Límites infinitos.

Límites infinitos. 1- Se dice que lím f (x) =  si: x x a)  una vecindad perforada V de 0   V Dom. f | f (x)|  0 b) lím 1 = 0 x x f (x)

Ejemplo: Lím 1 =  x 2 (x - 2)³ a)  x V Dom f 1  0 (x - 2)³ b) lím 1  lím (x - 2)³ 0 x 2 1 x  2 (x - 2)³  el límite es infinito.

2- Se dice que lím f (x) = + si: x x0 a)  una vecindad perforada V de o   V Dom. f f (x)  0 b) lím 1 = 0 x x0f (x)

Ejemplo: Lím 1 = +  x 0 x² a)  x V Dom f 1  0 x² b) lím 1  lím x ² 0 x 0 1 x  0 x²  el límite es infinito positivo.

3- Se dice que lím f (x) = - si: x x0 a)  una vecindad perforada V de o   V Dom. f f (x) < 0 b) lím 1 = 0 x x0f (x)

Ejemplo: Lím 1 = -  x 2 x - 2 x < 2 a)  x V Dom f 1 < 0 x - 2 b) lím 1  lím x - 2  0 x 2 1 x  2 x < 2 x - 2 x < 2  el límite es infinito negativo.

Límites a izquierda y a derecha. lím f (x) lím f (x) x x0x x0 + x x0 Llamaremos límite en Xo por la derecha. Definición: lím f (x)  L x x0 +  (0)(0)(x)(xo  x  x0+   f (x) - L  )

lím f (x) lím f (x) x x0x x0 ¯ x<x0 Llamaremos límite en Xo por la izquierda. Definición: lím f (x) L x x0 ¯  (0)(0)(x)(xo -   x  x0  f (x) - L  )

Teorema de unicidad de límites. lím f (x) = Existe lím f (x) = lím f (x) x x0x x0 +x x0 ¯ * El resultado siempre debe ser el mismo. Ejemplo: 1) lím x - 1 2) lím x - 1 x1 ¯  x - 1 x1+  x - 1 lím x - 1 =-1lím x - 1 = 1 x1 ¯ - ( x - 1)x1+(x - 1)  lím x - 1 porque los límites son diferentes -1  1 x1  x - 1

Límites importantes. 1)lím sen x=1 5)lím ex= xox x 2)lím n! = 6)lím ln x = n x 3)lím 2n= 0+7)lím ( 1 + 1 ) x= e n n! x x 4)lím sen x=0 8)lím ( 1 +  ) 1/=e xx

9)lím f (x)0 12)lím f (|x|) = lím f (x) x x0 xo xo+ entonces: lím ( ln f (x)) = ln lím f (x) 13)lím ex= 0+ x x0 x x0 x - 10)lím sen 1= 0 14)lím ex- 1= 1 x x xo x 11)lím f (x) =lím f (-x) xo+ xo-

Teoremas de límites. 1. f 1 (x)  f 2(x)  f 3(x) x de una vecindad reducida de xo y que: lím f 1(x) = lím f 3(x) = L  lím f 2(x) = L x x0 x x0 x x0 2. f 2(x) lím (f 1(x)) x x0

Caso I: lím f 1(x) = L1  lím f 2(x) = L2 con L1  L2  R x x0 x x0 f 2(x) L2  lím (f 1(x)) = L1 x x0

Caso II: lím f 1(x) = L1  lím f 2(x) =  x x0 L1 1x x0 f 2(x)  lím (f 1(x)) x x0 • El límite se resuelve directamente.

Caso III: lím f 1(x) = 1 lím f 2(x) =  x x0 x x0 lím (f 1(x) - 1 ) f 2(x) lím (f 1(x)) x x0 f 2(x) x x0 = e

Ejercicios:calcular los límites. 1. 2x + 1 lím 5x + 2 3 x  3 x + 3 lím 5x + 2 = 17  lím 2x + 1 = 7 x  3 x + 3 6 x  3 3 3 2x + 1 7 lím 5x + 2 3 = 17 3 x  3 x + 3 6

2. 1 lím 4x + 1 x -2=  x  2 x - 1 lím 4x + 1 =9  lím 1 =  x  2 x - 1 x  2 x - 2 a) 1 0 x - 2 b) lím 1 =lím (x - 2) = 0 x  2 1 x  2 (x - 2)

3. 1 lím 3x - 11 x -4 x  4 x - 3 lím 3x - 11 = 1 lím 1 =  x  4 x - 3 x  4 x - 4 lím 3x - 11 - 1 1 x  4 x - 3x - 4 = e lím 3x - 11 - x + 3 1 lím 2 (x - 4) x  4 x - 3x - 4 x  4 (x - 3)(x - 4) = e = e = e²

4. lím f (x + h) - f (x) si f (x) = ln x h 0 h 1 lím ln (x + h) - ln x = lím ln x + hh h 0 h h 0 x 1 ln lím x + h h como se cumplen las condiciones h 0 x del caso 3... lím x + h - 1 1 lím x + h - x 1 h 0 x h h 0 x h 1 =ln e =ln e = ln e x= 1 X

Integrantes : • Karen Arancibia • Claudia Carmona • Alejandra Gonzalez Grupo 4.

Límites infinitos.