Nestacionarno tečenje

1. Nestacionarno tečenje • Nestacionarna jednadžba kontinuiteta • Početni i rubni uvjeti • Rješavanje sustava ODJ (običnih diferencijalnih jednadžbi) • Eksplicitne vremenske integracije • Implicitne vremenske integracije • Mješovite metode • Adaptivni postupci • Testovi crpljenja

2. Deformacija vodonosnika i zbijanje • σT =const. (težina objekta ista)→smanjenje hidrauličke visine –dh rezultira • povećanjem σe(dσT = -ρgdh). Dakle: • negativni znak pokazuje da se radi o smanjenju debljine vodonosnika • Dakle, prekomjerno pumpanje prouzrokuje horizontalne gradijente, h opada, σe raste i vodonosnik se zbija. Ako se ovo zbijanje propagira sve do površine zemlje tada dolazi do pojave ("land subsidence") spuštanja tla. • Specifična zapremina vodonosnika se definira kao volumen vode kojeg jedinični volumen vodonosnika ispusti uslijed jediničnog spuštanja hidrauličke visine (potencijala).

3. Padom hidrauličkog potencijala opada tlak tekućine i raste efektivni napon σe. Ispuštena voda iz zapremine vodonosnika rezultat je dva mehanizma: • zbijanja vodonosnika uslijed povećanja σe i • uslijed opadanja tlaka tekućine p • U prvom slučaju, rezultat promjene volumena je ispuštanje vode, pa se korištenjem izraza dobiva: pri čemu je zadnja jednakost dobivena uzimanjem jediničnog volumena, VT=1, te činjenicom da je promjena efektivnog tlaka σe kontrolirana promjenom hidrauličke visine, dσe = ρgdh (jedinično opadanje hidrauličke visine rezultira sa dh=-1) Voda koja se izluči opadanjem tlaka može se pisati: pri čemu smo koristili Vv = nVU (n je porozitet) i dp = ρgd(h –z) uz jedinični volumen i jedinično opadanje hidrauličkog tlaka, dh=-1

4. specifični volumen je zbroj navedena dva mehanizma koji opisuju način ispuštanja vode iz jedinične zapremine vodonosnika: • Jedinica gornjeg izraza je [ dužina-1] što i proizlazi iz definicije SS koja kaže da je volumen vode iz jediničnog volumena vodonosnika ispušten pod djelovanjem jediničnog pada hidrauličke visine. • u vodonosniku koji je pod tlakom (npr., hidraulička visina iznad gornjeg nivoa vodonosnika) i koji ima visinu b, definiramo koeficijent zapremine sa: • S→volumen vode kojeg vodonosnik može ispustiti po jediničnoj površini i jediničnom padu komponente hidrauličke visine okomite na tu površinu • kod vodonosnika sa slobodnim vodnim licem parametar zapremine se definira kao specifična izdašnost ("specific yield"), Sy. • Sy→volumen vode kojeg vodonosnik sa slobodnim licem ispusti po jediničnoj površini kao rezultat jediničnog pada hidrauličke visine.

5. U općenitom slučaju nestacionarnog tečenja, zakon održanja mase se manifestira u tome što neto protok mase vode kroz kontrolni volumen mora biti jednak vremenskoj promjeni mase tekućine unutar volumena. Korisno je napomenuti da u bilo kojem mediju i pri bilo kojim fizikalnim procesima zakon održanja neke mjerljive veličine se riječima opisuje kao: vremenska promjena veličine jednaka je negativnoj divergenciji toka te veličine. • U podzemnoj sredini i korištenjem Darcy-evog zakona za protok vode, zakon održanja mase matematički se opisuje kao: pri čemu je SS specifična zapremina. Za gornji izraz nestacionarnog tečenja mogu se primjenjivati ista pojednostavljenja u odnosu na homogenost i izotropnost hidrauličke vodljivosti.

6. Ako pri tome još promatramo dvodimenzionalni slučaj horizontalnog vodonosnika pod pritiskom, tada jednadžba poprima slijedeći oblik: ** • gdje je S=SSb, T=Kb i b je debljina vodonosnika • rješenje opisuje polje hidrauličkog potencijala kroz horizontalnu ravninu u funkciji vremena • parametri potrebni za rješenje gornjeg izraza su koeficijent zapremine S i transmisivnost T.

