Bazele Fizicii Teoretice

1. Bazele Fizicii Teoretice De ce Mecanica Analitica ? Descrierea unificata a tuturor fizicilor clasice (necuantice) , a chimiei, ingineriei etc. • mecanica cereasca (miscarea stelelor, planetelor, satelitilor) • fizica plasmei • dinamica moleculara • mecanica (& electricitate) ing. Este o infrastructura puternica pentru dezvoltarea Mecanicii Cuantice

2. CONŢINUTUL CURSULUI • SISTEME DE PUNCTE MATERIALE: Legături, Principiul II al dinamicii pentru SPM, Teoreme de variaţie ale cantităţii de mişcare, moment cinetic, energie cinetică. 2.ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ:Coordonate generalizate, Principiul lui d’Alambert, Ecuaţiile lui Lagrange (mişcarea liniară, mişcarea unei particule incărcate electric in câmpuri electrice şi magnetice staţionare, funcţia lui Lagrange pentru un sistem de referinţă neinerţial). 3.ECUAŢIILE HAMILTON: Expresia ecuaţiilor Hamilton, Proprietăţile funcţiei Hamilton, Parantezele Poisson. 4.ECUAŢIA HAMILTON-JACOBI:. Expresia ecuaţiei Hamilton-Jacobi, Transformări canonice, Ecuaţia Hamilton-Jacobi pentru sisteme conservative. 5.APLICAŢII ALE SISTEMULUI LAGRANGIAN IN MECANICA SISTEMELOR DISCRETE DE PUNCTE MATERIALE: Problema celor două corpuri, Mişcarea in câmp central, Problema lui Kepler, Mişcarea in câmp gravitaţional 6.CIOCNIRILE PARTICULELOR, OSCILAŢII:: Dezintegrarea particulelor, Ciocniri elestice ale particulelor, Imprăştierea particulelor, Formula lui Rutherford, Teoria micilor oscilaţii, Oscilaţii amortizate, Oscilaţii forţate, Micile oscilaţii ale sistemelor cu mai multe grade de libertate, oscilaţii anarmonice, Rezonanţa parametrică.

3. 7. SOLIDUL RIGID: Mişcarea de translaţie şi de rotaţie a solidului rigid, Mişcarea solidului rigid cu punct fix. Bibliografia obligatorie: “Mecanica” L.D. Landau, E.M. Lifşiţ, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1966 “Mecanica teoretica” C. Iacob, Ed. Did. si Ped. Bucure;ti, 1971 “Mecanica analitica si a mediilor deformabile” Merches, L. Burlacu, Ed. Did. si Ped. Bucure;ti, 1983 “Mecanică analitică şi aplicaţii” S. Filip, A. Marcu, Ed. Univ. Oradea, 2002 ”Problems in Theoretical Physics”L.G. Sugakov, MIR, Moscow 1977. “Problems in Theoretical Physics” L.G. Grechko, MIR, Moscow, 1977 “Culegere de probleme de Mecanica Analitică” L. Burlacu, D.G. David, Univ.Bucuresti, 1988 “Introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics “,A.J. Brizard, Saint Michael’s College,Colchester, 2003

4. Bibliografia opţională: ‘Advanced Classical Mechanics’, S.G. Rajeev, Univ.Rochester Spring, 2000. ‘Classsical Mechanics’, Haret C. Rosu, Leon, Guajanato, Mexico,1999 http://arXiv.physics/9909035 v1 19 sept.1999 Los Alamos Electronic Archives : physics/9909035 ‘Calculus of Variations and Applications’, Lecture Notes, A. Cherkaev, 2002 ‘Lecture Notes on the Dynamics and Particles and Rigid Bodies’, Oliver M. Reilly, Berkeley, California 97420-1740, 2004 oreilly@me.berkely.edu ‘Methodsof mathematical physics I’, Michael Stone, Univ. of Illiois, 1110 West Green Str. Urbana, IL 61801, USA, 2004 ‘Mechanics of Manipulation’, Mat Mason, 2004 http://www.cs.cmu.edu/~mason

