Departamento de Física Teórica II. Universidad Complutense de Madrid

Departamento de Física Teórica II. Universidad Complutense de Madrid Naturaleza del mesón escalar más ligero y su Dependencia con Nc en Teoría de Perturbaciones Quiral Unitarizada a dos loops Guillermo Ríos y José R. Peláez Phys. Rev. Lett. 97: 242002 (2006)

Introducción Ruptura espontánea de la simetría quiral El único caso de RES en altas energías donde hay datos La σ tiene los mismos números cuánticos que el vacío. Juega un papel importante en la ruptura de simetría (en el LσM sería el equivalente al “Higgs” en QCD) Espectroscopía hadrónica Los hadrones se clasifican en multipletes de SU(3)V Glueballs. Se esperan en el canal de la σ QCD: Teoría gauge no abeliana Muchas resonancias escalares. Difíciles de clasificar Nonete de naturaleza ordinaria ~ 1.2 – 1.5 GeV Paradigma emergente Nonete de distinta naturaleza (extraordinarios) ~ 0.4 – 0.8 GeV

Introducción Naturaleza espectroscópica del mesón σ Teoría de Perturbaciones Quiral (ChPT) Teoría efectiva de QCD a bajas energías Unitarización. Método de la Amplitud Inversa. Resonancias Dispersión de piones. Resonancias ρ y σ Expansión en el número de colores de QCD Definición de estados Evolución de los polos con Nc Confirmación de resultados previos a O(p4) Naturaleza de la σ no Cálculo a O(p6) Consistencia con el O(p4). Componente subdominante

QCD y simetría quiral Ruptura espontánea de la simetría quiral QCD no perturbativa a energías bajas → Recurrimos a una teoría efectiva basada en sus simetrías El lagrangiano de QCD (sin masas) es invariante bajo las transformaciones quirales SU(Nf)Lx SU(Nf)R. La masa de los quarks u y d es suficientemente ligera como para tratarla como una perturbación No se encuentra la degeneración esperada en el espectro hadrónico Teorema de Goldstone→ Existen tantos bosones sin masa como generadores espontáneamente rotos En este caso los bosones de Goldstone son los tres piones, que adquieren una pequeña masa al no ser las masas del u y d nulas, pero siguen siendo los grados de libertad más ligeros de la teoría

Teoría de Perturbaciones Quiral (Weinberg, Gasser & Leutwyler) Los piones son los grados de libertad relevantes a baja energía Construimos con ellos el lagrangiano efectivo más general posible compatible con las simetrías de QCD Los observables calculados a partir de él son una expansión en masas y momentos de los piones sobre la escala típica de ruptura de simetría (4πFπ)2, denominada O(p2), O(p4) etc… Válido a energías bajas (~ 100 MeV por encima del umbral) A cada orden aparecen unas constantes que parametrizan el efecto de grados de libertad más pesados y cuyo valor no está determinado por la simetría Orden dominante: Fπ , Mπ O(p4): l1…l7 (para ππ scattering sólo l1…l4) O(p6): para ππ scattering r1…r6 Low Energy Constants (LECs)

donde tk ~ O(pk) , , El método de la amplitud inversa (IAM)(Truong, Dobado, Herrero, Peláez) Las ondas parciales calculadas con ChPT son una expansión en p2 por lo que cumplen la condición de unitariedad sólo de forma perturbativa De la condición de unitariedad exacta sabemos que Sustituyendo Re t-1 por su aproximación en ChPT y usando la unitariedad perturbativa obtenemos las ondas parciales del IAM O(p6): O(p4):

Método de la amplitud inversa Satisface la condición de unitariedad de forma exacta Se recupera el desarrollo quiral a bajas energías Extiende el rango de aplicabilidad hasta ~ 1 GeV Se generan polos asociados a resonancias anteriormente no presentes en ChPT. En dispersión de piones encontramos la ρ(770) y la f0(600) o σ Im t00 Im t11

Nos proporciona una definición de estados La expansión en 1/Nc(t’Hooft, Witten) Generalizar QCD a Nc colores. Para Nc grande la teoría se simplifica. La dependencia de ChPT con Nc se implementa a través de las LECs (dependen de Nc). Al orden dominante su dependencia es independiente del modelo Gasser & Leutwyler nivel árbol: Mπ ~ O(1) , Fπ ~ O(√Nc) O(p4):li ~ O(Nc) O(p6):ri ~ O(Nc2)

Definición clara de estados Podemos comparar el comportamiento con Nc de la masa y anchura de las resonancias obtenidas con el IAM con el de de un estado Esto es relevante cerca de Nc=3. Sólo los estados sobreviven en Nc→ ∞. Para Nc suficientemente grande cualquier mínima mezcla con qq se hará dominante pero esto no proporciona información sobre la componente dominante del estado físico en Nc=3 Conexión con QCD a través de Nc ChPT Unitarizada Con el IAM Expansión en 1/Nc de QCD Generación de resonancias Dependencia de ChPT con Nc Evolución con Nc del polo de las resonancias generadas con el IAM

Resultados previos con el IAM con canales acoplados en SU(3)(Peláez PRL92(2004)) Estados :

Cuestiones abiertas Hay una cancelación entre t2 y t4 Los términos de loops son subdominantes en Nc t2 ~ O(1/Nc) , Si los términos de loops son poco importantes a Nc=3, 1/Nc factoriza y la solución (parte real) es independiente de Nc M ~ O(1) t4árbol ~ O(1/Nc) t4loops~ O(1/Nc2) escalares: su masa crece con Nc (cerca de Nc=3) los términos de loops juegan un papel importante en Nc=3 t4 = Términos de loops suprimidos 1/Nc para algún Nc se harán más pequeños que términos de O(p6). ¿Pueden estos términos O(p6) afectar Los resultados a O(p4)? Con el IAM a O(p4) se generan polos en las amplitudes Esto sugiere que hay una cancelación que hace que t4loopsgane importancia. ¿Es debida a un ajuste fino de las LECs?

