Nazwa szkoły : Gimnazjum im. Noblistów Polskich w Koźminku ID grupy: 98/44_mf_g2

2. Dane informacyjne szkoły zapraszającej w projekcie MGP • Nazwa szkoły: • Gimnazjum im. Noblistów Polskich w Koźminku • ID grupy: 98/44_mf_g2 • Opiekun: p. Edyta Trocha • Kompetencja: Matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: Liczba pi • Semestr/rok szkolny: • Semestr IV, rok szkolny 2011/2012

3. Gimnazjum z Koźminka • 1.Katarzyna Janiak • 2.Kinga Humelt • 3.Karolina Trzcińska • 4.Ewelina Murawska • 5.Kamil Krakus • 6.Adrian Wesołowski • 7.Kamil Kapłonek • 8.Tobiasz Kawecki • 9.Szymon Wojciechowski • 10.Józef Muszyński • 11.Klaudia Antczak • 12.Aleksandra Pietura • 13.Kinga Jędrzejak • 14.Piotr Kostera • 15.Tomasz Jaśkiewicz

4. Dane informacyjne szkoły zapraszanej w projekcie MGP • Nazwa szkoły: • Gimnazjum im. Królowej Jadwigi we Wschowie • ID grupy:98/87_MF_G1 • Opiekun: p. Teresa Czapiewska - Jędrzychowska • Kompetencja: Matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: Liczba Pi • Semestr/rok szkolny: Semestr IV - V rok szkolny 2011/2012

5. Gimnazjum ze Wschowy 1.Agnieszka Gąsiorek. 2. Nicole Kamińska3. Michał Kroma4. Wojciech Mały5. Agnieszka Marciniak6. Martyna Mielnik7. Natalia Młynarczak8. Aleksandra Rybka9.Oktawia Suda10. Katarzyna Walner11. Jarosław Urbanowicz

6. Wprowadzenie… W ramach realizacji zajęć projektowych MGP w IV i V semestrze projektu „Z fizyką, matematyką i przedsiębiorczością zdobywamy świat” kontynuowaliśmywspółpracę z Gimnazjum im. Królowej Jadwigi ze Wschowy z woj. lubuskiego. Działania projektu wymagają od uczniów zintegrowanej wiedzy, umiejętności rozwiązywania problemów oraz stosowania technik komputerowych. W czasie realizacji projektu młodzież ma okazję do zaprezentowania swoich twórczych i oryginalnych pomysłów oraz nauczyć się współpracy w grupie i z innymi grupami. Temat projektu jaki wspólnie opracowaliśmy to „ Liczba π”. Przygotowaliśmy prezentację wiedzy o fascynującej liczbie п oraz jej wykorzystaniu w życiu codziennym.

7. Naszymi wspólnie założonymi celami było: • Popularyzowanie matematyki wśród młodzieży gimnazjalnej, inspirowanie i rozwijanie zainteresowań matematycznych. • Rozwijanie umiejętności: stosowania wiedzy w praktyce, analizowania zadania z tekstem, selekcjonowania i przetwarzania informacji. • Kształcenie sprawności rachunkowej • Nabycie umiejętności planowania i rozliczania się ze wspólnie podejmowanych działań • Współpracowaliśmy zdalnie korzystając z poczty elektronicznej , portalu • i tradycyjnej poczty. Realizatorzy projektu opracowali wybrane przez siebie zadania wykorzystując różne źródła wiedzy m.in. Internet, podręczniki, zbiory zadań , arkusz kalkulacyjny do tworzenia symulacji np. mini kalkulatory płacowe. • Nasze Gimnazjum z Koźminka i Gimnazjum ze Wschowy, pracowało nad projektem według wspólnie ustalonej karty pracy-instrukcji dla ucznia.

8. R W NW C N N+ Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory R – zbiór liczb rzeczywistychW – zbiór liczb wymiernychNW – zbiór liczb niewymiernychC - zbiór liczb całkowitychN – zbiór liczb naturalnychN+ – zbiór liczb naturalnych dodatnich

9. „Wszystko jest liczbą ?!” Liczby niewymierne W V w. p.n.e. Pitagoras i jego uczniowie dokonali prawdziwie dramatycznego odkrycia.Stwierdzili bowiem, że długość przekątnej kwadratu o boku jednostkowym nie jest liczbą wymierną. To burzyło ich dotychczasowy porządek i boskie proporcje świata, który - jak wierzyli –powinien dać się opisać liczbami wymiernymi. Pitagoras (ok. 572-497 p.n.e)

10. liczba Archimedesa:  L – długość okręgu r – promień okręgu L 2r Archimedes z Syrakuz (ok. 287 – 212 p.n.e.) - najwybitniejszymatematyk, fizyk i inżynier starożytnej Grecji, prekursor rachunku całkowego. Obliczył objętość kuli. Twórca nowych metod w arytmetyce i teorii dźwigni, wyporu, rzutu pionowego i ukośnego. Wprowadził pojęcie środka ciężkości. Π jako przykład liczby niewymiernej.

11.  jest liczbą niewymierną ! Liczba  nazywana jest też ludolfiną . Nazwa ludolfina pochodzi od imienia Ludolfa van Ceulena (1540 – 1610),pierwszego nowożytnego badacza , który, aż do swej śmierci, próbował obliczyć wartość liczby . Sądził bowiem, podobnie jak współcześni jemu matematycy, że  jest liczbą wymierną.Udało mu się podać 35 początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego.Niestety, po śmierci Ceulena okazało się, że tylko pierwszych 20 cyfr wyznaczył prawidłowo. Dopiero 1767 roku matematyk, fizyk, astronom i filozof szwajcarski, Johann HeinrichLambert(1728-1777), udowodnił, że :

12. W drugiej połowie XX wieku rozpoczęła się era pierwszych komputerów. Miała ona ogromny wpływ również na matematykę, a w szczególności na historię kolejnych przybliżeń liczby . W ciągu ostatnich 50 lat, liczba poznanych cyfr dziesiętnych liczby  zmieniała się bardzo dynamicznie. W 1949 roku znano 1120 cyfr, zaś w 1997 roku już ponad 50 milionów razy więcej. Autorzy Rok Liczba cyfr George Reitwiesner i jego współpracownicy 1949 2037 S.C. Nicholson i J. Jeenel 1954 3092 G.E. Felton 1957 7480 Francois Genuys 1958 10000 G.E. Felton 1958 10021 Guilloud 1959 16167 W. Shanks i J.W. Wrench 1961 100265 Guilloud i Filliatre 1966 250000 Guilloud i Dichampt 1967 500000 Guilloud i Bouyer 1973 1001250 Miyoshi i Kanada 1981 2000036 Yoshiaki Tamura 1982 2097144 Yoshiaki Tamura i Yasumasa Kanada 1982 4194288 Kanada, Yoshino i Tamura 1982 16777206 William Gosper 1985 17526200 Bailey 1986 29360111 Yasumasa Kanada i Yoshiaki Tamura 1986 33554414 Kanada, Tamura, Kubo i inni 1987 134217700 Yasumasa Kanada i Yoshiaki Tamura 1988 201326551 Gregory i David Chudnovsky 1989 480000000 Yasumasa Kanada i Yoshiaki Tamura 1989 536870898 Gregory i David Chudnovsky 1989 2260000000 Daisuke Takahashi i Yasumasa Kanada 1995 4294967286 Yasumasa Kanada 1997 51539600000

13. p z komputera pierwszy komputer - ENIAC 1949 rok = 2037 miejsc po przecinku HITACHI 2002rok = 1,2 · 1012 miejsc po przecinku

14. Poszukiwania coraz dokładniejszych rozwinięć dziesiętnychliczby  nadal trwają. Yasumasa Kanada 20 VIII 1999 roku podał ponad 206 miliardów cyfr rozwinięcia dziesiętnego ludolfiny (być może do tej pory ów rekord został pobity).

15. Wprowadzenie symbolu π. • Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον - perimetron, czyli obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina – tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena (obaj obliczyli przybliżone wartości π).

