadoščena. Iz tega sledi, da definiranih šest komponent deformacijskega tenzorja ni kompatibilnih! IZREK Naj bodo zvezne funkcije, ki imajo zvezne druge parcialne odvode v preprosto povezanem območju. Potrebni in zadostni pogoj, da obstajajo enolične zvezne funcije pomika , ki zadostijo šestim enačbam deformacijskega tenzorja, so MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  48. Potrebni in zadostni pogoji kompatibilnosti so To so enačbe kompatibilnosti (ali pogoji integrabilnosti) MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  49. Da so te enačbe potrebne, lahko dokažemo na naslednji način Zaradi zveznosti lahko spremenimo vrstni red odvajanja MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

  50. Ostalih pet kompatibilnostnih enačb lahko izpeljemo na podoben način. V primeru območja, ki ni prosto povezano, opisani kompatibilnostni pogoji niso dovolj. Če so komponente deformacije linearne funkcije koordinat so kompatibilnostni pogoji zadoščeni. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

More Related