Kodas ir kodavimas. Atstumas ir svoris

1. Kodas ir kodavimas. Atstumas ir svoris Eglė Kareivaitė 2013

2. Kodas, apibrėžimai ir žymėjimas Abėcėlė Abėcėle vadinsime baigtinę netuščią aibę. Abėcėlės elementų skaičių žymėsime . Dvinarė abėcėlė Abėcėlė , kurios ir vadinama dvinare abėcėle. Kai ir yra sveikasis skaičius, tai žymėsime aibę visų ilgio vektorių, kurių koordinatės priklauso aibei :

3. Kodas, apibrėžimai ir žymėjimas Aibės poaibį vadiname blokiniu kodu virš arba tiesiog kodu. Kodo žodžiai Vektoriai, priklausantys kodui, vadinami kodo žodžiais. Kodo žymėjimas, kur vadiname kodo ilgiu, o kodo žodžių skaičių vadiname kodo dydžiu. Dvinaris kodas Jei ( yra dvinarė abėcėlė), tai kodą vadiname dvinariu kodu.

4. Pavyzdys Jei , , ,. Tai dvinaris kodas.

5. Kodavimas Tarkime, yra kodas. Tegu yra toks sveikasis skaičius, kad (kadangi, tai ). Laikome, kad informacija, kurią norime persiųsti nepatikimu ryšio kanalu, yra abėcėlės simbolių seka. Ją skaidome į ilgio informacijos vektorius . Tarkime, turime kokią nors injekciją (tokia injekcija egzistuoja, nes ). Naudodami šią injekciją, užkoduosime informacijos vektorius , tiksliau, vektorių užkoduosime vektoriumi . Paprastai laikysime, kad yra bijekcija, t. y. (tam turi būti ). Tokiu atveju egzistuos atvirkštinė funkcija , kurią galėsime naudoti dekodavimo metu.

6. Pavyzdys Jei , ir turime ilgio kodą, . • Tegu , tada . • Apibrėžkime bijekciją taip: , , ir . • Tada informacijos srautą skaidome į ilgio vektorius, ir kiekvieną galimą vektorių koduojame, naudodami bijekciją , pavyzdžiui, informacijos vektorių koduojame vektoriumi . • Dekodavimui naudosime atvirkštinę funkciją , kuri yra tokia: , , , .

7. Išvados • Matome, kad kodo dydis turi būti kuo didesnis, kad juo būtų galima užkoduoti kuo daugiau informacijos vektorių (t. y. kuo didesnis, tuo didesnį , tenkinantį , galime parinkti). • Tačiau, kuo daugiau žodžių kode, tuo mažiau jie skiriasi vienas nuo kito ir tuo sunkiau nustatyti, kuris vektorius buvo pasiųstas, ir surasti klaidos pozicijas. • Reikia rinktis tokį kodą, kurio ir dydis, ir atstumai tarp kodo žodžių yra kuo didesni. Tai sunkiai suderinami tikslai. Parenkant kodus, ieškoma kompromiso tarp šių dviejų dalykų.

8. Atstumas Dekodavimui labai svarbi yra atstumo tarp vektorių sąvoka. Atstumą tarp vektorių galime matuoti įvairiais būdais. Mes aptarsime Hemingo pasiūlytą būdą, šis būdas laikomas paprasčiausiu.

9. Atstumas, apibrėžimai Hemingo atstumas Jei , , tai Hemingo atstumas tarp vektorių ir , žymimas , yra koordinačių, kuriose jie skiriasi, skaičius:

10. Pavyzdys a) , , b) ,

11. Atstumo savybės Hemingo atstumas yra metrika, t. y. tenkina šias savybes: • . Be to, tada ir tik tada, kai . • . • (trikampio nelygybė).

12. Svoris Su atstumu glaudžiai susijusi yra svorio sąvoka, kuri bus ypač naudinga dekoduojant tiesinius kodus.

13. Svoris, apibrėžimai Hemingo svoris Jei abėcėlė yra Abelio grupė sudėties atžvilgiu, tada vektoriaus Hemingo svoris, žymimas , yra jo nenulinių koordinačių skaičius:

14. Kartojimas Grupė Tarkime, aibė yra netuščia, ir joje yra apibrėžta operacija ⋄. Rinkinys (t. y. aibė kartu su operacija ) vadinamas grupe, jei: • Operacija yra asociatyvi, t. y., , , , • Operacija turi neutralųjį elementą, t. y. aibėje yra toks elementas , kad, , • Kiekvienas aibės elementas a turi toje pačioje aibėje elementą , simetrišką operacijos atžvilgiu, t. y. tokį, kad. Abelio grupė (komutatyvioji grupė) Grupė, kurios operacija yra komutatyvi, t. y. , ,

15. Pavyzdys a) , ,. b) , .

16. Svorio savybės Hemingo svoris turi šias savybes: • . • . • (trikampio nelygybės analogas).

17. Klausimai