1 / 17

MATEMÁTICAS A. CS II

MATEMÁTICAS A. CS II. Tema VI Límites y continuidad. ASÍNTOTAS. Tema 6.6 * 2º BCS. ASÍNTOTAS. Y 1. ASÍNTOTAS

clinton-dawson
Download Presentation

MATEMÁTICAS A. CS II

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. MATEMÁTICAS A. CS II Tema VI Límites y continuidad Apuntes Matemáticas 2º BCS

  2. ASÍNTOTAS Tema 6.6 * 2º BCS Apuntes Matemáticas 2º BCS

  3. ASÍNTOTAS Y 1 • ASÍNTOTAS • Se llaman asíntotas o ramas infinitas de una función racional aquellas rectas con las que la función tiende a coincidir, aproximándose a ellas tanto como queramos, en el infinito. • Asíntota vertical • Asíntota horizontal • Asíntota oblicua. 0 3 x Apuntes Matemáticas 2º BCS

  4. Mín Max Apuntes Matemáticas 2º BCS

  5. ASÍNTOTAS VERTICALES • La recta x = a es una asíntota vertical de la función f si: • Lím f(x) = ± oo • x a • Pueden ser asíntotas verticales todas las rectas x=a, donde “a” no forma parte del dominio de las funciones racionales. • EJEMPLO_1 • Sea la función f(x) = 3 / (x – 2) • En x = 2 la función no existe. • Lím f(x) = Lím ( 3 / (x – 2) = 3 / (2-2) = 3 / 0 = oo • x 2 x  2 • x = 2 es una Asíntota Vertical. Apuntes Matemáticas 2º BCS

  6. ASÍNTOTAS HORIZONTALES • La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si: • Lím f(x) = b • x ± oo • En la práctica si una función presenta asíntotas verticales y asíntotas horizontales, podemos descartar en la mayoría de los casos que presente asíntotas oblicuas. • Ejemplo_1 • Sea la función f(x) = 1 / x • Lím f(x) = Lím 1 / x = 1 / oo = 0 • x oo • La recta y = 0 es una Asíntota Horizontal. • La función f(x) = k / (x – m) , para cualquier valor real de k y de m, tendría un comportamiento similar a la del ejemplo cuando x  ± oo Apuntes Matemáticas 2º BCS

  7. ASÍNTOTAS OBLICUAS • La recta y = m.x + n es unaasíntota oblicuade la función f si: • f(x) • Lím ------ = m y Lím [ f(x) – m.x ] = n • x ± oo x x± oo • En la práctica, siempre que una función racional no presente asíntotas horizontales debemos suponer que existen asíntotas oblicuas. • Ejemplo_1 • Sea la función: f(x) = (x2 – 3) / x • f(x) x2 – 3 x2 3 • m = Lím ------ = Lím -------- = Lím ----- – ---- = 1 – 0 = 1 • x oo x x oo x2 x oo x2 x2 • n = Lím [ f(x) – m.x ] = Lím [(x2 – 3) / x - x = Lím [- 3 / x2 ] = 0 xoo xoo • La recta y = 1.x + 0  y = x es una asíntota oblicua. Apuntes Matemáticas 2º BCS

  8. OTRA FORMA DE HALLAR ASÍNTOTAS OBLICUAS • Se efectúa la división de polinomios indicada en la función: • f(x) = D(x)/d(x) • Quedando: f(x) = c(x) + r(x)/d(x) • El cociente c(x) resultante es la asíntota oblicua: y = c(x) • Ejemplo_1 • Sea la función: f(x) = (x2 – 3) / x • x2 – 3 - 3 • -------- = x + ----- ; y = x es la asíntota oblicua ; - 3 es el resto • x x • Ejemplo_3 • Sea la función: f(x) = (x2 – 5.x + 3) / (x – 1) • x2 – 5.x + 3 - 1 • ---------------- = x – 4 + -------- ; y = x – 4 es la asíntota oblicua ; - 1 es el resto • x – 1 x – 1 Apuntes Matemáticas 2º BCS

  9. Gráfica Ejemplo_1 Y 1 • x2 – 3 • f(x) = -------- • x • Límite por la derecha de 0: • x2 – 3 – 3 • lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo • x0+ x +0 • pues x vale algo más de 0. • Límite por la izquierda de 0: • x2 – 3 – 3 • lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo • x0- x - 0 0 3 x Apuntes Matemáticas 2º BCS

  10. Gráfica Ejemplo_2 Y • x2 + 3 • f(x) = -------- • x • Límite por la derecha de 0: • x2 + 3 +3 • lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo • x0+ x +0 • pues x vale algo más de 0. • Límite por la izquierda de 0: • x2 + 3 + 3 • lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo • x0- x - 0 Mín 0 3 x Max Apuntes Matemáticas 2º BCS

