SISTEMAS DE NUMERACIÓN

1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

2. Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos. En un sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que la numeración romana requiere reglas algo más elaboradas. • Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.

3. Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos: posicionales y no-posicionales: • En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el número. • En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número. • Por ejemplo, el sistema de numeración egipcio es no posicional, en cambio el babilónico es posicional. Las lenguas naturales poseen sistemas de numeración posicionales basados en base 10 ó 20, a veces con subsistemas de cinco elementos. Además, en algunas pocas lenguas los numerales básicos a partir de cuatro tienen nombres basados en numerales más pequeños.

4. Sistemas de numeración no posicionales • Estos son los más primitivos se usaban por ejemplo los dedos de la mano para representar la cantidad cinco y después se hablaba de cuántas manos se tenía. También se sabe que se usaba cuerdas con nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la coordinabilidad entre conjuntos. Entre ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos . • Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1 Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria.2 Las inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba varias líneas el poder representarlas

5. Sistemas de numeración posicionales • Artículo principal: Sistema de numeración posicional. • El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior

6. Ejemplo en el sistema de numeración decimal • Si contamos desde 0, incrementando una unidad cada vez, al llegar a 9 unidades, hemos agotado los símbolos disponibles, y si queremos seguir contando no disponemos de un nuevo símbolo para representar la cantidad que hemos contado. Por tanto añadimos una nueva columna a la izquierda del número, reutilizamos los símbolos de que disponemos, decimos que tenemos una unidad de segundo orden (decena), ponemos a cero las unidades, y seguimos contando. • De igual forma, cuando contamos hasta 99, hemos agotado los símbolos disponibles para las dos columnas; por tanto si contamos (sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de la derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas). Pero la columna de la izquierda ya ha agotado los símbolos disponibles, así que la ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna (centena). Como resultado nos queda que 99+1=100.

7. sistema binario • En ciencias e informática, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifrascero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).

8. Decimal a binario • Se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente hasta que el dividendo sea menor que el divisor, 2. Es decir, cuando el número a dividir sea 1 finaliza la división.A continuación se ordenan los restos empezando desde el último al primero, simplemente se colocan en orden inverso a como aparecen en la división, se les da la vuelta. Éste será el número binario que buscamos. • 131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1 65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1 32 dividido entre 2 da 16 y el resto es igual a 0 16 dividido entre 2 da 8 y el resto es igual a 0 8 dividido entre 2 da 4 y el resto es igual a 0 4 dividido entre 2 da 2 y el resto es igual a 0 2 dividido entre 2 da 1 y el resto es igual a 0 1 dividido entre 2 da 0 y el resto es igual a 1 -> Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011

9. Binario a decimal • Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente: • Inicie por el lado derecho del número en binario, cada cifra multiplíquela por 2 elevado a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0, 20). • Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

10. El sistema numérico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado como Hex, no confundir con sistema sexagesimal) es un sistema de numeración que emplea 16 símbolos. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que un byte representa valores posibles, y esto puede representarse como • que, según el teorema general de la numeración posicional, equivale al número en base 16 , dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente —permiten representar la misma línea de enteros— a un byte.

11. Octal a decimal Conversión • Los ocho primeros dígitos de números decimales de 0 a 7 destinados al sistema numérico Octal.Por lo tanto, la base del sistema numérico octal es representada por 8. El sistema numérico decimal utiliza 10 números de 0 a 9. Por lo tanto, la base de números decimales está representada por 10. En ciertas operaciones, Octal a Decimal conversión número es necesario entender las operaciones por los seres humanos. El siguiente ejemplo permite que entienda cómo convertir un número decimal equivalente al número octalEjemplo: Convierte el número Octal 143 a su equivalente decimal= 1 x 82 + 4 x 81 + 3 x 80= 1 x 64 + 4 x 8 + 3 x 1= 64 + 32 + 3= 99El número decimal equivalente es 99

12. Decimal a octal Conversión Los números decimales son el sistema de normas fácilmente comprensibles por los seres humanos. Pero los circuitos digitales opera en números binarios. En determinadas operaciones de decimal a octal conversión es necesaria. Puede ser logrará por el método de división sucesivos. El siguiente ejemplo permite usted comprende cómo convertir su número octal equivalente decimalPaso 1: Dividir el número decimal 8 entonces el cociente y el resto será 17 y 7 respectivamentePaso 2: Dividir 17 por 8 entonces el cociente y el resto será 2 y 1 respectivamentePaso 3: El cociente 2 no puede ser dividido por 8Paso 4: Para obtener el número resultante, anote el último cociente primero y los restos de un nivel inferior al nivel superiorEl número Octal equivalente es (217)8

13. En principio, dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por ello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente: • Se debe notar que A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. En ocasiones se emplean letras minúsculas en lugar de mayúsculas. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16. Por ejemplo: 3E0A16 = 3×163 + E×162 + 0×161 + A×160 = 3×4096 + 14×256 + 0×16 + 10×1 = 15882. • Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F en base 16: 1A3F en base 16 = 1*16^3 + A*16^2 + 3*16^1 + F*16^0 1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719 1A3F en base 16 = 6719 en base 10

14. Ensayemos, utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un número decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del número 1735 en base 10 será necesario hacer las siguientes divisiones: 1735 : 16 = 108 Resto: 7 108 : 16 = 6 Resto: C es decir, 12 en base 10 6 : 16 = 0 Resto: 6 De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el número en hexadecimal: 1735 en base 10 = 6C7 en base 16

15. El sistema de numeración decimal • También llamado sistema decimal, es un sistema de numeraciónposicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). • Excepto en ciertas culturas, es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método del binario o el hexadecimal

16. Sistema de Numeración Decimal • El sistema de numeración decimal incorpora una serie de reglas que permiten representar una serie infinita de números. • Sus principales características son: • Sistema en base 10, Esto quiere decir que el principio de agrupamiento de este sistema es diez, en donde cada 10 unidades se forma otra de carácter superior, la cual se escribe a la izquierda de la primera de las unidades. Esto es ilustrado en el ábaco, en donde cada vez que tenemos 10 fichas en una varilla, las transformamos en una de la varilla inmediatamente izquierda y la ubicamos en ésta, con lo cual obtenemos que 10 unidades equivales a una decena, que 10 decenas equivalen a 1 centena y así sucesivamente. • Posee 10 dígitos Éstos son el: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y su combinación puede formar infinitos números. • Valor posicional y relativo de cada dígito. Esto quiere decir que dependiendo de la posición en donde se ubique cada dígito el valor que éste tendrá. Así por ejemplo, vemos que el valor del número 2 en 3.245 no es el mismo que en el 332, esto debido a que los dígitos actúan como multiplicadores de las potencias de la base. Así tenemos que en el número 3.245 el 2 se ubica en las centenas, por lo que su valor posicional será de 2*100, es decir 200. Sin embargo, en el número 332 su valor equivaldrá a la multiplicación de 2*1, es decir 2, ya que el 2 se encuentra en la posición de las unidades. Por otro lado, si recordamos cuál es el valor de cada base tendremos: