Diskrete Mathematik

1. Diskrete Mathematik Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik steger@inf.ethz.ch TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAAAAAAAAA

2. Kapitel 2: Graphentheorie

3. Hamiltonkreise & Eulertouren Betrachte einen Graphen G=(V,E): Hamiltonkreis: Ein Hamiltonkreis ist ein Kreis, der jeden Knoten des Graphen genau einmal enthält. Eulertour: Eine Eulertour ist ein geschlossener Weg, der jede Kante des Graphen genau einmal enthält.

4. Hamilton The Icosian Game : Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865), Irischer Mathematiker, Physiker und Astronom.

5. Hamiltonkreis - Beispiele kein Hamiltonkreis …

6. NP-Vollständigkeit Karp (1972) Das Problem Gegeben ein Graph G=(V,E), enthält G einen Hamiltonkreis? ist NP-vollständig. P= effizient entscheidbare Probleme NP= (einseitig) effizient verifizierbare Probleme P = NP→ 1 Million US-$ (Clay-Foundation) ?

7. Hamiltonkreise im Gitter Gibt es einen Hamiltonkreis? Nein!

8. Hamiltonkreise im Gitter Satz: Ein n x m Gitter enthält genau dann einen Hamiltonkreis, wenn nm gerade ist.

9. Hamiltonkreise & Eulertouren Betrachte einen Graphen G=(V,E): Hamiltonkreis: Ein Hamiltonkreis ist ein Kreis, der jeden Knoten des Graphen genau einmal enthält. Eulertour: Eine Eulertour ist ein geschlossener Weg, der jede Kante des Graphen genau einmal enthält.

10. Euler Euler-Gedenktafel in Riehen Leonhard Euler (1707 - 1783)

11. Königsberger Brückenproblem Gibt es einen Spaziergang, bei dem jede Brücke genau einmal verwendet wird?

12. Eulertour Definition: Ein Graph G=(V,E) heisst eulersch, wenn es eine Eulertour gibt, d.h. einen Weg, der jede Kante des Graphen genau einmal enthält und dessen Anfangs- und Endknoten identisch sind. Satz: Für einen zsghd. Graph G=(V,E) gilt: G eulerschÜÞalle Knoten haben geraden Grad

13. Kapitel 2.5: Graphen und lineare Algebra, Gerichtete Graphen

14. Adjazenzmatrix Für einen Graphen G=(V,E) ist die Adjazenzmatrix AG definiert durch: Beispiel:

15. Adjazenzmatrix - Eigenschaften • AG ist symmterisch. • AG hat Nullen auf der Hauptdiagonalen Satz: Der Eintrag aijk der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Matrix AGk zählt genau die Anzahl Wege der Länge (genau) k in G von i nach j. [Annahme: V = {1,…,|V|}.]

16. Anzahl Wege - Beispiel

17. Gerichtete Graphen Definition: Ein gerichteter Graph, auch Digraph, ist ein Tupel D=(V,A), wobei V eine (endliche) Menge von Knoten ist und A Í V x V eine Menge von gerichteten Kanten (engl. arcs).

18. Gerichtete Graphen Definitionen: gerichteter Graph D=(V,A), vV • Aus-Grad: deg-(v) = | {xV | (v,x)  A } | • Ein-Grad: deg+(v) = | {xV | (x,v)  A } | Satz: Für jeden gerichteten Graphen D=(V,A) gilt:

19. Gerichtete Graphen • gerichteter Weg … • gerichteter Kreis … • zugrundeliegender ungerichteter Graph … • schwach zshgd ÜÞzugrundeliegender Graph zshgd. • stark zshgd ÜÞ " x,y ÎV : $ gerichteter x-y-Pfad

20. Zusammenhang

21. Beispiel Betrachten Folgen der Länge n über dem Alphabet {0,1}, die keine zwei aufeinanderfolgende Einsen enthalten: