Prodotto vettoriale

1. c b θ a Prodotto vettoriale • Dati due vettori e , ilprodottovettoriale = è un vettorechegodedelleproprietàseguenti: • ilmodulodi è dato da absinθ, dove θ è l’angolo minore di 180° compreso tra e • la direzione di è perpendicolare al piano individuato da e • il verso di è calcolato mediante diverse regole

2. Regola della vite destrorsa o del cavatappi: Si orienta la vite perpendicolarmente al piano individuato dai due vettori. Si ruota la vite nel verso che corrisponde alla rotazione del primo vettore verso il secondo. Il verso di avanzamento della vite indica il verso del prodotto vettoriale c b  a

3. b a × b a a × b b a La regoladellamanodestra • Prima formulazione • Si disponeilpollicelungoil primo vettore • Si disponel’indicelungoil secondo vettore • Il verso del medioindividuail verso del prodottovettoriale • Secondaformulazione (detta da alcuniRegola di Fonzie) • Si chiude a pugno la manodestramantenendosollevatoilpollice • Le ditachiuse a pugnodevonoindicareil verso in cui il primo vettoredeveruotare per sovrapporsi al secondo in modochel’angoloθ di rotazione sia minore di 180° • Il verso del pollice individua il verso del prodotto vettoriale

4. ha come verso quello secondo il quale si deve disporre un osservatore con i piedi nel punto O d’applicazione dei due vettori affinché possa veder ruotare il vettore u in senso antiorario dell’angolo  perché si sovrapponga al vettore v . c b  a O

5. Proprietà del prodottovettoriale • Il modulo del prodottovettorialeè pariall’area del parallelogrammaindividuatodai due vettori b θ a Area (;) = a.b.senq Precisamente, si può considerare il parallelogramma avente per lati i due vettori in esame. Indicando  l’angolo convesso formato dai due vettori u,v si riconosce che l’altezza del parallelogramma relativa al lato determinato dal vettore u è data dal prodotto v*sin (confrontare la figura) per cui l’area del parallelogramma è:

6. Il prodottovettoriale è nullo se i due vettorisonoparalleli (θ=0) Il prodottovettorialegodedellaproprietàanticommutativa:

7. Prodottovettoriale in componenticartesiane Tenendo conto che i versori degli assi cartesiani sono a due a due perpendicolari fra loro, ed applicando la regola della mano destra, si hanno le seguenti relazioni: Pertanto, esprimendo i vettori in termini delle loro componenti cartesiane, si ha che:

8. y 85° 320° x O r s HALLIDAY - capitolo 3 problema 19 Due vettoriedgiacciononel piano xy. I loro moduli sonorispettivamente di 4,50 e 7,30unità, e le lorodirezionisonorispettivamente di 320° e 85° misurate in sensoantiorario dal semiassepositivodelle x. Qualisono i valoridi e ?

9. y 85° 320° α x O r s Prodotto scalare: Alternativamente, possiamo calcolare l’angolo minore di 180° fra i due vettori e sfruttare la definizione di prodotto scalare.

10. y 85° 320° x O r s Prodotto vettoriale: Alternativamente, possiamo calcolare il modulo del prodotto vettoriale con la definizione e stabilire il suo verso usando la regola della mano destra. Applicando la regoladellamanodestrasipuòverificarecheilprodottovettoriale è diretto in verso uscenterispetto al piano del foglio, e quindiconcorde con ilsemiasse z positivo