Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 1 w Gryficach • Gimnazjum nr 58 w Poznaniu • ID grupy: 98/22_mf_g2 • 98/62_mf_g1 • Kompetencja: matematyczno-fizyczna • Opiekunowie: Elżbieta Grządziel, Anna Walkowiak • Temat projektowy: „Niedziesiątkowe systemy liczbowe” • Semestr V • Rok szkolny 2011/2012

3. W PREZENTACJI… • Historia tworzenia liczb • System addytywny(rzymski) • System binarny (pozycyjny dwójkowy) • System pozycyjny ósemkowy • System Babiloński (sześćdziesiątkowy) • System Grecki • System Egipski • System Majów

4. Historia • Już w trzecim tysiącleciu p.n.e. używano w Egipcie hieroglifów do oznaczania liczebności. Innych cyfr używano w Babilonii, jeszcze innych w starożytnej Grecji i Rzymie. Umiejętność nazywania liczb znacznie wyprzedziła umiejętność ich zapisywania, z czasem jednak wprowadzono znaki, za pomocą których zapisywano liczby. Powstawały też zasady tworzenia nowych liczb i tak powstały systemy liczbowe. System liczbowy Sposób zapisywania liczb oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie działań na tych liczbach.

5. Powstanie systemów liczbowych • Dla każdego systemu liczbowego istnieje zbiór znaków, za pomocą których tworzy się liczby. Znaki te zwane cyframi można zestawiać ze sobą na różne sposoby otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji. • Najbardziej prymitywny systemem liczbowy, to jedynkowy system liczbowy, w którym występuje tylko jeden znak. W systemie tym kolejne liczby są tworzone przez proste powtarzanie tego znaku.

6. Rodzaje systemów liczbowych • Rozróżniamy pozycyjne i niepozycyjne systemy liczbowe. • W systemach liczbowych pozycyjnych liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr. Wartość jej jest zależna od położenia (pozycji) cyfr w liczbie. Do systemów pozycyjnych zaliczamy m.in.: dziesiątkowy, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. • Do niepozycyjnych systemów liczbowych zaliczamy m.in.: rzymski, hieroglificzny, alfabetyczny, gdzie wartość liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych.

7. Rzymski system liczbowy • System rzymski wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali ok. 500r. p.n.e. Stosowany był w łacińskiej części Europy do końca średniowiecza. Obecnie cyfry rzymskie stosuje się rzadko. Służą one głównie do zapisywania miesięcy, wieków, oznaczania godzin w starych zegarach, rzędów w kinie, tomów dzieł, czy liceów (szkół podstawowych i gimnazjów nie).

8. Rzymski system zapisywania liczb • W systemie rzymskim posługujemy się znakami: I, V, X, L, C, D, M, gdzie: • I =1, V =5, X =10, L=50, • C=100, D=500, M=1000.

9. Rzymski system zapisywania liczb • System rzymski zapisywania liczb jest systemem addytywnym, czyli wartość danej liczby określa się na podstawie sumy wartości jej znaków cyfrowych. Wyjątki od tej zasady to liczby: 4, 9, 40, 90, 400 i 900, do opisu których używa się odejmowania.

10. Zasady panujące w rzymskim systemie liczbowym • 1. Należy dążyć zawsze do tego, aby używać jak najmniejszej liczby znaków. • 2. Obok siebie mogą stać co najwyżej trzy znaki spośród: I, X, C lub M. • 3. Obok siebie nie mogą stać dwa znaki: V, L, D. • 4. Nie może być dwóch znaków oznaczających liczby mniejsze bezpośrednio przed znakiem oznaczającym liczbę większą. • 5. Znakami poprzedzającymi znak oznaczający większą liczbę mogą być tylko znaki: I, X, C.

11. Sposób odczytu i zapisu Gdy w rzymskim zapisie liczby: • cyfry są jednakowe – dodaj je do siebie III – 3, bo 1 + 1 + 1 = 3 MM – 2000, bo 1000 + 1000 = 2000 • cyfry mniejsze stoją za większymi – dodaj je do nich XVI – 16, bo 10 + 5 + 1 = 16 MC – 1100, bo 1000 + 100 = 1100 • cyfry mniejsze poprzedzają większe – odejmij je od nich XIV – 14, bo 10 + (5 - 1) = 14 CM – 900, bo 1000 – 100 = 900.

12. przykłady

13. Rzymski system zapisywania liczb • Za pomocą dostępnych znaków można zapisać liczby od 1 do 3999, gdyż nie istnieją znaki dla liczb większych od 1000. • Rzymianie posiadali takie symbole dla liczb: 5000, 10000, ale wyszły one już z użycia. Symbolem ↁ oznaczano liczbę 5000, a symbolem ↂ - liczbę 10000.

