Les mouvements sur la Sphère

1. Les mouvements sur la Sphère

2. Définitions: le Grand-Cercle = intersection d’un plan passant par le centre de la sphère

3. Définitions: le Grand-Cercle = intersection d’un plan passant par le centre de la sphère

4. Définitions: le Petit-Cercle = intersection d’un cône de révolution dont l’apex est situé au centre de la sphère...

5. Définitions: le Petit-Cercle ... et/ou d’un plan ne passant pas par le centre de la sphère

6. Définitions: le Petit-Cercle Définitions: le Petit-Cercle ... et/ou d’un plan ne passant pas par le centre de la sphère

7. Définitions: le Repère Géocentrique La position de tout point P dans le repère géocentrique est définie par: - r: distance au centre de la Terre rayon moyen de la Terre: 6371 km. - l: la latitude = angle entre le vecteur position du   point et le plan équatorial. - f: la longitude = angle que fait le grand-cercle passant par P et le pôle nord avec un grand-cercle arbitraire passant par les pôles N et S. Pôle Nord (r,l,F) -90° ou 270° 90° (E) 0° f: compté de 0° (méridien de Greenwich) à 360° vers l’Est l: compté de 0° (Equateur) à +90° vers le nord, et à – 90° vers le sud N.B.: q est la colatitude, comptée de 0° (pôle nord) à 180° (pôle sud)

8. Quelques outils

9. Trigonométrie Sphérique

10. Trigonométrie Sphérique

11. Trigonométrie Sphérique Nota: la somme a + b + g est toujours supérieure à 180°

12. Trigonométrie Sphérique Formule des sinus:

13. Trigonométrie Sphérique Formule des cosinus:

14. Trigonométrie Sphérique Aire du triangle sphérique e Soit par les angles au sommet: Soit par les longueurs des côtés: Nota:l’aire e est un angle solide qui s’exprime en stéradian. La surface dans le système métrique S s’obtient par S = e.r2, où r est le rayon de la sphère.

15. Trigonométrie Sphérique - Applications 1. Quelle est la distance entre Paris (48° 51’ N, 2° 21’ E) et San Francisco (37° 46’ N, 122° 25’W) ? 2. Quel cap doit prendre un avion après le décollage de Paris pour se rendre à San Francisco ? 3. Ce cap reste-t-il constant tout le long du voyage ?

16. Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W

17. Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W

18. Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W

19. Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W

20. Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W d = 80.6° ≈ 8960 km d Formule des cosinus:

21. Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W d = 80.6° ≈ 8960 km d Az Az = 41.2° (W) Formule des sinus:

22. Chemin le plus court = arc de grand-cercle = Orthodromie Chemin à cap constant = chemin le plus long = Loxodromie http://fr.wikipedia.org/wiki/Orthodromie

23. Orthodromie http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/RefTerre/Orthodromie1.html

24. Loxodromie http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/RefTerre/Orthodromie1.html

25. Produit Scalaire r

26. Produit Scalaire Vecteur position a r

27. Produit Scalaire Vecteur position a Vecteur position b r

28. Produit Scalaire Vecteur position a Vecteur position b r Produit scalaire a.b d’où:

29. Produit Vectoriel Vecteur position a Vecteur position b Produit vectoriel a L b (ou a xb)

30. Déplacement sur la sphère Comment décrire un mouvement d’un point A à un point B sur une sphère ? B A

31. Déplacement sur la sphère Ce mouvement peut-il être rectiligne ? ?? B A

32. Tout déplacement sur une sphère est une rotation B B A A En aucune manière... il s’agit d’une rotation.

33. Tout déplacement sur une sphère est une rotation Pôle d’Euler Angle d’Euler B A C’est une rotation eulérienne, du nom de Leonhard Euler (1707-1783), mathématicien suisse.

34. Tout déplacement sur une sphère est une rotation Pôle d’Euler Angle d’Euler B ?? • Remarques: • la rotation d’Euler est une rotation finie • elle décrit le mouvement le plus court de A à B • elle ne permet pas de décrire la trajectoire de A à B (pour cela, il faut des paramètres de rotation finie intermédiaires...). A

35. Cosinus directeurs a = angle avec l’axe X b = angle avec l’axe Y g = angle avec l’axe Z

36. Cosinus directeurs a = angle avec l’axe X b = angle avec l’axe Y g = angle avec l’axe Z

37. Cosinus directeurs a = angle avec l’axe X b = angle avec l’axe Y g = angle avec l’axe Z

38. Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)

39. Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 =                 "                  "                "         Y l13=                 "                  "                "         Z lij=cosaij Ox y z x’l11l12l13 Que l’on peut réécrire:

40. Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 =                 "                  "                "         Y l13=                 "                  "                "         Z l21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe X l22 =                 "                  "                "         Y l23 =                 "                  "                "         Z lij=cosaij Ox y z x’l11l12l13 y’l21l22l23 Que l’on peut réécrire:

41. Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 =                 "                  "                "         Y l13=                 "                  "                "         Z l21= cosinus directeur de l’axe Y’avec l’axe X l22=                 "                  "                "         Y l23=                 "                  "                "         Z l31= cosinus directeur de l’axe Z’avec l’axe X l32=                 "                  "                "         Y l33=                 "                  "                "         Z lij=cosaij Ox y z x’l11l12l13 y’l21l22l23 z’l31l32l33 Que l’on peut réécrire:

42. Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 =                 "                  "                "         Y l13=                 "                  "                "         Z l21= cosinus directeur de l’axe Y’avec l’axe X l22=                 "                  "                "         Y l23=                 "                  "                "         Z l31= cosinus directeur de l’axe Z’ avec l’axe X l32=                 "                  "                "         Y l33=                 "                  "                "         Z Ox y z x’l11l12l13 y’l21l22l23 z’l31l32l33 Que l’on peut réécrire: C’est la matrice de transformation [TM]

43. Changement de repère Le point P, de coordonnées (x,y,z) dans l’ancien repère (X,Y,Z) aura pour coordonnées (x’,y’,z’) dans le nouveau repère (X’,Y’,Z’): ou: ou: P(x’,y’,z’) = [TM] * P(x,y,z)

44. Changement de repère On retrouve les coordonnées d’origine (x,y,z) de P dans l’ancien repère (X,Y,Z) à partir des coordonnées (x’,y’,z’) dans le nouveau repère (X’,Y’,Z’) à l’aide de la matrice transposée: et: P(x,y,z) = [TM]T * P(x’,y’,z’) À noter:

45. Rotation 2D

46. Rotation 3D Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’

47. Rotation 3D – règle du trièdre direct Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’

48. Rotation 3D Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’ Rz(q) est donc la matrice de rotation autour de l’axe Z

49. Rotation 3D à 3 dimensions, les matrices de rotations suivantes correspondent à des rotations autour des axes X,Y et Z (respectivement) : Rx(q)tourne l'axe Yvers l'axe Z, Ry(q)tourne l'axe Zvers l'axe Xet Rz(q)tourne l'axe Xvers l'axe Y.

50. Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes q