Valori Medi

1. Valori Medi

2. LE MEDIE • La media aritmetica • La media geometrica • La mediana • La moda • I percentili

3. Introduzione Medie di posizione non richiedono operazioni algebriche sulle modalità- Moda- Mediana- Quantili calcolate con operazioni algebriche sulle modalità, richiedono dei caratteri quantitativi Media aritmetica- Media armonica - Media geometrica - Media quadratica Medie analitiche

4. La media aritmetica è quel valore che sostituito alle singole osservazioni ne lascia inalterata la SOMMA

5. La Media Aritmetica Tempo impiegato per raggiungere il posto di lavoro (23+32+44+21+36+30+28+33+45+34+29+31)/12 = =386/12 = 32,17 (22+24+22+33+26+31+24+28+32+31+37+24)/12 = 334/12 = 27,83

6. Media aritmetica La media aritmetica di un insieme di n valori x1, x2, … xn di un carattere quantitativo X è data da: Se il carattere X è quantitativo discreto e conosciamo la sua distribuzione di frequenza:

7. Esempio Esempio 1. In un campione di 30 studenti si rileva il voto di maturità. Si riporta la distribuzione di frequenze assolute:

8. Valore centrale della classe Nel caso di una distribuzione di frequenze per un carattere X suddiviso in classi, possiamo approssimare la media utilizzando il valore centrale della classe cj

9. Esempio Prezzi di farmaci e quantità acquistate da un ospedale = 1405/40 = 35.72 € (a confezione) (approssimato)

10. Media aritmetica ponderata La media aritmetica ponderata di un insieme di n valori osservati di un carattere quantitativo X con pesi non negativi, è data da:

11. Considerazioni • La Media aritmetica dipende da tutti i valori osservati e quindi risente dei valori estremi (valori anomali); • La Media aritmetica sintetizza la distribuzione di un carattere con un solo valore; .

12. Proprietà della media aritmetica • La somma dei valori osservati è uguale al valore medio moltiplicato per il numero di unità ; 2) La somma delle differenze tra i valori e la loro media aritmetica, è pari a zero; 3) La somma degli scarti al quadrato dei valori da una costante c è minima quando c è uguale alla media aritmetica; 4) Se un collettivo viene suddiviso in L sottoinsiemi disgiunti, allora la media aritmetica generale si può ottenere come media ponderata delle medie dei sottoinsiemi con pesi uguali alle loro numerosità.

13. Proprietàdella media aritmetica 5) E’ associativa x1+ (x2+x3)=(x1+x2).+x3 7) È invariante per traslazioni, cioè per cambiamentidell’origine: x1, x2….xkM=  x1+b, x2+b,….xk+b M=  + b 8) È invariante per cambiamentidell’unitàdimisura: x1, x2….xkM=  x1b, x2b,….xkb M=  b 9) la media è sempe un valorecompresotrailvaloreminimo e massimodelladistribuzione;

14. La media geometrica è quel valore che sostituito alle singole osservazioni ne lascia inalterato il PRODOTTO

15. La media geometrica calcolo sulla distribuzione unitaria calcolo sulla distribuzione di frequenze

16. Proprietà della media geometrica 1) 2) Un modo semplice per calcolare la media geometrica si ottiene dalla proprietà 2)

17. Valori medi La media geometrica può essere anche calcolata anche ricorrendo ai logaritmi, essendo equivalente alla quantità: PROPRIETA’ • La media geometrica è non superiore alla media aritmetica (Mg≤M) • E’ non esterna all’intervallo (x1, xk), ossia compresa tra il valore minimo e massimo della distribuzione • Non è invariante per le traslazioni • E’ invariante per cambiamenti dell’unità di misura: x1, x2….xk Mg=  x1b, x2b,….xkb Mg=  b con b>0

18. Esempio: i numeri Indice • A base fissa: consentono di confrontare tutte le osservazioni di una serie storica ( o geografica) con un’unica osservazione di riferimento • La variazione relativa= I-1 Per calcolare la variazione media nel periodo 2000-2008 occorre calcolare la Mg degli 8 indici a base fissa

19. Esempio: i numeri Indice • A base mobile: consentono di confrontare ciascuna osservazione di una serie storica ( o geografica) con la precedente, assunta come osservazione di riferimento • La variazione relativa= I-1 Per calcolare la variazione annuale media nel periodo 2000-2008 occorre calcolare la Mg degli 8 indici a base mobile

20. La Mediana E’ la modalità presentata dall’unità centrale del collettivo. Essa divide il collettivo in due sottoinsiemi di uguale numerosità: uno con modalità di ordine più basso e l’altro con modalità di ordine più alto. Il calcolo della mediana è possibile solo per caratteri quantitativi o qualitativi ordinabili.