Cuestiones abiertas En este trabajo se estudia la dispersión de piones con UChPT en SU(2), donde se encuentran los polos de la ρ y la σ Presentaremos un método para cuantificar como de cerca está el comportamiento con Nc de una resonancia al de un Variando generosamente las LECs comprobaremos los resultados a O(p4): ρ , σ no . No ajuste fino de las LECs Comprobaremos los resultados a O(p6). Parecen revelar una componente subdominante en la σ.

Cuantificando cuanto una resonancia es qq El escaleo M ~ O(1), Γ ~ O(1/Nc) sólo es el orden dominante. Teniendo en cuenta órdenes subdominantes, una resonancia se puede considerar si Se pueden calcular las M y Γesperadas a algún Nc a partir de sus valores En Nc-1 (tomando las contribuciones subdominantes como incertidumbres) Si la resonancia es principalmente , χ2qq~ 1 Construimos la siguiente función χ2qq Si la resonancia NO es principalmente , χ2qq >> 1 Minimizando χ2qqpodemos forzar el comportamiento qq a las resonancias Podemos saber a partir de que Nc una resonancia empieza a comportarse como

I = 1 , J=1 I = 0 , J=0 ( º ) phase shift ( º ) I = 2 , J=0 (MeV) s1/2 (MeV) phase shift ( º ) Comprobación del O(p4) Ajuste a datos: χ2data = 1.1 s1/2 (MeV)

Comprobación del O(p4) De nuevo encontramos la ρ como y la σ como no ρ σ

Para ver si este resultado es debido a un ajuste fino de las LECs intentamos forzar la σ a un . Incluso intentándolo no conseguimos que la σ se comporte como un . χ2qq,σ= 125 Los datos se ajustan peor χ2data = 1.4 El resultado “σ no ” no es debido a un ajuste fino de las LECS Comprobación de los resultados a O(p4) Realizamos un ajuste a los datos minimizando a la vez χ2qq para la σ

Cálculo a O(p6) A O(p6) hay 6 parámetros más. Tenemos mucha libertad y encontramos algunos conjuntos de LECs con los que la ρ no se comporta como Sabemos que la ρ si es un mesón . Los resultados obtenidos sólo serán válidos si a la vez reproducimos la naturaleza de la ρ Cálculo a O(p6) de ππ scattering en ChPT disponible en la literatura Bijnens et al. PLB374(1996) En el ajuste minimizamos también χ2qq,ρ para imponer el comportamiento correcto de la ρ

Calculo a O(p6) I = 1 , J=1 I = 0 , J=0 χ2data = 1.1 χ2qq.ρ = 0.93 χ2qq.σ= 15 ( º ) Imponiendo la Naturaleza a la ρ obtenemos una σ no phase shift ( º ) I = 2 , J=0 (MeV) s1/2 (MeV) phase shift ( º )

Cálculo a O(p6) Cerca de Nc = 3 obtenemos resultados similares a los de O(p4) M se hace constante ~ 1GeV Γ empieza a decrecer comportamiento El cálculo a O(p6) parece revelar una componente subdominante de la σ con una masa de 2.5M3~1.2GeV A mayor Nc los términos O(p6) se hacen más importantes que los diagramas con loops O(p4)

Cálculo a O(p6) A O(p6) encontramos un comportamiento para la ρ(χ2qq.ρ = 0.93) Al mismo tiempo encontramos que la componente dominante de la σ es no (χ2qq.σ = 15 , M y Γ crecen con Nc cerca de Nc =3 de la vida real) Una componente subdominante aparece a mayor Nc con una masa alrededor de 1.2 GeV. Precisamente en la zona del hipotético multiplete

Cálculo a O(p6) ¿Podémos encontrar un conjunto de LECs que hagan que esta componente se haga dominante? Obtenemos un peor ajuste a los datos, χ2data = 1.4 Hacemos un ajuste minimizando χ2qq,σ estropeamos la naturaleza de la ρ, χ2qq.ρ= 2.0 Aun así enontramos χ2qq,σ = 3.5 Con el cálculo a O(p6) no se puede obtener una componente dominante para la σ

Cálculo a O(p6) ¿Cómo de grande puede ser la componente subdominante de la σ sin estropear la naturaleza de la ρ? El comportamiento de la ρ empeora un poco χ2qq,ρ = 1.3 Ajustamos minimizando ambasχ2qq,ρyχ2qq,σ. La σ no se comporta predominantemente como un qq (χ2qq,σ = 4) pero empieza a hacerlo (χ2qq,σ ~ 1) a partir de Nc = 6 La componente de la σ se hace dominante en el caso más favorablepara Nc>6

Hemos presentado un método para determinar cuantitativamente como de cerca está el comportamiento con Nc de una resonancia al de un Lo hemos aplicado a los polos generados con ChPT en SU(2) unitarizada con el IAM confirmación de los resultados previos a O(p4) . ρ es y σ predominantemente no . Este resultado no es debido a un ajuste fino de las LECs Extensión a O(p6) confirmando la estabilidad del resultado a O(p4) y mostrando que una posible mezcla con una componente subdominante alrededor de 1.2 GeV para la σ pudiera existir, precisamente donde se localiza el hipotético nonete ordinario Esta componente subdominante se haría dominante en el caso más favorable alrededor de Nc > 6, pero nuestro ajuste principal sugiere una supresión aun mayor Conclusiones

Gracias!

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