16. Cechy liczby π Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Co więcej, jest ona liczbą przestępną, co w 1882 roku wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego π jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest możliwe zapisanie π za pomocą skończonego zapisu złożonego z liczb całkowitych, działań arytmetycznych, ułamków oraz potęg i pierwiastków. To ostatecznie rozstrzyga, że niemożliwa jest klasyczna konstrukcja (wyłącznie przy pomocy linijki i cyrkla) kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła, gdyż współrzędne wszystkich punktów, które mogą być skonstruowane w taki sposób, należą do zbioru liczb nazywanych liczbami algebraicznymi. Problem ten zwany jest kwadraturą koła i choć nie ma on ścisłego rozwiązania, to istnieją konstrukcje przybliżone. Powiązanym, również niemożliwym do rozwiązania problemem, jest problem rektyfikacji okręgu, do którego również istnieją konstrukcje przybliżone, z których za jedną z najprostszych uchodzi konstrukcja Adama Adamandego Kochańskiego.

17. Częste przekształcenia π

18. Występuje we wzorze na pole koła, długość okręgu, pole powierzchni i objętość stożka, walca i kuli. Występuje we wzorach na pola figur krzywoliniowych, brył obrotowych, występuje we wzorach rachunku całkowego, w przybliżonym wzorze na silnie wielkich liczb oraz w rachunku prawdopodobieństwa.Liczbę π znajdujemy nie tylko w czystej matematyce. Jest obecna również w mechanice radio- i teletechnice (wszędzie tam, gdzie występują drgania), w rachunkach wytrzymałościowych, statyce i akustyce. Spotykamy ją w różnych zjawiskach fizycznych a nawet kosmologicznych. Jeżeli każdą gwiazdę na niebieskim sklepieniu określimy za pomocą dwóch współrzędnych, wysokości i deklinacji, wyrażonych w liczbach całkowitych, prawdopodobieństwo, że te dwie liczby będą względnie pierwsze, to znaczy, że nie posiadają żadnego wspólnego dzielnika, wynosi 6/π2A na ziemi liczba π jest związana z rzekami, które posiadają meandry i zakola. Jeśli porównamy odległość pomiędzy źródłem i ujściem a rzeczywistą długością rzeki z jej wszystkimi meandrami, to okaże się, że ten stosunek jest bliski 3,14. Im bardziej teren jest płaski, tym ten stosunek jest bliższy π. Najlepszym tego przykładem jest Amazonka. Gdzie możemy spotkać liczbę π?

19. Liczba π… • „Następnie sporządził odlew okrągłego morza o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości 5 łokci i o obwodzie 30 łokci.” • Biblia Tysiąclecia • π≈3,141592653589793238462643383279502884197169...

20. Historia liczby π… • Już w czasach zamierzchłych starożytni rachmistrze zauważyli, że wszystkie koła mają ze sobą coś wspólnego, że ich średnica i obwód pozostają wobec siebie w takim samym stosunku, a liczba ta bliska jest 3. W Starym Testamencie obwód był właśnie trzykrotnością średnicy, a w jednym z najstarszych tekstów matematycznych- papirusie Rhinda (XVII w. p. n. e.) wartość ta była przedstawiana jako • (169)2≈3,160493...

21. Film o liczbie Pi… • Liczbę Pi poznajemy jako pierwszą w szkole – jako iloraz obwodu koła i jego średnicy. „Pi” to również tytuł i inspiracja niekomercyjnego filmu Darrena Aronofskiego. Bohater filmu Max Cohen jest stereotypowym naukowcem. Zamknięty w sobie, poświęcający każdą wolną chwilę matematyce, zaniedbujący doczesną egzystencję, prowadzi niekończącą się walkę z migrenowymi halucynacjami oraz ... liczbami. Jego obsesją jest odnalezienie reguły w chaosie dziesiętnego rozwinięcia liczby Pi.

22. Ciekawostki… • W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie pi z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nieznanych nam z imienia uczonych. • Liczba 31415926535897932384626433832795028841 zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby Pi, jest pierwsza. • Tak i mnie i tobie poznawana tu liczba cudna dla ogół przynosi wszystkim pożytek wspaniały • π ≈ 3,14159265358979 • Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby π.

