A GRASP for graph planarization. Resende, Ribeiro. 1996.

1. A GRASP for graph planarization.Resende, Ribeiro. 1996. Meta heurísticas Agustín Pecorari

2. Descripción del problema • Un grafo se dice plano si se lo puede dibujar en un plano de forma que no se crucen las aristas. • K3,3 y K5 no son planos. • Problema de optimización: encontrar el subgrafo plano máximo. NP-Hard. • Se utiliza para resolver problemas de layout de circuitos, maquinaría entre otros problemas.

3. Algoritmos disponibles • Jayakumar et al. Dos algoritmos de O(|V|2). • Construye un subgrafo plano de expansión. Tomando de a un nodo, el que agrega la cantidad máxima de aristas que no conducen a un grafo no plano. • Empieza desde subgrafo plano de expansión biconectado y construye el subgrafo plano maximal contenido en él. • Cai, Han y Tarjan. Algoritmo de O(|E|.log|V|). • Di Battista y Tamassia. Algoritmo de O(|E|.log|V|).

4. Algoritmos disponibles • Cimikowski, heurística. Para cada componente biconectado de un grafo no plano, encuentra árboles de expansión aristas-disjuntos cuya unión sea plana. Bajo ciertas condiciones llega a por lo menos 2/3 del óptimo. • Jünger y Mutzel. Exact branch-and-cut. Desigualdades que definen facetas. • Takefuji y Lee. Redes neuronales. Parten de un secuenciamiento arbitrario de los nodos y determinan dos conjuntos de aristas que pueden ser representadas sin que se crucen respectivamente por encima o debajo de la línea central. Mejorado por Goldschmidt y Takvorian.

5. π(a)=1 π(b)=2 π(c)=3 π(d)=4 Heurística de dos fasesGoldschmidt y Takvorian. 1994 • Fase 1. • Determinar secuencia ∏ de los vértices. Por ejemplo: • Supongamos e1=(a,b) y e2=(c,d). • Se dice que e1 y e2 están cruzados si: • π(a) < π(c) < π(b) < π(d) • π(c) < π(a) < π(d) < π(b)

6. Heurística de dos fases. Cont.Goldschmidt y Takvorian. 1994 • Fase 2. • Particionar el conjunto E en B, R y P. • |B +R | sea grande (máximo posible). • De manera tal que ningún par de aristas se “cruce”, estando las dos en B o las dos en R. • Goldschmidt y Takvorian muestran que si ∏ corresponde a un ciclo Hamiltoniano en un subgrafo H de G o en algún edge-augmentation plano de H => el subgrafo plano que produce contiene por lo menos ¾ de la cantidad de aristas que el máximo subgrafo plano.

7. Heurística de dos fases. Cont.Goldschmidt y Takvorian. 1994 El algoritmo intenta utilizar ordenes ∏ relacionados a ciclos Hamiltonianos. • Estos ciclos se buscan con un procedimiento aleatorio. • O un algoritmo greedy determinístico. • El primer vértice es el de grado mínimo. • El vértice vk+1 es elegido entre los adyacentes a vk. Se toma el que tenga grado mínimo en el grafo Gk inducido por V \{v1...vk}. • Si no hubiese ningún vértice adyacente a vk, entonces se elije el de grado mínimo en Gk.

8. Heurística de dos fases. Cont.Goldschmidt y Takvorian. 1994 • Sea H=(E, I): • Los vértices corresponden a aristas de G. • e1 y e2 de H están conectados si las correspondientes aristas de G están cruzadas respecto de ∏. • H se llama Overlap graph si: • Sus vértices pueden tener una correspondencia biunívoca con una familia de intervalos en una línea. • Dos intervalos se solapan si se cruzan y ninguno está contenido en el otro. • Dos vértices de H están conectados por una arista sii sus correspondientes intervalos se solapan.

