1 / 21

Voroneho diagramy

Voroneho diagramy. Jana Homrová 21.1.2010. Obsah. Historie Motivace Obecný Voroneho diagram Algoritmy Delaunayho triangulace Zobecněný Voroneho diagram Využití Voroneho diagramů. Historie. Descart (1644) - ,,Principy filozofie“

channing-carlson
Download Presentation

Voroneho diagramy

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Voroneho diagramy Jana Homrová 21.1.2010

  2. Obsah • Historie • Motivace • Obecný Voroneho diagram • Algoritmy • Delaunayho triangulace • Zobecněný Voroneho diagram • Využití Voroneho diagramů

  3. Historie • Descart (1644) - ,,Principy filozofie“ - popis uspořádání hmoty ve sluneční soustavě a jejím okolí • G.H.Dirichlet (1850) - studium pozitivně definitních kvadratických ploch • M.G.Voronoi (1908) - studium obecných d-dimenzionálních případů

  4. Motivace • Hledání nejbližší stanice metra

  5. Obecný Voroneho diagram • Pro množinu P = {P1,…, Pn} je rovina rozdělena na n buněk příslušných k daným bodům Pi • Pro libovolný bod Q ležící v buňce příslušné k bodu Piplatí: │QPi│<│QPj│PjP, j ≠ i • Vzdálenost dvou bodů je euklidovská

  6. Terminologie

  7. Algoritmy • Naivní algoritmus - vychází přímo z definice - složitost je O(n2log n) • Inkrementální algoritmus -nejprve nalezneme Voroneho diagram pro několik málo bodů - postupně modifikujeme přidáváním dalších bodů z množiny P - složitost je O(n2)

  8. algoritmus,,rozděluj a panuj“ - princip spočívá v rekurzivním dělení zadané množiny P na dvě části, dokud nedostaneme množiny dvou, tří generujících bodů - po sestrojení Voroneho diagramu (pro rekurzivně získané množiny) následuje ,,zpětný chod“ -složitost je O(n log n)

  9. ,,Plane sweep“ algoritmus - využívá takzvanou zametací přímku - část Voroneho diagramu nad zametací přímkou (již nemůže být ovlivněna body pod ní) je ohraničena parabolickými oblouky, tzv. ,,beach line“ - průsečíky parabolických oblouků ležících na ,,beach line“ leží zároveň na hranách diagramu - ,,site event“…objevení nového generujícího bodu na zametací přímce - ,,circle event“… zánik parabolického oblouku - složitost je O(n log n)

  10. Delaunayho triangulace • Duální struktura k Voroneho diagramu • Jedná se o pokrytí nepřekrývajícími se trojúhelníky • Platí tzv. kritérium: - max min - prázdného kruhu

  11. Zobecněný Voroneho diagram • Změna dimenze • Změna metriky - mezi nejpoužívanější patří tzv. Lp-metriky distp(P,Q) = ||PQ||p = (Σdi=1|pxi - qxi|p)1/p • Změna váhy - Multiplikativní vážený Voroneho diagram distm(P,Q) = 1/wi dist(P,Q)

  12. - Aditivní vážený Voroneho diagram dista(P,Q) = dist(P,Q) – wi POKUD za dist(P,Q) zvolíme eukleidovskouvzdálenost, PAK dista(P,Q) chápeme jako eukleidovskou vzdálenost bodu P od kružnice se středem v bodě Q a poloměrem wi Množina bodů, která má stejnou vzdálenost od dvou kružnictvoří hyperbolu. Odtud jsou hrany Voroneho diagramu částmi hyperbol.

  13. - Voroneho diagram pro úsečky - generujícími body jsou úsečky - dist(P,li)definujeme jako eukleidovskou vzdálenost bodu P od nejbližšího bodu ležícího na li - Voroneho diagram může být konstruovám algoritmem ,,plane-sweep“

  14. Využití Voroneho diagramů • Poštovní problém - plánujeme postavit novou pobočku obchodního řetězce - vytváříme model chování potencionálních zákazníků - předpokládáme jistá omezení: - cena zboží je stejná v každém středisku - náklady na získání zboží se rovnají součtu ceny zboží a ceny dopravy - cena dopravy je rovna součinu pevné ceny za jednotku vzdálenosti a Eukleidovské vzdálenosti od střediska - snaha minimalizovat náklady

  15. Biologie - Včelí plástve jsou Voroneho diagramem pro speciálně zadanou množinu generujících bodů - některé druhy mořských korálů si staví buňky do tvaru Voroneho diagramů

  16. - do tvaru Voroneho diagramů praská nebo se shlukuje zem - Motýlí křídla jsou také Voroneho diagramy pro speciálně zadanou množinu generujích bodů

  17. Mozaiky - jedná se o Voroneho diagramy pro speciálně zadané množiny generujících bodů

  18. Geografie - analýza sídel

  19. Robotika - plánování pohybu robota - generující množina bodů je tvořena překážkami v prostoru - robot se pohybuje po hranách Voroneho diagramu

  20. Děkuji za pozornost

More Related