7. Eksplicitna vremenska integracija 2-D nestacionarne jednadžbe tečenja • Eulerova metoda • Prostorna diskretizacija prema konačnim razlikama (MODFLOW)

8. Eksplicitna vremenska integracija 2-D nestacionarne jednadžbe tečenja • Runge-Kutta metoda • Prostorna diskretizacija prema konačnim razlikama (MODFLOW) ili elementima (Fi)

9. Fundamental Approach of Numerical Integration y = f(t), unknown yt+t, unknown yt+t, estimated y , known yt, known t, specified t

10. Example of Numerical Integration point to estimate Analytical solution to dy/dt Y0 = 10  t = 0.5

11. Euler’s Method: yt+ t≈ yt + dy/dtt analytical y(t+ t) m1 = dy/dt at yt m1 = 6*10-.007*(10)2 y = m1*t yest=yt + y y estimated y(t+ t) y yt = 10  t = 0.5

12. Runge-Kutta Example point to estimate Problem: estimate the slope to calculate y y  t = 0.5

13. Runge-Kutta Example Weighted average of > 1 slope ½ Δt Δt t estimated yt+Δt Unknown point to estimate, yt+Δt estimated yt+Δt estimated yt+Δt yt  t = 0.5

14. Runge-Kutta, 4th order Uses the derivative, dy/dt, to calculate 4 slopes (m1…m4) within Δt: These 4 slopes are used to calculate a weighted slope of the state function between t and t + Δt, which is used to estimate yt+ Δt:

15. Step 1: Evaluate slope at current value of state variable. y0 = 10 m1 = dy/dt at y0 m1 = 6*10-.007*(10)2 m1 = 59.3 y m1=slope 1 y0

16. Step 2: A) Calculate y1at t +t/2 using m1. B) Evaluate slope at y1. A) y1 = y0 + m1* t /2 y1 = 24.82 B) m2 = dy/dt at y1 m2 = 6*24.8-.007*(24.8)2 m2 = 144.63 m2=slope 2 y1  t = 0.5/2

17. Step 3: Calculate y2 at t +t/2 using k2. Evaluate slope at y2. y2 = y0 + k2* t /2 y2 = 46.2 k3 = slope 3 k3 = dy/dt at y2 k3 = 6*46.2-.007*(46.2)2 k3 = 263.0 y2  t = 0.5/2

18. Step 4: Calculate y3 at t +t using k3. Evaluate slope at y3. y3 = y0 + k3* t y3 =141.5 y3 k4 = slope 4 k4 = dy/dt at y2 k4 = 6*141.0-.007*(141.0)2 k4 = 706.9 y2  t = 0.5

19. Now you have 4 calculations of the slope of the state equation between t and t+Δt m4 = slope 4 m3 = slope3 m2 = slope 2 m1 = slope 1  t = 0.5

20. Step 5: Calculate weighted slope. Use weighted slope to estimate y at t +t weighted slope = true value weighted slope estimated value  t = 0.5

21. Conclusions Analytical • 4th order Runge-Kutta offers substantial improvement over Eulers. • Both techniques provide estimates, not “true” values. • The accuracy of the estimate depends on the size of the step used in the algorithm. Runge-Kutta Eulers

22. Eksplicitna Adamsova vremenska integracija • Adamsova metoda drugog reda • Adams-Bashforth metoda petog reda

23. Eksplicitna integracija • Nema sustava algebarskih jednadžbi • Stabilnost i točnost • Samo uvjetno stabilne; generalno se mogu opisati Courantovim brojem • Točnost se može ocijeniti samo lokalno u svakom vremenskom koraku • Točnost se procjenjuje kao razlika između rješenja dobivenog s istom metodom (n+1) i (n)-reda

24. Eksplicitna integracija • Runge-Kutta metode s jednim korakom • Adamsove metode s više koraka • Adamsove metode su stabilnije, ali traže veću memoriju i organizaciju koda zbog “pamćenja” prethodnih koraka • Krutost sustava običnih diferencijalnih jednadžbi (samo neki čvorovi traže jako male korake u odnosu na ostale, a nisu bitni za točnost rješenja)

25. Implicitna vremenska integracija 2-D nestacionarne jednadžbe tečenja • Eulerova metoda • Prostorna diskretizacija prema konačnim razlikama (MODFLOW)

26. Implicitna vremenska integracija • Zahtijevaju rješenje sustava alg. jednadžbi • Adamsove metode s više koraka zahtijevaju sustav s brojem nepoznanica jednakim brojem čvorova • Runge-Kutta metode s jednim korakom traže sustav s više nepoznanica nego čvorova • Bezuvjetno stabilne • Veća točnost za isti vremenski korak od eksplicitnih metoda

27. Mješovita vremenska integracija • Koristi informacije iz početnog i krajnjeg vremenskog koraka • Prediktor-korektor metode

28. Nestacionarno tečenje za formulaciju MKE

29. Nestacionarno tečenje za formulaciju MKE • Kapacitivna matrica, matrica provođenja i vektori desne strane (vanjskog opterećenja i rubnih dotoka na obje vrste granice)

30. Nesaturirano tečenje • Saturiranost • Hidraulička propusnost • Relativna propusnost (van Genuchten)

31. Odnos relativne hidr. propusnosti i saturiranosti vodom

32. Nesaturirano tečenje • Darcy-ev zakon tečenja • Richards-onova jednadžba nesaturiranog tečenja • Za rješavanje nesaturiranog tečenja potrebni su konstitutivni (najčešće) empirijski zakoni