Ridicarea la putere a matricelor

1. Ridicarea la putere a matricelor “…construim,invatam,dezvoltam…”

2. Cuprins - definitia ridicarii la putere a matricelor - proprietati - metodele pentru a ridica la exponent natural a unei matrice de ordinul 2

3. Definitie: • Fie matricea pătratică A € Mn(C) , A≠On. • Prin definiţie A0= In si An = A*A*A*...*A,Vn € N* • Se observă că An+1 = AnA n

4. Proprietati: • Cu ajutorul proprietatii de asociativitate a inmultirii matrcelor se poate demonstra ca au loc urmatoarele reguli de calcul : a)A k * Ap = A k+p, k,p € N* b) ( Ak )p = A kp , k,p € N* Daca A,B € Mn (C) si AB = BA, atunci : c) Ak * Bp = Bp * Ak , k,p € N* d) (A+B)K = CkA + CkAk-1B + …+CkA Bk-1 + CkBk (binomul lui Newton)

5. Pentru ridicarea la exponent natural nℕ, n a unei matrice de ordinul 2 vom pune în evidenţă câteva metode : • Metoda 1 Fie tℝ prin ridicarea la exponentul nℕ* va avea forma nℕ*,rezultat ce se verifică prin inducţie. Folosind acest rezultat vom deduce forma puterii a-n-a pentru matricele

6. Exemple Sa se arate ca puterile An,n≥1 sunt de forma .unde (an)n≥1, (bn)n≥1 sunt siruri convergente la zero. Dacă a2+b2=0ab Solutie :

7. Metoda 2 Orice matrice verifică o ecuaţie de forma (Numita ecuatie caracteristica asociata matricei A) unde TrA = a+d(urma matricei A), det A = ad-bc Se demonstrează prin inducţie că există două şiruri reale unde X1 = 1, Y1 = 0, X2 = TrA,y2 = - det A.Pentru a evidentia relatia de recurenta constatam

8. deci: Solutie : Ecuaţia caracteristică asociată relaţiei de recurenţă de ordinul 2 este:

10. Au participat la realizarea acestui proiect urmatorii elevii ai grupei 4 din clasa a XI-a B: - LUNG FLORIN - POP CLAUDIU - BORSAN PETRUTA

11. SFARSIT