14. Rzymski system zapisywania liczb • Większe liczby można zapisywać poprzez umieszczenie jej między dwoma znakami |, co oznacza liczbę stukrotnie większą. Innym znakiem pełniącym podobną funkcję jest nadkreślenie oznaczające pomnożenie przez 1000.

15. Rzymskie ułamki • Rzymski zapis ułamków jest na ogół mało znany. Rzymskie ułamki opierały się na dwunastkach ("uncia", jedna z jednostek niższego rzędu). Jednostka była zwykle dzielona na dwanaście mniejszych jednostek i wszystkie wielokrotności tych mniejszych jednostek miały swoje nazwy i oznaczenia.

16. Rzymskie ułamki

17. WADy • Rzymski system ma jedną wadę, jest niewygodny w prowadzeniu nawet prostych działań arytmetycznych. Rzymianie jednak potrafili dość sprawnie wykonywać działania dodawania i odejmowania posługując się przy tym abakusem - pierwszą w świecie "maszyną do liczenia".

18. Zadanie 1 • Odczytaj liczby: a) CXLIV

19. Zadanie 1 b) CDXXXIX c) MMDCCXLV

20. Zadanie 2 • Na początku filmu ukazał się napis MCMXCIX. W którym roku ukończono produkcję tego filmu?

21. System binarny • System ten jest podstawą wiodącej obecnie dziedziny wiedzy jaką jest informatyka. • Cyfry tego systemu: 0 i 1 zwane są bitami (bit - elementarna jednostka informacji). Każdy ciąg ośmiu kolejnych zer i jedynek tworzy tzw. bajt (bajt - podstawowa jednostka informacji). Każdy z bitów może przyjąć stan 0 (OFF, wyłączone) lub 1 (ON, włączone), co możemy tłumaczyć również jako prawda (true) lub fałsz (false). zatem bajt reprezentuje 28= 256 stanów. • Podstawą tego systemu jest 2. Stąd też i nazwa - system dwójkowy.

22. System binarny • W systemie dwójkowym w zapisie liczb używa się dwóch cyfr: 0 i 1. • Kolejne cyfry w liczbie są mnożone przez kolejne potęgi liczby 2. Zatem mamy pozycję jedynek (20), pozycję dwójek (21), czwórek (22), ósemek (23), itd.

23. Zamiana systemu dziesiątkowego na binarny • Każdą liczbę systemy dziesiętnego można zamienić na system binarny. Zamiana ta polega na dzieleniu danej liczby przez 2, czyli przez system, w którym chcemy liczbę otrzymać. Jeżeli nie ma reszty z dzielenia wówczas z prawej strony kreski wstawiamy 0, natomiast gdy reszta z dzielenia jest 1. Następnie wykonujemy takie same obliczenia na liczbie całkowitej, którą otrzymaliśmy z dzielenia, aż do momentu, gdy z lewej strony będzie 0. Po wykonaniu wszystkich obliczeń, z prawej strony kreski są 0 lub 1, żeby otrzymać liczbę binarną, należy te cyfry wypisać od dołu. Jeżeli cyfr jest mniej niż 8, wówczas należy dopisać 0 na początku.

24. Zadanie 1 • Zamień liczbę 123 na system binarny • Czyli 123(10)=01111011(2)

25. Zamiana z systemu dwójkowego na dziesiątkowy Konwersja liczby z systemu dwójkowego na dziesiątkowy dokonywana jest na podstawie wzoru, np.(11011101)2 = 1 * 2 7 + 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 1 * 2 4 + 1 * 2 3 + + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 =                         =  128 + 64 + 16 + 8 + 4 + 1 = (221)10

26. W systemie binarnym wykonujemy następujące działania

27. Przy dodawaniu dwóch liczb w systemie dwójkowym należy pamiętać, że dwie jednostki niższego rzędu tworzą jedną jednostkę rzędu wyższego. PRZYKŁAD: Dodaj do siebie dwie liczby: (11010111) 2 i (1010111) 2 1 1 0 1 0 1 1 1 + 1 0 1 0 1 1 1 = 1 0 0 1 0 1 1 1 0 Odp.: Suma tych dwóch liczb to (100101110) 2

28. Odejmowanie liczb w systemie dwójkowym Przy odejmowaniu liczb również należy pamiętać, że dwie jednostki niższego rzędu tworzą jedną jednostkę rzędu wyższego. PRZYKŁAD: Odejmij od siebie dwie liczby: (100101110) 2 i (11010111) 2 1 0 0 1 0 1 1 1 0 - 1 1 0 1 0 1 1 1 = 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 Odp. Różnicą tych liczb jest liczba (11010111) 2

