CONTROLO 1º semestre – 2011/2012

1. Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC) Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC) CONTROLO 1º semestre – 2011/2012 Transparências de apoio às aulas teóricas Capítulo 10 – Diagrama de Bode e Relação Tempo-Frequência A definição de Função Resposta em Frequência e o traçado do diagrama de Bode consideram-se conhecimentos já adquiridos pelos alunos. As respectivas transparências incluem-se neste conjunto para o manter self-containedembora não tenham sido apresentadas nas aulas teóricas. Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

2. Resposta em Frequência • O que é o estudo da Resposta em Frequência de um SLIT? • Análise da resposta a uma entrada sinusoidal Figura retirada de Análise de Sistemas Lineares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 2001 Reprodução proibida • Resultados de um teste com um 2CV numa estrada de perfil sinusoidal, com velocidades crescentes: • Até 30Km/h as oscilações de posição do condutor e da via são semelhantes, i.e., quando o piso sobe o condutor sobe e vice-versa, • Por volta dos 70Km/h a amplitude das oscilações ao nível do condutor é muito maior do que a amplitude do perfil da via, • A 80/85Km a amplitude das oscilações é semelhante à observada a 70Km/h; no entanto, a diferença de fase é da ordem dos 180º, i.e., quando a estrada se eleva o condutor vai assento abaixo, quando a estrada vai abaixo o condutor bate com a cabeça no tejadilho, • A 150Km/h as oscilações ao nível do condutor são quase imperceptíveis, pelo que a condução se torna bastante agradável !

3. Resposta em Frequênciaconceito (revisão) y(t) r(t)=A sinw1t G(s) • entrada sinusoidal • como é a componente forçada da resposta ? Assumem-se pólos simples sem perda de generalidade resposta natural resposta forçada A resposta em frequência de um SLIT analisa a evolução da componente forçada da resposta a uma entrada sinusoidal.

4. Resposta em Frequênciaconceito (revisão) resposta natural resposta forçada G(s) – função complexa de variável complexa componente forçada da saída

5. componente forçada do sinal de saída sinal de entrada Resposta em Frequênciaconceito (revisão) • SLIT contínuo • Excitado por um sinal sinusoidal • A componente forçada da saída é ainda: • Um sinal sinusoidal com a mesma frequência • Amplitude e fase do sinal de saída relacionadas com a amplitude e fase do sinal de entrada yf(t)=A|G(jw1)|sin(w1t+argG(jw1)) r(t)=A sinw1t G(s) desfasagem • |G(jw1)| - ganho de amplitude para a frequência w1 • arg G(jw1) – desfasagem para a frequência w1

6. Função Resposta em Frequência • Função Resposta em Frequência G(jw) • Função de transferência calculada ao longo do eixo imaginário • Para sistemas causais e estáveis • A Função Resposta em Frequência é a Transformada de Fourier da Resposta Impulsional • Representação gráfica da Função Resposta em Frequência • Que funções é preciso representar ? • |G(jw)| • Arg G(jw) • Que tipo de representação • Diagrama de Bode • Diagrama de Nyquist • Diagrama de Nichols Estudo da estabilidade deSLITs em cadeia fechada

7. Diagrama de BodeAproximação assimptótica • Representação gráfica da Função Resposta em Frequência • 20 log|G(jw)| como função de w (escala logaritmica) • Arg G(jw) como função de w (escala logaritmica) exemplo função de transferência função resposta em frequência Característica de amplitude quociente de produtos de termos O diagrama de Bode (amplitude) representa soma algébrica de termos Característica de fase

8. 180º Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) função de transferência função resposta em frequência

9. Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) Recta com declive –20dB/década passando em 0dB para w=1 • Qual é o ganho estático deste sistema ? • Qual é o ganho de baixa frequência ? • Declive da assímptota ? E se o sistema tivesse dois pólos na origem ? • Qual é a componente forçada da resposta deste sistema à entrada r(t)=2sin(100t) ?

10. Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) característica de amplitude Baixa frequência assímptota de baixa frequência Alta frequência assímptota de alta frequência Recta com declive –20dB/década passando em 0dB para w=1/T característica de fase Baixa frequência Alta frequência

11. Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) T=0.5 Pólo = - 2 assimptota de alta frequência assimptota de baixa frequência 0 dB/dec - 20dB/dec 0º - 45º - 90º w=2rad/s – frequência de corte do pólo

12. Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) T=0.5 Pólo = - 2 3dB 0.2 20 2 5.71º 5.71º 0.2 20 2 Um pólo de multiplicidade 1 contribui para a fase total com um ângulo que varia, de uma década antes a uma década depois, de 0º a –90º passando a –45º na frequência de corte.

13. Ko Ko-3dB wBW w Diagrama de BodeLargura de Banda – Relação Tempo-Frequência Largura de Banda (a 3dB) • Banda de frequência na qual o módulo da função resposta em frequência não cai mais de 3dB em relação ao ganho de baixa frequência. • A Largura de Banda traduz a capacidade de um sistema reproduzir mais ou menos perfeitamente os sinais aplicados à sua entrada Num SLIT de 1ªordem, sem zeros, Largura de Banda =frequência de corte do pólo LB=2rad/s

14. Diagrama de BodeLargura de Banda – Relação Tempo-Frequência ganho estático unitário w1 w2 1/w2 1/w1 Largura de banda maior Resposta mais rápida

15. Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo duplo PERGUNTAS • Ganho estático ? • Declive da • Assimptota de baixa frequência • Assimptota de alta frequência • Fase para • Baixas frequências • Altas frequências RESPOSTAS • Ganho estático = G(s)|s=0 = 10 = 20dB • Declive da • Assimptota de baixa frequência • O sistema não tem pólos nem zeros na origem • declive = 0db/dec • Assimptota de alta frequência • # pólos - # zeros = 2 • declive = -40dB/dec = 2 * (-20dB/dec) • Fase para • Baixas frequências • Sistema é de fase mínima • Sistema não tem pólos e zeros na origem • Fase para é igual a 0º • Altas frequências • Sistema é de fase mínima • # pólos - # zeros = 2 • Fase para é igual a –180º A contribuição para a amplitude e para a fase de um pólo duplo é a soma das contribuições de dois pólos reais simples.

16. Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo duplo forma das constantes de tempo Deste modo a assimptota de baixa frequência correspondente ao pólo duplo passa em 0dB 6dB 2*5.71º -90º -180º 2*5.71º

17. Diagrama de BodeRelação Tempo Frequência Sistema 1 Sistema 2 Sistema de 2ª ordem Pólo real duplo em –5 Ganho estático = 10 Sistema de 1ª ordem Pólo real simples em –5 Ganho estático = 10 • Qual dos dois sistemas tem a maior largura de banda? • Qual dos dois sistemas é mais rápido ? Característica de amplitude junto da frequência de corte Resposta a uma entrada escalão

18. 0º - 90º - 180º - 270º Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo na origem e pólos reais não nulos • Ganho estático ? Assimptota de alta frequência com declive de 3*(-20) = - 60dB/dec 3 pólos 0 zeros 0.1 1 100 10 1000 - 20 - 40 - 60 - 80 - 100

19. 0º - 90º - 180º - 270º Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) - – pólo na origem e pólos reais não nulos • Ganho estático ? Assimptota de alta frequência com declive de 3*(-20) = - 60dB/dec 3 pólos 0 zeros 0.1 1 100 10 1000 - 20 - 40 - 60 - 80 - 100

20. + 20dB/dec 3dB 90º 45º Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) • Qual é a contribuição de um factor do tipo (1+jwT) ? • Características assimptóticas de amplitude e fase simétricas relativamente às obtidas para um pólo real com a mesma frequência de corte T=0.1 frequência de corte do zero Um zero de multiplicidade 1 contribui para a fase total com um ângulo que varia, de uma década antes a uma década depois, de 0º a 90º passando a +45º na frequência de corte.

21. Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – um pólo e um zero reais contribuição do zero ganho estático 40dB 20dB -20dB/dec 0.01 10 0.1 1 100 w (rad/s) -20dB Excesso pólos-zeros = 0 Assimptota de alta frequência com declive nulo -40dB 90º 45º 0º 0.01 10 0.1 1 100 w (rad/s) - 45º - 90º Não há pólos nem zeros na origem A fase para muito baixa freq. é nula Excesso pólos-zeros = 0 A fase para muito alta freq. é nula

22. Diagrama de BodeRelação Tempo-Frequência • Ganho de Baixa Frequência ganho estático do sistema Para uma entrada escalão unitário Ganho da Resposta em Frequência à frequência w=0 0.1 0.1 1 10 1 0dB 10 0dB -20dB -20dB -40dB -40dB -20dB/dec +20dB/dec -40dB/dec

23. Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos ganho estático unitário Característica de amplitude Assimptota de baixa frequência Assimptota de alta frequência Declive de –40dB/dec passando em 0dB para w=wn w=wn é a frequência de corte associada ao par de pólos complexos conjugados

24. Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos Para a característica real apresenta um pico de ressonânica frequência de ressonância

25. Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos Para a característica real apresenta um pico de ressonânica em unidades lineares, numa situação de ganho estático unitário Para embora haja sobreelevação na resposta no tempo não há ressonância na resposta em frequência

26. Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos Característica de fase q1 q2 w=wn é a frequência de corte associada ao par de pólos complexos conjugados

27. Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos Como são os diagramas de amplitude e fase para ? Como é o diagrama de Bode (amplitude e fase) para um par de zeros compexos conjugados?

28. Diagrama de BodeSistema com pólos complexos – Tacoma Narrows Bridge • Tacoma Narrows • em Puget Sound, junta da localidade de Tacoma, Washington • Ponte suspensa aberta ao tráfego só alguns meses • Em 7.Nov.1940 a ponte caiu pelo efeito de forças que nela actuavam, em particular do vento • O efeito do vento induziu uma excitação na frequência natural do sistema • O sistema tinha um comportamento (macro) como o de um sistema de 2ª ordem com pólos complexos conjugados http://cee.carleton.ca/Exhibits/Tacoma_Narrows/ http://maclab.alfred.edu/students/harttm/default.html http://www.urbanlegends.com/science/bridge_resonance.html

29. 0.1 1 10 100 90º 0º - 90º Diagrama de BodeSistemas de Fase Não Mínima sistema de fase mínima sistema de fase não mínima a mesma característica de amplitude -10 -1 -1 10 180º 0.1 1 10 100 90º 0º - 90º

30. Diagrama de BodeSistemas de Fase Não Mínima sistema de fase mínima sistema de fase não mínima

31. Diagrama de BodeIdentificação de Sistemas • 3 SLITs • Todos com a mesma característica de amplitude • Características de fase distintas Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3

32. Diagrama de BodeIdentificação de Sistemas • 3 SLITs • Todos com a mesma característica de amplitude • Características de fase distintas Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3

33. Diagrama de BodePólos dominantes e não dominantes a=8 a=3 a=1 a=8 a=3 a=1

34. Diagrama de BodePólos dominantes e não dominantes Sistema 1 1 0.2 1 0.5 Sistema 2 1 0.7 1 0.5 Sistema 3 1 0.5 1.2 0.5 Sistema 4 1.2 0.5 1 0.5 identifique os sistemas