  11. PROBLEMA 1 • Un estudio realizado nos indica la relación que hay entre el número de p.p.m. de un alumno al estudiar mecanografía y el número de clases impartidas. • La función resultante es: • f(x) = [350.(x+1)] / (x+20), siendo x el número de clases • a) En primer lugar averigua el número de horas de academia que debes pagar para asegurarte tener 120 ppm; para 240; para 300; y para llegar a las 350. • b) Haz ahora una tabla de valores para obtener las ppm en función del número de horas de academia. No te olvides dar a la variable “x” los cuatro valores obtenidos antes. • c) Analiza las ppm obtenidas en los mayores valores dados a “x”. Incluso puedes dar algún valor más, ampliar la tabla. ¿Qué pasa con dichos valores ?. • d) Calcula el límite de la función cuando x oo, o sea cuando toma valores muy grandes. Posiblemente te dé un valor finito. ¿Qué significa? • e) Construye la Gráfica para visualizar mejor la función. ¿Lo ves?. Coméntalo. Apuntes Matemáticas 2º BCS

  12. RESOLUCIÓN • f(x) = [350.(x+1)] / (x+20), siendo x el número de clases • a) Calculamos el número de horas necesarias: • 120 = [350.(x+1)] / (x+20)  120.(x+20) = 350.x+350 • 120.x+2400 = 350.x+350  2050 = 230.x  x = 9 horas. • 240 = [350.(x+1)] / (x+20)  240.(x+20) = 350.x+350 • 240.x+4800 = 350.x+350  4450 = 110.x  x = 40 horas. • 300 = [350.(x+1)] / (x+20)  300.(x+20) = 350.x+350 • 300.x+6000 = 350.x+350  5650 = 50.x  x = 130 horas. • 350 = [350.(x+1)] / (x+20)  350.(x+20) = 350.x+350 • 350.x+7000 = 350.x+350  6650 = 0.x  x = Error (oo horas). • b) Tabla de valores: Apuntes Matemáticas 2º BCS

  13. RESOLUCIÓN • c) Análisis: • Vemos que para obtener 350 ppm necesitaríamos infinitas horas. • Y además, lo que es absurdo, al pretender pasar de 350 ppm el número de horas es negativo. • d) ¿Significa que nunca podemos llegar a las 350 ppm?. • Veamos que no, pues hay una asíntota horizontal que nos lo impide. • y = lím 350 x / (x + 10) = [oo / oo] = Dividiendo todo entre x  • x  oo • y = lim 350 / ( 1 + 10/x) = 350 / 1 = 350 • x  oo • Y como todo límite, su valor nunca puede ser alcanzado por f(x). Apuntes Matemáticas 2º BCS

  14. Parte de la gráfica que justifica un número de horas negativo al pretender pasar las 350 ppm. Nº de pulsaciones por minuto 350 35 -10 0 10 20 30 40 Tiempo en horas de clase Apuntes Matemáticas 2º BCS

  15. PROBLEMA 2 • En un laboratorio se ha obtenido la siguiente fórmula de un compuesto • y = 75.x /(x+1) • Siendo y el porcentaje de curaciones y x la cantidad en mgr de un determinado componente. • a) Averigua la cantidad necesaria del componente para obtener el 25%, el 50%, el 75% y el 100% de curaciones. • b) Representa gráficamente dicha función para poder visualizar el proceso y comprender algunas “rarezas” que te han debido salir en los anteriores cálculos. Apuntes Matemáticas 2º BCS

  16. RESOLUCIÓN • f(x) = 75.x / (x+1), siendo x la cantidad del componente en mg • a) Calculamos las cantidades necesarias: • 25 = 75.x / (x+1)  25.(x+1) = 75.x • 25.x+25 = 75.x  25 = 50.x  x = 0,50 mg • 50 = 75.x / (x+1)  50.(x+1) = 75.x • 50.x+50 = 75.x  50 = 25.x  x = 2 mg • 75 = 75.x / (x+1)  75.(x+1) = 75.x • 75.x+75 = 75.x  75 = 0.x  x = Error (oo mg) • 100 = 75.x / (x+1)  100.(x+1) = 75.x • 100.x+100 = 75.x  25.x = – 100  x = – 4 mg • b) Tabla de valores: Apuntes Matemáticas 2º BCS

  17. Parte de la gráfica que justifica un número de mg negativo al pretender pasar del 75% Porcentaje de curaciones (%) 75 50 25 -1 0 1 2 3 4 Cantidad en mg • Asíntota Horizontal: • y = lím 75.x / (x + 1) = [oo / oo] = 75 • x  oo Apuntes Matemáticas 2º BCS

More Related