29. Mnożenie liczb w systemie dwójkowym Mnożenie liczb w systemie binarnym przebiega tak samo jak mnożenie liczb w systemie dziesiątkowym. PRZYKŁAD: Pomnóż przez siebie dwie liczby: (1111) 2 i (1010) 2 1 1 1 1 * 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 + _____________ Odp. Iloczyn tych dwóch liczb jest równy (10010110) 2 1 0 0 1 0 1 1 0

30. Dzielenie liczb w systemie dwójkowym PRZYKŁAD: Podziel liczbę 19 = (10011) 2 przez 8 = (1000) 2 10011 1*2 + 1*2³ + 1*2² + 1*2 + 1*2 1000 1 * 2³ 1*2 1*2³ 1*2² 1*2 1*2 1 * 2³ 1 * 2³ 1 * 2³ 1 * 2³ 1*2³ 1*2 + 1*2 + 0*2 + 1*2 + 1*2 = (10,011) 2 4 1 0 _____ _______________________________ = = 4 1 0 _______ _____ _____ ______ _____ = + + + + = = 1 0 -1 -2 -3

31. POZYCYJNY ÓSEMKOWY SYSTEM LICZENIA Ósemkowy system liczbowy to pozycyjny system liczbowy o podstawie 8. Jest nazywany także oktalnym. Do jego zapisu używa się ośmiu cyfr, od 0 do 7. Podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 8.

32. JAK ZAPISYWAĆ? Podobnie jak w wypadku każdego systemu liczbowego, również w tym wypadku liczby zapisywane są w postaci ciągów cyfr, spośród których każda stanowi mnożnik kolejnej potęgi liczby, która jest podstawą systemu. Przykładowo zapisana w systemie dziesiętnym liczba 100, przyjmie w systemie ósemkowym postać 144, ponieważ 1∙82 + 4∙81 + 4∙80 = 64 + 32 + 4 = 100. Aby podkreślić, że dana liczba jest zapisana w systemie oktalnym można dodać przy niej odpowiedni indeks, na przykład 1448.

33. STOSOWANIE Systemu ósemkowego używa się, dlatego że skraca on zapis liczb dwójkowych. Stosuje się go także w informatyce, np. w systemie Linux (polecenie "chmod" ustawiające prawa dostępu do pliku może przyjąć jako argument oktalną reprezentację żądanych praw dostępu).

34. ZAMIANA LICZB Z SYSTEMU DZIESIĘTNEGO NA ÓSEMKOWY W matematyce liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę systemu, np. 1448 = 10010. Przykład zamiany liczby z systemu dziesiętnego na system ósemkowy: 100/8 = 12 i 4 reszty = 4 12/8 = 1 i 4 reszty = 4 1/8 = 0 i 1 reszty = 1 Teraz czytamy od dołu: 144 w systemie oktalnym to 100 w systemie dziesiętnym.

35. ZADANIE 1 a) 144 (odp:100) b) 77 (odp:63) c) 72 (odp:58) d) 22 (odp:18) ZADANIE 2 Zamień liczby z systemu ósemkowego na dziesiętny. Zamień liczby z systemu dziesiętnego na ósemkowy. a) 124 (174) b) 98 (142) c) 80 (120) d) 116 (164) e) 54 (66)

36. Babiloński system liczenia • Babilońskich znaków używano w • Mezopotamii ok. 5000 lat temu. • Znaki te zachowały się do naszych czasów • na glinianych tabliczkach. Wśród tych tablic uczeni znaleźli sporo takich, na których wypisana jest cała wiedza matematyczna Babilonii. Babilończycy pisali pismem klinowym. Liter klinowych było wiele, jednak znaków cyfrowych znacznie mniej. Babilończycy korzystali z pozycyjnego systemu sześćdziesiątkowego (systemu liczbowego o podstawie 60), który towarzyszy nam jeszcze dziś.

37. Babilończycy przejęli zdobycze naukowe od Sumerów. Wielkim jednak ich osiągnięciem, poza pismem klinowym, była modyfikacja przejętego systemu liczbowego, w wyniku której powstał system pozycyjny. Niektórzy twierdzą, że było to ich największe osiągnięcie w matematyce.

38. Zastosowanie • Układ sześćdziesiątkowy obecnie jest używany w związku z jednostkami czasu. Godzina dzieli się na 60 minut, minuta na 60 sekund. Również powszechnie spotyka się układ sześćdziesiątkowy przy podawaniu miar kątowych a zwłaszcza szerokości i długości geograficznej. Zaletą układu sześćdziesiątkowego jest podzielność liczby 60 przez 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 oraz 60. Ułamki mają wtedy formę liczb całkowitych.