23. Wzory na Pi… • Oto wzory na liczbę pi : • Babilończycy: π≈3 • Egipcjanie (ok. 2000 r. p.n.e.):π≈(169)2 ≈3,160493... • Archimedes:π≈227≈3,14 • Chiński matematyk Chang Hing :14245≈3,1555... • Klaudiusz Ptolomeusz π≈3+860+3360≈3,1416 • hinduski matematyk Ariabhata (V w. n.e.): • π≈ 628322000=3,1416

24. Czym jest liczba Pi… •  Liczba π to stosunek długości okręgu do długości jego średnicy, jest wielkością stałą i wynosi w przybliżeniu 3,1415... Ale dlaczego w przybliżeniu? • Liczba PI" jest liczbą niewymierną • Symbol ten pochodzi od greckich słów: • periferia lub perimetron.

25. Dziś jesteśmy w stanie obliczyć wartość pi do milionów miejsc po przecinku. Rodzi się pytanie: jakiego rodzaju to liczba? Wiemy, że jest bardzo bliska • 227≈3,14 , ale nie ma tu równości. Bliższa jest wartości • 355113≈3,1415929203..., ale nawet ta liczba nie określa dokładnej wartości.

26. liczba Pi… • Ostatecznie w roku 1882 niemiecki matematyk Ferdinand Lindemann rozstrzygnął podstawowy problem dotyczący liczby i wykazał, że π jest liczbą przestępną czyli taką, która nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. • Liczba pi jest więc liczbą niewymierną, taką której rozwinięcie dziesiętne zachowuje się "byle jak",nie ma w nim żadnego porządku i nigdy się nie kończy.

27. Używany dzisiaj symbol π wprowadzony został dopiero w 1706 roku przez Wiliama Jonesa, a spopularyzował go Leonhard Euler używając tego zapisu w dziele Analiza. • Swą nazwę zawdzięcza pierwszej literze greckiego słowa "peryferia". Liczba ta nazywana jest również ludolfiną od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena, który wraz z żoną na początku XVII w. podał jej przybliżenie z dokładnością 35 miejsc po przecinku.

28. „PI w arytmetyce” • Pi można wykorzystać również w arytmetyce. Jeśli liczbę parzystą podzielimy przez nieparzystą, a później tę samą parzystą przez kolejną nieparzystą, po czym następną parzystą przez tę samą nieparzystą co poprzednio (czyli 2/1, 2/3, 4/3, 4/5, 6/5, 6/7 itd. ) to po wymnożeniu ich wyników otrzymujemy połowę Pi - Wielu ludzi pasjonuje się Pi, bo sądzą że można związać z nią zdarzenia losowe.

29. Międzynarodowy dzień „PI” • 14 marca obchodzony jest międzynarodowy dzień liczby Pi. Datę święta wyznaczono ze względu na pierwsze cyfry rozszerzenia dziesiętnego PI (3,14)…

30. Wiersz o „PI” • Liczba Pi [Fragment Wiersza Wisławy Szymborskiej] • Podziwu godna liczba Pi trzy koma jeden cztery jeden. Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe, pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy. • Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem osiem dziewięć obliczeniem siedem dziewięć wyobraźnią, a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem…

31. 1 rok świetlny równa się w przybliżeniu π·107·c (km), gdzie c oznacza prędkość światła (w kilometrach na sekundę). Liczba sekund w roku wynosi 365·24·60·60=31 536 000, co w przybliżeniu wynosi π·107·c.

32. Obliczanie liczby π metodą Monte-Carlo • Metoda Monte-Carlo - jest stosowana do modelowania matematycznego procesów zbyt złożonych , istotną rolę w metodzie MC odgrywa losowanie (wybór przypadkowy) wielkości charakteryzujących proces, przy czym losowanie dokonywane jest zgodnie z rozkładem, który musi być znany. • Metodą Monte Carlo można obliczyć pole figury zdefiniowanej nierównością: • Czyli koła o promieniu R i środku w punkcie (0,0).

