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Modélisation des données

Modélisation des données. Un langage pour décrire INVARIANT, PRE-CONDITION, EXPRESSION Concepts et notations utilisés Logique Ensembles Relations binaires et fonctions Arithmétique Suites Arbres. Logique : connecteurs. ET  (ASCII : & ) OU  (ASCII : or ) 

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Modélisation des données

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  1. Modélisation des données • Un langage pour décrire • INVARIANT, PRE-CONDITION, EXPRESSION • Concepts et notations utilisés • Logique • Ensembles • Relations binaires et fonctions • Arithmétique • Suites • Arbres

  2. Logique : connecteurs • ET  (ASCII : &) • OU  (ASCII : or)  • NON  (ASCII : not) • SI-ALORS  (ASCII : =>)  • EQUIV.  (ASCII : <=>)

  3. Logique : quantificateurs • Universel •  listeDeVariables . (P  Q) (ASCII : !) •  x,y . (x NAT  y NAT  x=quantite(y)  x≥0) • Existentiel •  listeDeVariables . (P) (ASCII : #) •  x . (x NAT x=0)

  4. Logique : prédicat = et couple • Égalité • = • ≠ (/= en ASCII). • Couple • (a,b) (en B symbole maplet |-> : a|->b)

  5. Ensemble : désignation • Extension • E={1,3,5,7,9} • Compréhension • E={x | x  Z  x>0  x<10  x mod 2 =1} • L’ensemble vide • {}

  6. Ensemble : les prédéfinis • N les entiers naturels (NATURAL en ASCII) • N* les entiers naturels non nuls (NATURAL1 en ASCII) • Z les entiers relatifs (INTEGER en ASCII) • I..J les intervalles d’entier, l’ensemble des valeurs comprises entre I et J (bornes incluses) • INT les entiers relatifs implantables : MININT..MAXINT • NAT les entiers naturels implantables : 0..MAXINT • NAT1 les entiers naturels non nuls implantables : 1..MAXINT • BOOL les booléens = {FALSE,TRUE} • bool(P) retourne le booléen résultat d’une formule FOL • STRING l’ensemble des chaînes de caractères.

  7. Ensemble : les prédicats • x  E  (: en ASCII) • E1  E2 (<: en ASCII,  notée <<:) • E1 x E2 (* en ASCII) • Produit cartésien non commutatif • a|->b ≠ b|->a • P(E)  (POW en ASCII) • Négation des prédicats par le symbole / •  devient /: en ASCII

  8. Ensembles : les opérateurs • l’union E1  E2 (\/ en ASCII) • l’ensemble des éléments appartenant à E1 ou E2 • l’intersection E1  E2 (/\ en ASCII) • l’ensemble des éléments appartenant aux deux ensembles E1 et E2 • la différence E1 - E2 • l’ensemble des éléments appartenant à E1 mais pas à E2 • choice(E) • un élément indéterminé de l’ensemble E

  9. Relations binaires: vocabulaire • r est un sous-ensemble du produit cartésien D x A de deux ensembles • D : ensemble de départ • A : ensemble d’arrivée • Soit un couple d|->a d’une relation r • a est une image de d par r • d est un antécédent de a par r

  10. Relations binaires : déclaration • r D x A ou r  P(D x A) ou r  D↔A • r est une relation de D dans A • D↔A désigne l’ensemble de toutes les relations de D vers A • D↔A = P(D x A) • noté <-> en ASCII

  11. Relations binaires : les opérateurs • Soit r D↔A • Le domaine : dom(r) • l’ensemble des éléments de D qui ont une image par r • {d | dD a.(aA  (d,a)r)} • Le co-domaine (« range ») : ran(r) • l’ensemble des éléments de A qui ont un antécédent par r • {a | aA d.(dD  (d,a)r)}

  12. Relations binaires : les opérateurs • Soit r D↔A et q  A↔C • l’inverse : r-1 (r~ en ASCII) • la relation de A↔D définie par • {(a,d) | (a,d)AxD  (d,a)  r} • la composition : r;q • la relation de D↔C définie par • {(d,c) | (d,c)DxC  a.(a  A  (d,a)  r  (a,c)  q)} • l’ensemble d’arrivée de r doit être identique à celui de départ de q • la relation identité sur un ensemble : id(D) • la relation de D↔D définie par • {(d,a) | (d,a)DxD  d=a}

  13. Relations binaires : les opérateurs • Soit r D↔A et ED et BA • la restriction de domaine : Er (<| en ASCII) • la relation incluse dans r définie par • {(d,a) | (d,a)r  d  E} ; • la co-restriction : rB (|> en ASCII) • la relation incluse dans r définie par • {(d,a) | (d,a)r  a  B} ; • l’anti-restriction : Er (<<| en ASCII) • la relation incluse dans r définie par • {(d,a) | (d,a)r  dE} • l’anti-co-restriction : rB (|>> en ASCII) • la relation incluse dans r définie par • {(d,a) | (d,a)r  aB}