39. Wykorzystywane symbole • Cyfry od 1 do 9 wyglądały następująco: • Liczby 10, 20, 30, 40 i 50 wyglądały tak: • Brakujące cyfry pomiędzy 10 a 59 otrzymywano przez kombinację powyższych.

40. Wykorzystywane symbole- cd. • Na przykład 11 otrzymywano przez połączenie jedynki z dziesiątką: • Natomiast liczby większe od 59 były otrzymywane przez układanie cyfr w kolejnych kolumnach.

41. Cyfry systemu babilońskiego

42. Jak tworzyć liczby? Liczby od 1 do 59 zapisywano przez powtarzanie każdego z tych znaków tyle razy ile było potrzeba. Powyżej liczby 59 notacja liczb była pozycyjna. Łatwo można było pomylić 2 i 61: Świadomi tego niebezpieczeństwa pisarze mezopotamscy zostawiali puste miejsce między znakami odnoszącymi się do dwóch kolejnych rzędów według bazy 60.

43. Jak dodawać? Ile to 65 + 3? + = Ponieważ (1x60 +5) + 3 = 1x60 +8

44. Zero w systemie liczb babilońskich • W Mezopotamii nie znano zera ani jako liczby (którą można dodawać, mnożyć, itd.), ani jako cyfry. Wskutek tego ten sam napis mógł oznaczać zarówno 11, 601, 36001, jak i 36060. Dopiero około roku 400 p.n.e. na tabliczkach klinowych w zapisie liczb pojawił się symbol dwóch klinów, które oznaczają nieobecność cyfry w danej pozycji.

45. BABILOŃSKI SYSTEM ZAPISYWANIA LICZB • Zapis liczby całkowitej w systemie babilońskim ma postać: • ai-1ai-2 ... a2a1a0   =   ai-1 · 60i-1 + ai-2 · 60i-2 + ... + a2 · 602 + a1 · 601 + a0 · 600 Zamiana liczby dziesiętnej na sześćdziesiętną: Liczba 122: 122 2 22 0 122:60=2 , reszta 2 Wybraną liczbę podziel przez 60, wynik zapisz pod, a resztę obok wybranej liczby.Powtarzaj czynność, aż wynik dzielenia będzie równał się 0. 2:60=0 , reszta 2 Liczbą w systemie sześćdziesiętnym są reszty przepisane od dołu do góry, czyli 22. Babilończycy zapisaliby to tak:

46. ZADANIE Zamiana liczby dziesiętnej na sześćdziesiętną: 1.Wyznacz liczbę 129 129 9 2 2 0 2.Wyznacz liczbę 62 62 2 1 1 0

47. Historia systemu greckiego : • Pierwszym greckim systemem liczbowym, któremu się przyjrzymy jest system akrofoniczny, który stosowany był w pierwszym milenium przed naszą erą. „Akrofoniczny” oznacza, iż symbole liczb pochodzą od pierwszej litery nazwy liczby, tak więc symbol pochodzi od skrótu nazwy liczby. Oto symbole dla liczb 5, 10, 100, 1000, 10000.

48. historia • Starożytni Grecy byli jedną z pierwszych cywilizacji, którzy używali liter alfabetu. Alfabet ten, po niewielkich zmianach, przejęli od Fenicjan, którzy go wynaleźli. • (słowo alfabet pochodzi od greckich liter - alfa i beta) • Liczebniki greckie oznaczane były kolejnymi literami alfabetu. • W systemie greckim brak zera. Zapiski pokazują, że starożytni Grecy nie byli pewni co do statusu zera jako liczby: pytali "jak nic może być czymś?", co doprowadziło do interesujących filozoficznych argumentów na temat natury i istnienia zera i próżni.

49. SYSTEM LICZBOWY ALFABETYCZNY Klasyczny grecki alfabet składa się z 24 liter, używanych razem z 3 starszymi literami, które obecnie wyszły z użycia. Oto te 27 liter: Istniał również drugi system liczbowy w starożytnej Grecji, w którym nazwy liczb pochodzą od liter alfabetu. Warto tu zauważyć, iż starożytni Grecy byli jedną z pierwszych cywilizacji, którzy używali litery alfabetu. Alfabet ten, po niewielkich zmianach, przejęli od Fenicjan, którzy go wynaleźli.

50. SYSTEM LICZBOWY ALFABETYCZNY • W alfabecie są litery duże i małe. Litery stare to: digamma, koppa, i san. Pierwsze dziewięć liter stanowią symbole dla liczb 1, 2, …,9. • Proszę zauważyć, iż 6 reprezentuje przestarzała litera digamma Alfabetyczne 1 - 9 Alfabetyczne 10 - 90 Następne dziewięć liter są symbolami dla 10, 20, …., 90. Liczbę 90 reprezentuje stara litera koppa.