DANE INFORMACYJNE

2. DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół z Oddziałami Integracyjnymi i Specjalnymi nr 2 w Poznaniu ID grupy:98/14_mf_g2 Opiekun:Elżbieta Fietz Kompetencja:matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Symetrie w otaczającym nas świecie. Semestr/rok szkolny:IV/2011/12

3. U podstaw praw rządzących światem znajduje się symetria. R. Feynman – wybitny fizyk

4. Chciałbym wyróżnić dwa obszary matematyki, które mają szczególne znaczenie dla zrozumienia funkcjonowania świata; system liczb zespolonych i symetria, która miała centralne znaczenie w prawie wszystkich teoriach XX wieku. R. Penrose „Droga do rzeczywistości”

5. „O symetrii można pisać naprawdę długo, bowiem spotykamy ją prawie wszędzie, tak w przyrodzie, sztuce, fizyce, chemii, biologii, jak i oczywiście w matematyce. Symetrięprzyrody można znaleźć w każdej skali, od struktury cząstek subatomowych do całego wszechświata. Okazało się, że łączy ona zjawiska, które na pierwszy rzut oka robią wrażenie odległych. Wykrywanie otaczającej nas symetrii, to przyjemność nie tylko estetyczna. Okazała się ona niezastąpiona do zrozumienia wielu faktów otaczającego nas świata.” ( „ Ach ta symetria”-K.Nowicka)

6. Symetria – właściwość figury, bryły lub ogólnie dowolnego obiektu matematycznego (można mówić np. o symetrii równań), polegająca na tym, iż istnieje należące do pewnej zadanej klasy przekształcenie nie będące identycznością, które odwzorowuje dany obiekt na niego samego. Brak takiej właściwości nazywany jest asymetrią. W zależności od klasy dopuszczalnych przekształceń wyróżnia się rozmaite rodzaje symetrii. Tym samym pojęciem określa się nie tylko obiekty, ale też same przekształcenia. Dla figur płaskich i przestrzennych w zależności od rodzaju przekształcenia wyróżniana jest m.in.: Co to jest symetria?

7. Symetria środkowa – przekształceniem jest odbicie zwierciadlane figury względem ustalonego punktu zwanego środkiem symetrii. Na płaszczyźnie symetria środkowa jest złożeniem dwóch symetrii osiowych o prostopadłych osiach (lub obrót o kąt 180 stopni), w przestrzeni jest złożeniem trzech symetrii płaszczyznowych o wzajemnie prostopadłych płaszczyznach symetrii. SYMETRIA ŚRODKOWA

8. Symetria osiowa – przekształceniem jest odbicie zwierciadlane figury względem zadanej prostej zwanej osią symetrii. Symetria osiowa występuje m.in. w trójkącie Sierpińskiego. SYMETRIA OSIOWA

9. Symetria płaszczyznowa – przekształceniem jest odbicie zwierciadlane figury względem płaszczyzny zwanej płaszczyzną symetrii. Symetria płaszczyznowa występuje m.in. w piramidzie Sierpińskiego oraz kostce Mengera. SYMETRIA PŁASZCZYZNOWA

10. Symetria obrotowa (gwiaździsta) – przekształceniem jest na płaszczyźnie obrót figury wokół zadanego punktu o kąt będący podwielokrotnością kąta pełnego, a w przestrzeni wokół zadanej prostej (można wykazać, że musi być to środek ciężkości i prosta przez niego przechodząca). SYMETRIA OBROTOWA

11. Symetria z obrotem (zwierciadlano-obrotowa) – na płaszczyźnie jest to złożenie symetrii względem prostej z obrotem o dowolny kąt wokół zadanego punktu. W przestrzeni jest złożeniem symetrii płaszczyznowej z obrotem wokół prostej (symetria cylindryczna). [Niektóre pozycje książkowe podają, że w przestrzeni oś obrotu musi być prostopadła do płaszczyzny symetrii.] SYMETRIA Z OBROTEM

12. Symetria sferyczna – przekształceniem jest dowolny obrót bryły wokół zadanego punktu. Własność tę posiada m.in. kula. SYMETRIA SFERYCZNA SYMETRIA UKOŚNA Symetria ukośna – uogólnienie symetrii osiowej

13. Symetria parzysta – złożenie parzystej liczby symetrii osiowych (na płaszczyźnie) lub płaszczyznowych (w przestrzeni). Przykładem jest symetria środkowa (złożenie dwóch prostopadłych osi symetrii). SYMETRIA PARZYSTA SYMETRIA NIEPARZYSTA Symetria nieparzysta – złożenie nieparzystej liczby symetrii osiowych (na płaszczyźnie) lub płaszczyznowych (w przestrzeni).

