ALGEBRA

1. ALGEBRA Difficoltà di apprendimento e Problemi didattici

2. Esempi di difficoltà • Non si applicano le conoscenze computazionali algebriche (anche buone…) al problem solving • Spesso le formule hanno per gli allievi significati "inventati", anche pseudo-coerenti… • Non sanno usare l'algebra come strumento per comprendere, individuare e comunicare correlazioni, svelare relazioni strutturali,… ma solo come uno strumento di "calcolo" • In ogni caso lo studente non si sente "padrone" del procedimento

3. Ciò che distingue l'algebra in modo essenziale dall'aritmetica e dalla geometria è il fatto che il suo oggetto non consiste nel trovare proprio i valori delle quantità cercate, ma nell'individuare il sistema delle operazioni da eseguire sulle quantità date per derivarne le quantità cercate, secondo le condizioni del problema. La sequenza di tali operazioni è quello che in algebra si chiama una formula; quando una quantità dipende da altre in modo che sia possibile esprimerla con una formula che contiene queste ultime, si dice allora che essa è funzione di tali quantità. Dunque si può definire l'algebra come l'arte di determinare le incognite come funzioni di quantità note o che si considerano tali. (Lagrange)

4. TRE Assi concettuali • Linguaggio naturale  Struttura simbolica • Semantica  Sintassi • Aspetto relazionale  Aspetto procedurale

5. Linguaggio naturale  Struttura simbolica • Nella scuola dell’obbligo è spesso il linguaggio a guidare il pensiero: “Se un etto di prosciutto costa 3.50 euro quanto costano 3 etti?” : 3,50 [:1] x 3 = 10,50. 2x+3=7  x= 2 . • Oltre un certo livello non funziona più: “Se 2/3 di una certa quantità sono pari a 3,50, quanto valgono 4/7 della stessa quantità ?”: 3,50 : (2/3) x (4/7) = 3. 2x+3=5x-6  x= 3 .

6. Sintassi  Semantica • Nel linguaggio naturale (e in quasi tutte le altre materie scolastiche…) il controllo semantico è essenziale e viene naturale. • In algebra è spesso la sintassi a guidare, la semantica segue ! Es. Il gioco dell’indovino • La sintassi invece è importnate, a volte permette “scoperte” che la semantica non consente Es. Il quadrato magico

7. Aspetto relazionale  Aspetto procedurale • Variabile • Costante • Incognita • Parametro... • E’ collegato alla classica differenziazione analisi  sintesi Es. Dimostrazione geometrica o algebrica che (a+b)2= a2+b2+2ab Es. Risoluzione e verifica di un’equazione.

8. Formalismo algebrico • Funzione stenografica tremila più quattromila fa settemila  3000+4000=7000 la velocità di un corpo a un dato istante t0 è pari al limite del rapporto fra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo, quando tale intervallo di tempo tende a 0 in prossimità di t0 v(t0) = s'(t0)

9. Formalismo algebrico • Funzione di sintesi e generalizzazione criteri di divisibilità, per ogni numero dispari (n2-1) è divisibile per 8, polinomio di Taylor d una generica funzione

10. Formalismo algebrico • Funzione di trasformazione partendo dalla formula Cn= Cn-1 +i Cn-1 , si ricava agevolmente per induzione che Cn=(i+1)nC0 , da cui è facile ricavare un dato in funzione dell'altro… (C0 e Cn rappresentano il capitale iniziale e quello al tempo n, dato l'interesse unitario i) formule di derivazione

11. Esempi di errori • Deviazioni nell'uso o nella verbalizzazione del formalismo (uso del segno = : per es. 75:2=37,5+12,5=50 …, limite "di" x tendente a… , sommatoria "di" x che va da… a … di…) • Errori formali (es. di segno in equazioni, prodotto, parentesi,…) • Difficoltà di direzione del lavoro risolvere x(x2+3x-5)+3(x2+3x-5)x2=0

12. Uso di una stessa lettera per indicare variabili diverse nel linguaggio naturale :"Un trapezio è equivalente alla metà di un rettangolo tale che…" o (peggio ancora) "Il numero dei divisori del numero 60 è il massimo numero di divisori fra tutti i sistemi di divisori di ogni numero minore di 100, e questa può essere stata la ragione della scelta del numero 60 come base di un sistema di numerazione…"