  14. Relations binaires : les opérateurs • Soit rD↔A et pD↔A • L’image relationnelle : r[E] • l’ensemble des images des éléments de E par r • {a | aA d.(dE  (d,a)r)} • La surcharge : r<+p • l’écrasement de la relation par la relation p • {(d,a) | (d,a)DxA  ((d,a)p  (ddom(p)  (d,a)r))}

  15. Relations binaires : les opérateurs • Soit rD↔A et sD↔F et qA↔C • Le produit direct : rs (>< en ASCII) • la relation définie par • {(d,(a,f)) | (d,(a,f))Dx(AxF)  (d,a)r  (d,f)s} • La première projection : prj1(D,A) • la relation qui envoie chaque couple du produit cartésien de deux ensembles sur le premier élément du couple • {((d,a),j) | ((d,a),j)(DxA)xD  j=d} • La deuxième projection: prj2(D,A) • la relation qui envoie chaque couple du produit cartésien de deux ensembles sur le deuxième élément du couple • {((d,a),j) | ((d,a),j)(DxA)xA  j=a} • Le produit parallèle : s||q • la relation définie par • {((d,a),(f,c)) | ((d,a),(f,c))(DxA)x(FxC)  (d,f)s  (a,c)q}.

  16. Relations binaires • 5 opérateurs suffisent à construire tous les autres • dom -1 ; id • Exemples : • ran(r) = • Er = • r[E] = • r<+p =

  17. Fonctions : 4 caractéristiques • la fonctionnalité (->) • tout élément de l’ensemble de départ a au plus une image • la totalité (non totalité +-) • tout élément de l’ensemble de départ a au moins une image • l’injectivité (>-) • tout élément de l’ensemble d’arrivée a au plus un antécédent • la surjectivité (->>) • tout élément de l’ensemble d’arrivée a au moins un antécédent

  18. Fonctions : 8 catégories • les fonctions partielles (quelconques) D+->A • les fonctions totales D-->A • les injections partielles D>+>A • les injections totales D>->A • les surjections partielles D+>>A • les surjections totales D-->>A • les bijections partielles D>+>>A • les bijections totales D>->>A

  19. Inclusion des ensembles de relations et fonctions D↔A D+->A D-->A D+>>A D>+>A D-->>A D>->A D>+>>A D>->>A

  20. Relations et fonctions • La relation est la notion la plus générale. • La fonction est un cas particulier • En général une fonction est partielle • Une fonction totale est un cas particulier • En général une fonction a pour inverse une relation • une injection a pour inverse une fonction • Toujours essayer de mettre le « côté » le plus contraint à « gauche »

  21. Fonctions : nouveaux opérateurs • l’image fonctionnelle d’un élément : f(x) • f doit être une fonction • x doit appartenir à son domaine • fonctions abstraites (lambda expressions) : x.(xD | e) • D est le domaine de définition de la fonction • e une expression paramétrée par x définissant l’image pour tout x de D • ( noté % en ASCII)

  22. Arithmétique des entiers • Les comparateurs • <, >, ,  (<= et >= en ASCII) • Les opérateurs binaires • +, -, *, / (la division entière) • mod (le modulo) • xy (x**y en ASCII) • Les opérateurs unaires • succ, pred

  23. Arithmétique des ensembles • L’opérateur card(E) • Le nombre d’éléments d’un ensemble • Les opérateursmax(E) et min(E) • Prennent un ensemble d’entiers non vide en paramètre • Retourne l’entier le plus grand (resp. le plus petit) de l’ensemble • Les opérateurs  et  (SIGMA et PI en ASCII) • Calculent la somme (le produit) d’expressions arithmétiques • (x,y…).(P | E) • P est une formule de la logique des prédicats et E une expression arithmétique (P et E dépendant des variables x,y…) • Somme pour toutes valeurs de variables x,y… satisfaisant P des expressions E correspondants aux valeurs des variables

  24. Application à la modélisation • Description de parenté entre personnes • Personne ne peut être en même temps un homme et une femme. • Cependant on est un homme ou on est une femme. • Seules les femmes ont des époux, qui sont des hommes. • Les femmes n’ont qu’un seul époux. • Une épouse d’un homme est une femme dont cet homme est l’époux. • Les hommes n’ont qu’une seule épouse. • Les mères sont des femmes mariées. • Par définition, le père est l’époux de la mère.

  25. Formalisation • Soit un ensemble abstrait PERSONNE • On introduit les concepts homme, femme, époux, mère homme  PERSONNE femme = PERSONNE – homme aPourEpoux  femme +-> homme aPourMère  PERSONNE +->dom(aPourEpoux)

  26. Formalisation • Modéliser les concepts • aPourEpouse • aPourConjoint • personneMariée • mère • aPourPère, père • aPourParent, parent • aPourEnfant, enfant, aPourFille • aPourFrereOuSoeur, aPourFrere • aPourBeauFrereOuBelleSoeur • aPourNeveuOuNiece • aPourOncleOuTante • aPourCousin • …

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