14. W ogólnym ujęciu "symetryczność" może odnosić się także do obiektów niegeometrycznych, jak np. równania, czy macierze i dotyczyć innych własności niż relacje usytuowania w przestrzeni. Przykłady: liczby palindromiczne, niektóre kwadraty magiczne, trójkąt Pascala, bliźniacze krzyżówki tautogramowe.

15. PRZYKŁADY SYMETRII

16. SYMETRIE W LITERACH I SŁOWACH

17. Alfabet polski Przyjmując że, następujące litery mają: - pionową oś symetrii: A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y - poziomą oś symetrii: B, C, D, E, H, I, K, O, X można w słowniku języka polskiego (2.7 mln słów) znaleźć następujące wyrazy: oś symetrii pozioma: 11 liter: CHICHOCECIE 10 liter: CHICHOCIKI, CHODECKICH, ODECHCECIE 9 liter: CHICHOCIE, CHICHOCIK, CHODECKIE, OCHOCKICH 8 liter (wybrane): BIDECIKI, BIEDOCIE, HOBBICIE, KOBIECIE oś symetrii pionowa: 7 liter: IMAMAMI 6 liter: MOTTOM 5 liter: MOWOM, MOXOM, MYTYM, TITIT, TOWOT, TOYOT

18. oś symetrii pionowa, jeżeli wyraz napiszemy z góry na dół: 12 liter: AUTOMATOWYMI, MAMMOTOMIAMI 11 liter: MUMIOWATYMI, AUTOTOMIAMI 10 liter (wybrane): AUTOMATOWY, MAMUTOWYMI Wyraz może być symetryczny na cztery sposoby: - AUTOMAT jest symetryczne względem osi "y" jeżeli podpiszemy litery jedna pod drugą. - OMO jest symetryczne względem osi "y" napisane normalnie. - KOK jest symetryczne względem osi "x", jeżeli podpiszemy litery jedna pod drugą. - DEKO jest symetryczne względem osi "x", gdy jest pisane normalnie.

19. Możemy więc założyć że: - Wyrazy symetryczne pionowo (względem osi "y") i jednocześnie zapisane pionowo mogą składać się tylko z liter: A,H,I,M,O,T,U,V,W,X,Y - Wyrazy symetryczne pionowo ale zapisane poziomo też mogą składać się tylko z liter: A,H,I,M,O,T,U,V,W,X,Y a do tego mają dodatkowe ograniczenie wynikające z tego, że te litery muszą występować parami (z wyjątkiem ewentualnej środkowej). - Wyrazy symetryczne poziomo zapisane pionowo mogą się składać tylko z liter: B,C,D,E,H,I,K,O,X, oraz M i W (tylko w parze ze sobą) - Wyrazy symetryczne poziomo zapisane poziomo mogą składać się tylko z liter: B,C,D,E,H,I,K,O,X, To wszystko przy uproszczeniu zakładającym: pominięcie małych liter, identyczność brzuszków w "B", symetrię poziomą "K", oraz że M i W są swoimi lustrzanymi odbiciami.

20. - Słowa symetryczne pionowo zapisane pionowo Dwunastoliterowe: AUTOMATOWYMI, MAMMOTOMIAMI Jedenastoliterowe: AUTOMATOWYM, AUTOTOMIAMI, HATHAWAYAMI, HATHAWAYOWI, MAMMOTOMIOM, MUMIOWATYMI - Słowa symetryczne pionowo zapisane poziomo Siedmioliterowe: IMAMAMI Sześcioliterowe: MOTTOM Pięcioliterowe: MOWOM, MOXOM, MYTYM, TITIT, TOWOT, TOYOT

21. Słowa symetryczne poziomo zapisane pionowo – • te zdecydowanie były najkrótsze, maksymalnie trzyliterowe: • KOK, OKO, EHE, ODO, BOB • - Słowa symetryczne poziomo zapisane poziomo • Jedenastoliterowe: • CHICHOCECIE • Dziesięcioliterowe: • CHICHOCIKI, CHODECKICH, CICHECKICH, CICHOCKICH, DOBIECKICH, ODECHCECIE • Najdłuższymi symetrycznymi wyrazami w języku polskim będą więc: • AUTOMATOWYMI i MAMMOTOMIAMI.