33. Losuje się n punktów z opisanego na tym kole kwadratu - dla koła o R = 1 współrzędne wierzchołków (-1,-1), (-1,1), (1,1), (1,-1). 2. Po wylosowaniu każdego z tych punktów trzeba sprawdzić, czy jego współrzędne spełniają powyższą nierówność (tj. czy punkt należy do koła). Wynikiem losowania jest informacja, że z n wszystkich prób k było trafionych, zatem pole koła wynosi : Gdzie P jest polem kwadratu opisanego na kole.

34. W statystyce matematycznej igła Buffona jest jednym z najpopularniejszych problemów prawdopodobieństwa geometrycznego. Problem został sformułowany w 1733 przez Georges'a-Louisa Leclerca, hrabiego Buffon, a w 1777 podał on jego rozwiązanie. Opisany w problemie eksperyment jest statystyczną symulacją pozwalającą oszacować liczbę π. Otrzymana metoda estymacji liczby π należy do klasy metod Monte Carlo.

35. Zadanie Buffona o igle Francuski hrabia Buffon, znany przyrodnik, rysował równo linie na papierze, potem rzucał igłę i sprawdzał ile razy przecina ona narysowane linie. Okazało się, że w stosunku liczby przecięć do liczby rzutów też jest zakodowane Pi…

36. Metoda aproksymacji  liczby • Aproksymacja to proces określania rozwiązań przybliżonych na podstawie rozwiązań znanych, które są bliskie rozwiązaniom dokładnym. • Jeśli nieznany jest obwód koła, to w przybliżeniu można go ustalić, obliczając obwód wielokąta wpisanego w okręg i obwód wielokąta opisanego na tym samym okręgu. Obwód koła, równy 2 r, jest zawsze dłuższy niż obwód wielokąta wpisanego, a krótszy niż obwód wielokąta opisanego na tym okręgu

37. Pierwszym matematykiem, który tę metodę z powodzeniem praktykował, był Archimedes. Do swoich obliczeń wykorzystał on wielokąt o 96 bokach i uzyskał w ten sposób przybliżenie sięgające  dwóch miejsc po przecinku – = 3,14. Liu Hui • Jeszcze dokładniejszy wynik osiągnął chiński matematyk Liu Hui w III w. n.e. Z prawdziwie chińską cierpliwością rozpoczął on od wpisywania w okrąg wielokąta o 192 bokach, aż doszedł do wpisywania wielokąta o 3072 bokach i otrzymał wartość liczby = 3,14159.

38. Wzory z zastosowaniem liczby  Długość okręgu: l = 2r r = promień Pole koła: P = r2 r = promień Długość łuku: Pole wycinka kołowego:

39. Wzory z zastosowaniem liczby  Objętość kuli: r = promień Pole elipsy: a = ½ długości osi wielkiej b = ½ długości osi małej Pole powierzchni kuli: Obwód elipsy: a = ½ długości osi wielkiej b = ½ długości osi małej

40. Długość okręgu – przykład Policzmy długość okręgu dla r = 3 r

41. Pole koła – przykład Liczymy pole koła dla r= 3 r

42. Pole wycinka kołowego – przykład Liczymy pole wycinka kołowego dla r = 3 i α = 90o r

43. Objętość kuli – przykład Liczymy objętość kuli dla r = 3 r

44. Pole powierzchni kuli – przykład r Liczymy pole kuli dla r = 3

45. Pole elipsy – przykład b a Dla a = 6,25 i b = 4

46. Wykorzystanie liczby PiWalec Walec ma dwie podstawy, które są kołami. Powierzchnia boczna walca „po rozwinięciu” jest prostokątem

47. Wysokością walca jest każdy odcinek o końcach należących do obu podstaw i równoległy do odcinka łączącego środki podstaw.

48. Stożki • Oto stożek i jego siatka.

49. Objętość stożka wynosi • V= 1/3 Sh • S - pole powierzchni podstawy stożka • H - wysokość stożka

50. Kule • Kulą nazywamy bryłę powstałą z obrotu półkola dokoła prostej zawierającej jego średnicę.