13. Estensione indebita di proprietà (a+b)2= a2+b2 in analogia con 2(a+b)=2a+2b, oppure similmente f(x+h)=f(x)+f(h) • Mancanza di collegamento fra una data formula o simbolo algebrico e l'oggetto rappresentato (anche nelle applicazioni alla scienza o alla fisica) • Mancanza di consapevolezza e controllo sui meccanismi di trasformazione (da qui l'incapacità di capire che due formule diverse esprimono la stessa quantità o la disponibilità a passaggi acritici e semplificazioni…)

14. Abilità algebriche “auspicabili” (1) • analizzare un'espressione algebrica per fare stime approssimative degli schemi che emergeranno nella loro rappresentazione numerica e grafica • saper eseguire confronti (argomentati…) degli ordini di grandezza per funzioni con regole del tipo k, k2,k3,…

15. Abilità algebriche “auspicabili” (2) • saper analizzare una tabella di valori o il grafico di una funzione per - interpretare condizioni enunciate verbalmente - identificare la probabile forma di un'espressione algebrica che corrisponda a tale tabella o tale grafico

16. Abilità algebriche “auspicabili” (3) • analizzare le operazioni da eseguire e predire la probabile forma del risultato (o viceversa, analizzare il risultato per individuarne la correttezza…) • determinare quale fra le diverse forme potrebbe essere la più adatta per rispondere a una certa domanda.

17. E le abilità "più basse", quelle computazionali di base?

18. Senso dell'algebra   calcolo algebrico • Non è "dimostrato" alcun rapporto diretto causa-effetto fra i due: non si se uno provochi l'altro e quale…. • E' però certo il fallimento di una pratica di non integrazione fra i due, trascurando la costruzione del senso dei simboli matematici, cioè del nesso fra segni e concetti, provocando un approccio squilibrato alla matematica.

19. Senso dell'algebra   calcolo algebrico • Puntare sul "senso", sui concetti significa sperare [troppo ?] in un adeguamento automatico del linguaggio simbolico ai concetti. • Puntare sulla prassi di calcolo significa sperare [vanamente ?] che dall'uso continuo delle competenze segniche nasca (da sé ?) un'acquisizione dei concetti retrostanti.

20. L'algebra è un codice convenzionale, ma non arbitrario, in quanto è un prodotto culturale e condiviso. La comprensione del codice algebrico coinvolge aspetti cognitivi corrispondenti ai "meccanismi di comprensione delle regole del gioco". In generale si apprende un codice convenzionale solo a livello di mediazione sociale: afferro una regola in quanto interiorizzo le funzioni di un sistema notazionale socialmente condiviso. • apprendimento di un linguaggio di programmazione o di un software • bottega d'arte rinascimentale…

21. Spunti per una “bottega algebrica” • Situazioni ricche e stimolanti usando anche una calcolatrice o un software (dato un grafico o una tabella, costruire una formula…) • Invitare a discutere la sequenza di passaggi, il loro senso,… • Provocare discussioni • Ristrutturare il "contratto didattico": non solo costruire "identità" ma "identità false", passaggi "sbagliati",…

22. Problema 1 • Si consideri un rettangolo. Come cambia la sua area se si aumenta un lato del 10% e si diminuisce l'altro del 10% ?

23. Problema 2 • È noto [in generale agli studenti…] cosa rappresenti l'equazione y=mx+n e cosa si ottenga se pongo m=2 ed n=3: la retta y=2x+3 …. Ma cosa succede se in y=mx+n pongo y=2 e x=3 ? Cosa rappresenta 2=m3+n ?

24. Problema 3 • Dimostrare che dato un numero di quattro cifre, facendo la differenza fra esso e il suo "trasposto" (quello con le stesse cifre scritte in ordine inverso), si ottiene sempre un numero divisibile per 11. • [Più in generale, dimostrare un qualunque criterio di divisibilità]

25. Problema 4 • Decidere la tariffa più conveniente per il proprio telefonino