22. ALFABET ŁACIŃSKI Alfabet łaciński zawiera JEDENAŚCIE liter [i tylko trzy (lub nawet dwie) cyfry] idealnie symetryczne. Oto one - A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, i Y. Z całej tej zbieraniny tylko cztery litery - H, I, O oraz X - są symetryczne i pionowo, i poziomo. Reszta (tj. A, M, T, U, V, W i Y) - tylko pionowo. Popatrzcie i poczytajcie, ile i jakich wyrazów "idzie" ułożyć z tej symetrycznej jedenastki: AHA, AHOI, AMI, AMO, AMMO, ATOM, ATUT, ATTU, AUTO, AUX, AXT, AY, HAI, HAAI, HAITI, HAM, HAMM, HAT, HATHA, HAU, HAUT, HAUWA, HAY, HIT, HIV, HOAX, HOMMA, HOMO, HOT, HOYT, HUMAITA, HUMAYTA, HUTA, HUTT, HUTU, IMAM, IMO, IMMO, ITAYA, ITO, IVO, IWA, IWO, MAHATMA, MAI, MAMA, MAMMA-MIA, MAMMOTH, MAMUT, MAT, MATA, MATT, MATTI, MAUI, MAX, MAXI, MAXIMA, MAXIMUM, MAYA, MIA, MIAOUW, MIAU, MIAUWA, MIOT, MIOU-MIOU, MIT, MIX, MOTTO, MOUTH, MUMIA, MUMMY, MUT, MUTTI, OHO, OHIO, OMO, O(OH)I, OTO, OTOWA, OTTAWA, OTTIMUM, OTTO, OUT, OVO, OVUM, OX, O'YA, TAHITI, TAIT, TAM, TAMA, TAMIYA, TAMM, TAMTAM, TATA, TATTOO, TAVITAVI, TAWITAWI, TAX, TAXI, THOMA, TITTA, TIWAI, TOI-TOI-TOI, TOM, TOMATO, TOMMY, TOTO, TOWOT, TOY, TOYOTA, TUM, TUTTO, TUTU, TY, TYM, UHAHA, UHU, UMA, UTA, VAT, VAYA, VIA, VITA, VITAY, VIVA, WAHIMA, WAIT, WAT, WATA, WATAHA, WATT, WAX, WHAT, WIIMA, WITAM, WITAMY, YAHOO, YAMAMOTO, YAMATO, YUMA ...

23. SYMETRIE W NAUCE

24. „Według najprostszej definicji symetria to właściwość figury, bryły czy dowolnego obiektu polegająca na tym, że można go przekształcić przez obrót, odbicie w lustrze, wprawienie w ruch, a mimo to pozostanie niezmieniony, dokładnie taki jak był. W miarę rozwoju nauki symetria okazała się jednak czymś więcej niż tylko cechą pewnych obiektów. Wydaje się kluczem do zrozumienia najważniejszych praw przyrody. A nawet logiczną podstawą, z której te prawa wynikają.

25. Symetria pewnych struktur żywych i nieożywionych jest ważna choćby dlatego, że ujawnia sekrety ich zachowania. Rodzaj symetrii występującej w kryształach ułatwia na przykład prognozowanie ich cech chemicznych. Biolodzy z kolei mogą przewidywać mechanizm chorobotwórczego działania wirusa, znając rodzaj symetrii w jego budowie. Nawet menażeria cząstek elementarnych stwarzana przezfizyków w potężnych superakceleratorach daje się uporządkować i tworzy spójną całość, jeśli się je spostrzega jako części większych układów o wewnętrznej symetrii. Dzięki badaniom symetrii w świecie cząstek elementarnych fizycy mogli przewidzieć istnienie niektórych z nich (jak np. kwarka powabnego) kilka lat przed eksperymentalnym odkryciem. Także wiele współczesnych technologii, takich jak internet czy telefony komórkowe, które traktujemy jako oczywiste, opiera się na kodach matematycznych wykorzystujących symetrię do ochrony danych podczas ich przesyłania.

26. Według biologów podobnie działa przyroda wobec wirusów. Choć mogą mieć najróżniejsze kształty (wirus grypy jest na przykład spiralą), preferowane są dwudziestościany. Takie są wirusy opryszczki, ospy wietrznej, psiego zapalenia wątroby i wielu innych. Przykład artystycznego mistrzostwa stanowią wirusy zapalenia migdałków. Każdy jest zbudowany z 252 jednakowych części połączonych po 21 w trójkątne ścianki jak kule bilardowe. Stworzenie "tablicy okresowej" symetrii może ułatwić zrozumienie, jakie cechy materii powodują wybór takich, a nie innych form organizmów żywych. Symetryczne kształty można znaleźć bowiem w każdej skali - od struktury cząstek subatomowych do całego wszechświata. Cząsteczka metanu jest czworościanem, benzen ma symetrię sześciokątną, a fuleren tworzy dwudziestościenną klatkę z 60 atomów węgla. Chemicy wyjaśniają, iż przyroda preferuje pewne wzory i symetrię z tego powodu, że żyjemy we wszechświecie wytwarzanym masowo. Każdy elektron jest taki sam, każdy proton identyczny jak pozostałe. Dlatego pewne formy muszą się powtarzać. Prawa przyrody pozostają niezmienne niezależnie od miejsca obserwacji. Takie same na Ziemi i w Mgławicy Andromedy. Nie zmieniają się też z upływem czasu. Innymi słowy - są symetryczne wobec czasu i miejsca.