5. Istoric Galileo Cinematica particulelor Sec.16,17 Newton Vectorii forta si impuls Gravitatia Leibnitz Calculul variational Bernoulli Descrierea Spatiului Configuratiilor Sec.18 Euler Energia Lagrange Principii variationale Hamilton Descrierea Spatiului Fazelor Sec.19 Maxwell Electrodinamica Boltzmann Mecanica Statistica Gibbs Poincare Sec.20 Integrabilitate Einstein Simetrie Noether Teoria sistemelor Dinamice Landau Haos Kolmogorov

6. Sec.21 Se pare ca este randul vostru!!! • Simulare ? • Complexitate • Vizualizare • Biodinamici

7. Leonhard Euler 1707 Basel – 1783 St.Petesburg • Mechanica 1736-37 pentru prima data se face o prezentare a dinamicii Newtoniene in for-malismul analizei matematice • Theory of the Motions of Rigid Bodies 1765 • Contributii importante • Mecanica mediilor continue • 2.Teoria miscarii Lunii (Clairaut) • 3.Elasticitate, Acustica, Hdraulica • 4.Teoria ondulatorie a luminii

8. Joseph-Louis Lagrange 1736-1813 • 1788 Mecanique Analytique • Contributii importante • Calculul variatiilor 2. Calculul probabilitatilor • 3. Propagarea sunetului 4. Studiul corzilor vibrante • 5. Integrarea ecuatiilor diferentiale • 6.Teoria orbitelor 7.Teoria numerelor

9. Teorie perfecta Newton Sisteme simple Sisteme reale Cresterea Complexitatii • Ecuatii vectoriale care sunt dificil de controlat • Constrangeri • Inexistenta unor proceduri generale • Eliminarea constrangerilor • Utilizarea energiilor cinetice si potentiale • in rezolvarea miscarii • Standardizarea formei ecuatiilor Propunerea Lagrange Mecanica Analitica

10. Teorema cantitatii de miscare pentru un SPM P1 Fji Pi Fij rezultanta tuturor forţelor interioare P2 P3 rezultanta forţelor exterioare ce acţionează asupra fiecărui punct material Pn

11. Teorema momentului cinetic pentru un SPM conform principiului acţiunii şi reactiunii momentul cinetic total al sistemului de puncte materiale vectorul moment rezultant al forţelor exterioare

12. Teorema energiei cinetic epentru un SPM Lucrul mecanic elementar al forţelor interioare Lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare

13. CONSTRANGERI Sistemele naturale implica existenta unor “legaturi” (constangeri) prin care PM sunt obligate a se misca pe curbe sau suprafete (z=0; x2+y2=R2). Constrangerile sunt restrictii cinematice ale posibilitatilor de miscare ale particulelor unui sistem si se exprima prin intermediul unor relatii saclare de forma: n = numarul PM din sistem m = numarul constrangerilor • Existenta constrangerilor duce la mari complicatii in rezolvarea problemelor si de aceea : • pot fi pur si simplu eliminate • se lucreaza cu ele in mod direct (multiplicatorii Lagrange) Tipuri de constrangeri: Olonome (holos=integral) nu depind de viteze Scleronome (nu depind explicit de timp)-fixate Reonome (depind explicit de timp) miscarile se efectueaza fara frecare, lucrul mecanic este nul miscari pe curbe sau suprafete mobile, fortele de reactiune produc lucru mecanic

14. Exemple: Penddulul canonic Coord. Carteziene Coord. Sferice n =3= (x,y,z) m = 1 (x2+y2+z2=L2) NGL = n-m =2 n = 3=(r, θ, φ) m =1 , r = L NGL = n-m =2 (θ, φ) Pendulul dublu n =6= (x1 ,y1 ,z1) (x2 ,y2 ,z2) m =4 z1=0 z2=0 x12+y12 = l12 (x2-x1)2+(y2-y1)2 =l22 NGL = n-m =2 (φ1, φ2) Cd. ca un sistem sa poata efectua o miscare estem<3n