9. 1 1-3 1-2 4 1 3 2 3 2 3-2 1-4 4 3-4 2-4 Heurística de dos fases. Cont.Goldschmidt y Takvorian. 1994 • Ejemplo: G ∏ H

10. Heurística de dos fases. Cont.Goldschmidt y Takvorian. 1994 • La segunda fase consiste en colorear con Rojo (R) o Azul (B) el máximo número de vértices de H, de forma tal que formen un conjunto independiente (estable). • Equivale a buscar un subgrafo bipartido con la mayor cantidad de vértices. NP-hard. Usan algoritmo greedy para generar subgrafo maximal. • Genera un conjunto independiente máximo B cE de H, reduce H sacando los vértices en B y las aristas incidentes a B.

11. Heurística de dos fases. Cont.Goldschmidt y Takvorian. 1994 • Ahora busca el conjunto independiente máximo R c E \ B. • Este procedimiento es polinomial (no encuentra el óptimo necesariamente) O(|E|3). • GT no produce el óptimo y bajo simples def. de vecindad tampoco óptimos locales.

12. GRASP procedure GRASP(ListSize, MaxIter, RdmSeed) InputInstance(); do k=1,…..MaxIter  ConstructGreedyRandomizedSolution(ListSize, RdmSeed) LocalSearch(BestSolutionFound); UpdateSolution(BestSolutionFound); od; returnBestSolutionFound end GRASP

13. GRASP. Generación secuencia ∏. procedure ConstructGreedyRandomSolution(α,seed,V,E, ∏) 1d = minvЄV{degG(v)}; đ = maxvЄV{degG(v)}; 2 RCL = {vЄV : d≤ degG(v) ≤ α (đ - d) +d}; 3 v1 = random(seed, RCL); 4 V= V \ {v1}; G1 = grafo inducido en G por V ; 5 do k=2,…,|V|  6 d = minvЄV{degGk-1(v)}; đ = maxvЄV{degGk-1(v)}; • if ADJGk-1(vk-1) ≠ Ø  • RCL = {v Є ADJGk-1(vk-1) : d≤ degGk-1(v) ≤ α (đ - d) +d}; 9 else • RCL = {v Є V: d≤ degGk-1(v) ≤ α (đ - d) +d}; 11 fi; 12 vk=random(seed, RCL); 13 V= V \ {vk}; Gk = grafo inducido en G por V ; 14 od; 15 return∏=(v1,v2,…,v|V|) end ConstructGreedyRandomSolution

14. GRASP. Búsqueda Local procedure LocalSearch(V,E, ∏) 1 do∏ no es óptima  2 encontrar ∏’ ЄN (∏) tal que X(∏’) < X(∏); 3 ∏ = ∏’; 4 od 5 return ∏=(v1,v2,…,v|V|) end LocalSearch Siendo X (∏) cantidad de pares de aristas cruzadas. YN (∏) vecindad formada por todo ∏’ con 2 pos ≠.

15. GRASP procedure GRASPforGP(α,seed,MaxIter,V,E, ∏*, B*,R*) 1 do k=1,2,…,MaxIter 2 ConstructGreedyRandomSolution(α,seed,V,E, ∏) 3 LocalSearch(V,E, ∏) 4 SecondPhaseGT(V,E, ∏, B,R) 5 UpdateSolution(∏, B,R, ∏*, B*,R*) 6 od; 7 return ∏*, B*,R* end GRASPforGP

16. GRASP. Post-procesamiento. procedure EnlargePlanar(B,R,P,V) 1 do p ЄP 2 Bp= Ø; 3 do b ЄB 4 if p y b se cruzan  5 Bp= Bp U {b}; 6 do r ЄR 7 if r y b se cruzan  goto 12 fi; 8 od; 9 fi; 10 od; 11 (B,R,P) = (B U {p} \ Bp, R UBp, P \ {p}); 12 od; 13 returnB,R end EnlargePlanar

17. Conclusiones Se probó un gran conjunto de problemas test standard y en la mayoría de ellos la nueva heurística iguala o mejora los resultados anteriores. En algunos casos encuentra soluciones óptimas antes desconocidas.