21. Esempio Si ipotizza che tutte le unità di ogni classe siano equidistribuite al’interno della classe Esempio 2. Distribuzione secondo la spesa delle Unità sanitarie. Calcolare la spesa media Tuttavia si perde informazione M = 108.087 : 22.468 = 4,81 mila reddito medio

22. Esempio Non è necessaria nessuna ipotesi, perché si conosce l’ammontare totale della classe Esempio 2 bis. Distribuzione secondo il reddito dei dichiaranti dei redditi percepiti. Calcolare il reddito medio Il valore del reddito medio è più preciso M= 106.383 : 22.468 = 4,73 mila diverso dal reddito medio calcolato nell’es. 2

23. Esempio

24. Distribuzione per classi di valori Mediana Distribuzione per classi di valori del carattere osservato (classi della stessa ampiezza). Si può individuare la classe mediana oppure ipotizzando la distribuzione uniforme all’interno dell’intervallo si calcola il valore puntuale della mediana. Quindi: Dove x(r) e x(r+1) sono gli estremi inferiore e superiore della classe mediana ed nr la frequenza assoluta della classe mediana. Se N è pari, si deve sostituire a (N+1)/2 una volta N/2 e una volta (N/2+1) e poi fare la semisomma dei due valori mediani. L’ultimo termine della formula rappresenta la frequenza cumulata della classe che precede la classe mediana.

25. Distribuzione per classi di valori Con la proporzione: Equivale alla formula: .23 .50 .63 70 Me 80

26. Moda • La moda di un collettivo è quella modalità del carattere alla quale è associata la massima frequenza. Se la distribuzione è per classi di valori del carattere osservato (tutte della stessa ampiezza) la classe modale è quella con la maggiore frequenza. Se le classi hanno diversa ampiezza, si divide la frequenza per l’ampiezza della classe e si sceglie il valore massimo dei quozienti ottenuti, detti densità di frequenza • Se la distribuzione presenta una sola moda, è detta unimodale. Se vi sono due mode è detta bimodale, se ve sono tre è trimodale,… • La moda può essere individuata anche graficamente. Ad es.: in un grafico a colonne o a nastri, la colonna più alta o il nastro più lungo individua la moda della distribuzione.

27. Considerazioni sulla moda • La moda fornisce informazioni solo su una modalità del carattere; • La moda dipende solo dalle frequenze; • La moda acquista validità solo se vi è una netta prevalenza di una modalità/intensità; • La moda si calcola su tutti i tipi di caratteri;

28. La moda La moda è la modalità prevalente del carattere

29. Distribuzione uni-modale

30. Distribuzione bi-modale

31. Calcolo della moda ES. Distribuzione per classi Si sceglierà il valore max tra le densità di frequenza. La classe modale è 6-10 anni

32. Quantili Quantili Un quantile-p, dove p[0,1] è quel valore che divide una distribuzione statistica in p parti uguali, ognuna delle quali contiene la p-esima parte della numerosità della distribuzione totale E’ un numero più grande del 100 x p % dei valori osservati e più piccolo del restante 100 (1-p) %. Es. Un quantile di 0,1 deve essere un valore che lascia a sinistra il 10% delle osservazioni e a destra il rimanente 90%

33. Quantili • Se p= 4 Quartili: dividono la distribuzione in quattro parti uguali • Se p=10 Decili: dividono la distribuzione in dieci parti uguali • Se p=100 Percentili: dividono la distribuzione in cento parti uguali In generale si definisce -percentile quel valore a destra del quale cade (1- )% dei casi e a sinistra l’ % dei casi. (p=0,01, 0,02…..0,99) • La mediana si può considerare il 2° quartile e il 50° percentile. Quartili Le quattro distribuzioni individuate dai quartili contengono ognuna il 25% della numerosità totale. Così il 1° quartile contiene il 25% e la distribuzione rimanente è il 75% del totale

34. Capacità di informazione delle medie Tutte le medie sono capaci di fornire la stessa quantità di informazione sulla distribuzione o la capacità informativa è diversa da una media all’altra?

35. Cautela nell’utilizzo della mediana La mediana non va bene quando la differenza tra due popolazioni è rilevante proprio nel centro della distribuzione ordinata delle modalità

36. Il box plot Q3+1.5IR 3° quartile mediana 1° quartile Q1-1.5IR

37. Il box plot è un grafico caratterizzato da tre elementi principali:1. Una linea o un punto, che indicano la posizione del centro della distribuzione (mediana);2. Un rettangolo (box) la cui altezza indica la variabilità dei valori “prossimi” alla media (IR= terzo quartile-primo quartile);3. Due segmenti (baffi) che partono dai lati minori del rettangolo e che terminano in corrispondenza del più piccolo e del più grande valore non outlier.4. Dei punti, detti outliers, che giacciono 1,5*IR al di sotto del primo quartile e 1,5*IR al di sopra del terzo quartile

38. Rapporti statistici 1. di composizione: esprimono il rapporto tra la quantità relativa ad una modalità e l’ammontare complessivo. Si applica alle distribuzioni di quantità 2. di coesistenza: esprime il rapporto tra la frequenza (quantità) relativa ad una modalità e la frequenza (quantità) relativa ad una altra modalità. Esempio: rapporto di mascolinità Pm/Pf*100; indice di vecchiaia P>=65/P<=14*100 3. di derivazione o tasso: numero di casi di un evento che si verifica in un determinato periodo di tempo rapportato alla popolazione totale di quel periodo. Esempi: tasso di mortalità M/P*1000; quoziente di natalità N/P*1000; tasso di abortività ab/P*1000; tasso di mortalità infantile M0-365/NV*1000