15. Spatiul Configuratiilor (Figurativ) • Dificultati induse de prezenta constrangerilor: • Razele vectoare nu mai sunt toate independente datorita ecuatiilor legaturilor => Ec. de miscare nu mai sunt nici ele toate independente • Conform legii a IIIa a mecanicii, datorita legaturilor, asupra PM constranse • actioneaza si Forte de Reactiune (necunoscute apriori) Cum pot fi inlaturate asemenea dificultati ? 3Ncoordonate carteziene dintre care k sunt dependente (sepot exprima in functiede restul de 3N-k) n=3N-k sunt independente =nr. Grd. Libertate Sistem Npuncte materiale K legaturi independente - se aleg n marimi independente (q1, q2,….qn) care pot descrie in mod univoc configuratia spatiala a SPM - se renunta a se lucra cu raza vectoare sau coord. carteziene si se lucreaza direct cu qi i=1,n = coordonate generalizate Propunerea Lagrange:

16. Coordonatele generalizate descriu in mod univoc, configuratia SPM in orice moment Spatiul configuratiilor Se ne imaginam un spatiu n-dimensional Fiecare punct din acest spatiu corespunde unei configuratii a SPM Evolutia in timp asistemului  Curba in Spatiul Configuratiilor

17. Deplasari Efectul de miscare se reduce la deplasarile PM ce alcatuiesc SPM, ale unor regiuni din SPM sau ale intregului sistem ca un tot unitar Deplasari posibile, reale Deplasari virtuale, compatibile cu constringerile Pentru o deplasare virtuala δt=0 ≡ toate punctele sistemului sufera o deplasare spontana, ele miscandu-se sincron

18. Deplasari virtuale, compatibile cu constringerile Consideram un sistem cu constrangeri: • Coordinate ordinare • Coordonate generalizate Sa ne imaginam ca toate particulele se misca usor: Deplasare virtuala • δritrebuie sa satisfaca constrangerile 3N coordonate dependente n coordonate independente

19. Principiul lui d`Alembert Dinamica Lagrangiana este capabila sa opereze cu constrangeri dependente de timp, constrangeri care efectueaza lucru mecanic real, insa nu si lucru mecanic virtual. Ne putem gandi la lucrul mec. virtual ca “un lucru mecanic care a uitat de timp”. Nu exista nici o diferenta intre cele doua tipuri de lucru mecanic atat timp cat se opereaza cu constrangeri dependente de timp. • Din ecuatia de miscare a lui Newton: • O parte a fortei Fi se datoreaza constrangerilor Forta aplicata Forta de constrangere • Forta de constrangere fi (in general) nu efectueaza lucru mecanic • Miscarea este perpendicular pe forta Forta aplicata este cunoscuta 2. Exceptia: frecarea

20. Multiplicand cu δri si summand dupa i Deoarece Forta de constrangere a fost eliminata Si nu mai are rost indicele (a) Principiul lui d`Alembert (1743) Pentru un sistem de puncte materiale în mişcare, supus acţiunii unor forţe date şi unor legături bilaterale fără frecare (dependente sau independente de timp), suma lucrurilor mecanice virtuale ale forţelor date şi ale forţelor de inerţie este nulă

21. Conceptul de lucru mechanic virtual ne-a permis eliminarea tuturor constrangerilor din sistem si pastrarea doar a fortelor externe!! Acest principiu trebuie sa functioneze pentru orice variatie dqj

23. Notam componentele generalizate ale forţelor Observăm că: Ec. Lagrange de speţa a II-a.

24. În cazul forţelor potenţiale (forte conservative) Intoducem notiunea de “potenţialul cinetic” Ec Lagrange sau ecuaţiile diferenţiale ale mişcării unui SPM