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Diskrete Mathematik II

Diskrete Mathematik II. Vorlesung 7 SS 2001. Voronoi-Diagramme, Konstruktion der Voronoi-Diagramme I. Übersicht I. Voronoi-Diagramm: Motivation Zu Beginn eine interaktive Animation Voronoi-Diagramm Anwendungen Konvexe Menge, konvexe Hülle Voronoi-Regionen (Polygone)

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  1. Diskrete Mathematik II Vorlesung 7 SS 2001 Voronoi-Diagramme, Konstruktion der Voronoi-Diagramme I

  2. Übersicht I • Voronoi-Diagramm: Motivation • Zu Beginn eine interaktive Animation • Voronoi-Diagramm • Anwendungen • Konvexe Menge, konvexe Hülle • Voronoi-Regionen (Polygone) • Konstruktion des Voronoi-Diagramms • Was ist der schwierigste Teilschritt? • Aufteilung der Menge P in P1 und P2 • Voronoi-Diagramm von P1 • Voronoi-Diagramm von P2 • Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge • Konstruktion des trennenden Kantenzuges Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  3. Übersicht I • Tangente • Tangente – konvexe Hülle • Konvexe Hülle • Vereinigung • Löschen der überflüssigen Segmente • Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P • Datenstruktur für Voronoi-Diagramm • Kosten • Länge des Kantenzuges im Worst Case • Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case • O(n) * O(n) = O(n2) ? • „Investitionen müssen sich amortisieren“ Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  4. Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle? Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  5. Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle? Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  6. Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle? Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  7. Zu Beginn eine interaktive Animation Quelle: Fern Universität Hagenhttp://wwwpi6.fernuni-hagen.de/Geometrie-Labor/VoroGlide/ Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  8. Voronoi-Diagramm • Gegeben ist eine Menge von n Punkten • Das Voronoi-Diagramm zerlegt die Ebene in Gebiete gleicher nächster Nachbarn • Die Voronoi-Region eines Punktes p enthält alle Punkte q, die näher an p als an jedem anderen Punkt p‘ liegen • Das Voronoi-Diagramm wird gebildet aus den Voronoi-Regionen und ihren begrenzenden Voronoi-Knoten und –Kanten Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  9. Anwendungen • Kollisionsproblem: welche 2 Punkte haben den kleinsten Abstand (Roboter, Flugzeuge, ...) • Das Filialenschließungsproblem: welches Paar von Filialen macht sich gegenseitig die größte Konkurrenz ... • Postamts-Problem: wo liegt das nächste Postamt (Krankenhaus, ...) • Einzugs- und Einflussgebiete von Versorgungsstationen (und ihre Größe) • Bewertung von Standorten • Biologie • Archäologie Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  10. Konvexe Menge, konvexe Hülle • Eine Menge P von Punkten ist konvex, wenn zu jedem Punktepaar p und q auch die verbindende Strecke pq ganz in P enthalten ist • Die konvexe Hülle CH(P) einer Punktemenge P ist die kleinste konvexe Menge, die alle Punkte aus P enthält Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  11. Voronoi-Regionen (Polygone) beschränkte Voronoi-Regionen unbeschränkte Voronoi-Regionen Übung: Die Konvexe Hülle ver-bindet die unbeschränktenVoronoi-Regionen Übung:Jede Voroni-Region ist konvex! Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  12. Konstruktion des Voronoi-Diagramms „Divide and Conquer“ • Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten • Divide: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P1 und P2 • Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von P1 und P2 • Merge: Verknüpfe die beiden in Schritt 3 gebildeten Diagramme • Halt: Der Abschluß ist erreicht, wenn das Voronoi-Diagramm eines Punktes zu bilden ist; dies ist die ganze Ebene Wie oft ist dieser Zyklus zu durchlaufen? log n mal O(n * log n)wenn „Divide“ and „Merge“ nicht mehr als n Schritte benötigen, Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  13. Was ist der schwierigste Teilschritt? • Zerlegung der Punktmenge in gleich große Teilmengen • Sortieren nach y-Koordinate • Bilden des Medians • Einfach • Offenbar der letzte Schritt: „Merge“: Konstruktion des trennenden Kantenzuges • Einfachster Fall von Merge: jede der beiden Teilmengen enthält genau einen Punkt;der trennende Kantenzug ist die Mittelsenkrechte beider Punkte Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  14. P2 P1 Aufteilung der Menge P in P1 und P2 P Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  15. Voronoi-Diagramm von P1 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  16. Voronoi-Diagramm von P2 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  17. Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  18. Konstruktion des trennenden Kantenzuges Was wissen wir über den trennenden Kantenzug? • monoton in Nord-Süd-Richtung • jede Kante ist Grenze (Mittelsenkrechte) zwischen einer roten und einer grünen Region • Problem: sukzessive Identifikation der benachbarten roten und grünen Punkte • die nördlichsten und südlichsten Teilstücke sind unbeschränkt, also Halbgeraden • die benachbarten roten und grünen Punkte bilden dort unbeschränkte Voronoi-Regionen • sie liegen also jeweils auf der roten bzw. grünen konvexen Hülle • beginnen wir also mit den beiden Tangenten Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  19. Tangente Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  20. Tangente – konvexe Hülle Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  21. Konvexe Hülle Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  22. Vereinigung Mittelsenkrechte bilden Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  23. Vereinigung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  24. Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg-menten suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  25. Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg-menten suchen Neues aktives VD Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  26. Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg-menten suchen Neues aktives VD Mittelsenkrechte zuwischenden aktiven VD Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  27. Vereinigung Schnittpunkte suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  28. Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  29. Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  30. Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  31. Vereinigung Schnittpunkte suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  32. Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  33. Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  34. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  35. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  36. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  37. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  38. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  39. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  40. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  41. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  42. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  43. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Verknüpfung mit der Mittel-senkrechten vom Anfang Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  44. Vereinigung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  45. Löschen der überflüssigen Segmente Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  46. Löschen der überflüssigen Segmente Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  47. Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  48. Datenstruktur für Voronoi-Diagramm • Doppelt verkettete Kantenliste • Durchlaufen des Kantenumrings in linearer Zeit • Direkter Zugriff auf die benachbarten Maschen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  49. Kosten • wie lange dauert die Konstruktion des trennenden Kantenzuges? • Zahl der Teilkanten / Knoten des Kantenzuges • Zahl Berechnungen von Schnittpunkten mit den benachbarten Voronoi-Regionen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

  50. Länge des Kantenzuges im Worst Case O(n) Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

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