27. Pojęcie symetrii okazało się też niezastąpione dla zrozumienia najgłębszej logiki otaczającego nas świata. Einsteina na przykład doprowadziło do zdumiewającego odkrycia, że prędkość światła jest graniczną szybkością w przyrodzie. I że nikt nie może jej osiągnąć. Odkrycie Einsteina było kompletnie odmienne od naszej intuicji. Zdrowy rozsądek, rodem z Ziemi, przegrał w tym starciu z przekonaniem fizyka, że prawa symetrii wymagają, aby natura traktowała wszystkich tak samo. Od tego czasu pojęcie symetrii ugruntowało swoje znaczenie jako najprostsza droga do poznania tajemnic świata. Fakt, że w naturze przejawia się symetria i pojawiają wzorce, oznacza, że stosuje się ona do zasad. I podlega ograniczeniom. Są więc rzeczy, które nie mogą się zdarzyć, i inne, które zdarzają się zawsze według tych samych wzorów.

28. Matematycy odkryli między innymi, że symetryczne formy i obiekty można rozkładać na najmniejsze, niepodzielne części. Są one jakby atomami symetrii. Prof. Thompson dowiódł też, że ogromną liczbę symetrycznych obiektów można uzyskać z prostych grup podstawowych. Na przykład symetryczny wielobok mający 105 ścian można utworzyć z obracania trójkąta, pięciokąta i siedmiokąta. Dowód takich przekształceń okazał się najdłuższym, jaki kiedykolwiek opublikowano. Zajął 255 stron, całe wydanie czasopisma "Pacific Journal of Mathematics" z 1963 r.” „ Pociąg do symetrii”-B.Kastora

34. SYMETRIE HAMILTONIANU

35. Osie symetrii kryształu

36. Środek symetrii kryształu

37. Płaszczyzny symetrii kryształu

38. SYMETRIE W PRZYRODZIE

39. Symetrycznych kształtów mamy wokół bez liku: zimą płatki śniegu, wiosną- kwiatów. Te drugie kryją w sobie w dodatku pewną tajemnicę zapisaną w liczbie płatków występujących w różnych gatunkach kwiatów. Statystyka układa się w dziwny ciąg: lilie mają 3 płatki, jaskry 5, ostróżki 8, nagietki 13, astry 21, a stokrotki 34, 55 lub 89 płatków. Jeśli się tym liczbom przypatrzyć, widać pewien wzór. Część z nich jest mianowicie sumą dwóch poprzednich liczb z tego szeregu, na przykład 3+5=8, 5+8=13, 34+55=89. I właśnie kwiatów z tyloma płatkami jest najwięcej. Te reguły kryją nierozwiązany jeszcze sekret przyrody.

40. U człowieka w okresie zarodkowym jedna połowa ciała jest lustrzanym odbiciem drugiej, a symetria dotyczy w znacznym stopniu także narządów wewnętrznych. Niewielka asymetria zewnętrznej budowy ciała człowieka jest normą. Zazwyczaj można stwierdzić skośne położenie mostka, pochylenie miednicy w jedną stronę, boczne skrzywienie kręgosłupa, odchylenie nosa w jedną stronę. Szczególnie dobrze można to zauważyć na twarzy – po podzieleniu zdjęcia en face na połowę i odbiciu lustrzanym każdej z połówek otrzymamy dwie różniące się twarze Narządy wewnętrzne parzyste mogą różnić się kształtem, wielkością i lokalizacją, lewa połowa mózgu zazwyczaj jest większa niż prawa, lewe płuco ma mniejszą pojemność, zbudowane jest z mniejszej ilości płatów, lewa nerka znajduje się wyżej niż prawa , u mężczyzn prawe jądro zazwyczaj znajduje się poniżej lewego w worku mosznowym. Narządy nieparzyste mogą być położone symetrycznie (narządy ośrodkowego układu nerwowego, narządy płciowe, pęcherz moczowy) lub asymetrycznie (wątroba, trzustka po prawej stronie; śledziona, żołądek po lewej).

42. las

43. motyl

44. las

45. motyl

46. Sowa

47. Ważka

48. żuk

49. Niedźwiedź polarny

50. Symetrie w otaczających nas przedmiotach