Diskrete Mathematik

Diskrete Mathematik Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik steger@inf.ethz.ch TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAAA

Kapitel 2: Graphentheorie

Szenario Gegeben: Flugplan einer Airline Aufgabe: Schreibe ein Programm, das Anfragen der Form „Kann man von A nach B mit höchstens einmal umsteigen gelangen?“ beantwortet.

Modellierung etc.

Graph Ein Graph G ist ein Tupel (V,E), wobei V eine (endliche) nichtleere Menge von Knoten ist. Die Menge E ist eine Teilmenge der zweielementigen Teilmengen von V, also E ⊆ { {x,y} : x,y V, x≠y}. Die Elemente der Menge E bezeichnet man als Kanten.

Einige spezielle Graphenklassen (I) • Vollständiger Graph Kn • Kreis Cn • Pfad Pn K5 #edges(Kn) = n(n-1)/2 C6 #edges(Cn) = n P4 #edges(Pn) = n #vertices(Pn) = n+1

Einige spezielle Graphenklassen (II) • Vollständiger bipartiter Graph Kn,n • Hyperwürfel Qd K3,3 Q3

Nachbarschaft, Grad Definitionen: Graph G=(V,E), vV • Nachbarschaft: G(v) = {uV | {u,v}E } • Grad: deg(v) = | G(v) | • G heisst k-regulär, wenn deg(v)=k "vV • Sprechweise für e={u,v}E: - u und v sind adjazent, und - u und e sind inzident.

Drei einfache Resultate • Für jeden Graphen G=(V,E) gilt: S deg(v) = 2 |E|. vÎV • In jedem Graphen G=(V,E) ist die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad gerade. • In jedem Graphen G=(V,E) gibt es einen Knoten v mit Grad deg(v) £ 2|E|/|V| und einen Knoten v’mit Grad deg(v‘) ³ 2|E|/|V|.

Summe der Grade Lemma: Für jeden Graphen G=(V,E) gilt S deg(v) = 2 |E| vÎV Beweis: „Doppeltes Abzählen“

Anzahl Knoten mit ungeradem Grad Korollar: Für jeden Graphen G=(V,E) gilt: Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist gerade. Beweis: Wir haben eben gezeigt: S deg(v) = 2 |E| vÎV Ein Summe von ganzen Zahlen ist aber genau dann gerade, wenn die Anzahl ungerader Summanden gerade ist.

Durchschnittsgrad Aus S deg(v) = 2 |E| folgt: vÎV Der Durchschnittsgrad ist 2|E| / |V|. Korollar: Für jeden Graphen G=(V,E) gilt: Es gibt Knoten v, v‘ mit deg(v) £ 2|E|/|V| und deg(v‘) ³ 2|E|/|V|.

Wege, Pfade, Kreise Definition: Sei G=(V,E) Graph • Ein Weg in G ist eine Folge (v0,…,vn) mit {vi,vi+1}E • Ein Pfadin G ist eine Folge (v0,…,vn) mit {vi,vi+1}E und vi¹vj • Ein Kreis in G ist eine Folge (v0,…,vn) mit {vi,vi+1}E und vi¹vjund {v0,vn}E und n³2 Einen Weg (Pfad) mit Anfangsknoten u und Endknoten v nennt man u-v-Weg (u-v-Pfad).

Wege, Pfade, Kreise - Beispiele (a,c,d,c,b) ist ein a-b-Weg (a,c,b) ist ein a-b-Pfad (a,c,b) und (f,g,i,h) sind Kreise der Länge 3 bzw 4

Wege vs. Pfade Lemma Beweisidee: Auslassen von Umwegen!

Teilgraphen Definition: Sei G=(VG,EG) Graph. Gilt VHÍ VG und EHÍ EGso nennt man H = (VH,EH) einen Teilgraphen von G. Gilt sogar EH = EGÇ( ) so nennt man H einen induzierten Teilgraphen von G. VH 2

Teilgraphen - Beispiele G:

Teilgraphen - Sprechweise Sind G=(VG,EG) und H = (VH,EH) zwei Graphen. So sagt man, dass G den Graphen H enthält, wenn es eine Teilmenge V‘ Í VG gibt und eine Bijektion φ: V‘ → VH so dass {x,y} ÎEHÞ {φ(x), φ(y)} ÎEG

Teilgraphen - Beispiel … enthält Kreise der Länge 3, 5 und 6; aber keinen Kreis der Länge 4.

Zusammenhang Definition: Sei G=(V,E) Graph • G heisst zusammenhängend, wenn für alle u,vV ein u-v-Pfad existiert. • Die zusammenhängenden Teile von G heissen seine Komponenten.

Zusammenhang - Beispiel

Eigenschaften Lemma: Jeder Graph G=(V,E) enthält mindestens |V|- |E|viele Komponenten. Beweis: Induktion über |E|: • Der Graph G0=(V, {}) besitzt |V| Komponenten. • Das sukzessive Hinzufügen von Kanten verringert die Anzahl der Komponenten jeweils um höchstens 1.

Eigenschaften Lemma: Jeder Graph G=(V,E) enthält mindestens |V|- |E|viele Komponenten. Korollar: Jeder zusammenhängende Graph G=(V,E) enthält mindestens|V|- 1viele Kanten. Beweis: Es muss gelten: |V|- |E|£ 1.

Eigenschaften Lemma:G=(V,E) zshgd. Graph, C Kreis in G Dann gilt: Ge=(V,E\e) zshgd. "eC Lemma: Sei G=(V,E) und vÎV beliebiger Knoten. Dann gilt: G zshgd.ÜÞ$ u-v-Pfadin G " uÎV Beweisidee: Betrachte die Definition von Zusammenhang! Beweis: Þ: klar Ü: Idee: für x,yÎV setze x-u-Pfad und u-y-Pfad zu einen x-y-Weg zusammen.

k-Zusammenhang Definition: Sei G=(V,E) Graph. G heisst k-zusammenhängend, wenn • |V| ³ k+1 und • "XÍV mit |X| < k gilt: G[V \ X] ist zusammenhängend Satz von Menger: Sei G=(V,E) Graph. Dann gilt: G k-zsghdÜÞ" u,v ÎV: $ kintern-knotendiskunkte u-v-Pfadein G

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