ESTIMATION IN THE LESS THAN FULL RANK MODEL

1. ESTIMATION IN THE LESS THAN FULL RANK MODEL KELOMPOK 2 : ANISA ZURAIDA(11.6544) AYU KOMALA DEWI (11.6572) HASRAT IFOLALA ZEBUA (11.6690) I KOMANG DEDDY SURYA PUTRA (11.6702) NITA APRILIA (11.6819) SILVIA HANIVAH PARINDURI (11.6904) YAMANORA SYLVIA ROSALIN (11.6956)

2. Pada chapter ini kita menganggap bahwa model todaklah memiliki rank penuh. Model tersebut dapat dituliskan dengan di mana X adalah matriks berordo nxp dengan ordo r dan r < p. Implikasi dari hal ini tentunya adalah X’X tidak memiliki rank penuh dan singular. Karena matriks tersebut tidak memiliki invers, teknik pengembangan untuk full rank model tidak lagi dapat diterapkan.

3. 5.1 LESS THAN FULL RANK MODEL Dalam statistika terapan, analisis of varians (anova) sering diperkenalkan dengan terlebih dahulu menganggap model klasifikasi satu arah (one-way model) dengan efek tetap (fixed effects). Model ini muncul dalam percobaan pada pusat perhatian pada k populasi. Populasi bisa muncul dari pengelompokan alami atau bisa juga merupakan hasil dari penerapan k perlakuan pada sebuah kelompok dengan objek yang serupa pada permulaan dari percobaan tersebut.

4. Sebagai contoh, seorang peneliti medis terrtarik untuk membandingkan tiga penghilang rasa sakit untuk keefektifan dalam penyembuhan penyakit arthritis; seorang ahli biologi mempelajari efek dari empat perlakuan percobaan yang digunakan untuk mempengaruhi pertumbuhan tanaman tomat; dan lain sevagainya. Dalam setiap kasus, satu factor dipelajari pada k preselected levels. Setiap level diperkirakan sebagai sebuah “treatment.” Model umumnya adalah di mana k merupakan banyaknya treatment atau level yang dilibatkan dalam percobaan dan ni merupakan banyaknya respon yang tersedia pada level ke-i. dalam notasi matriks, model ditunjukkan dalam bentuk

5. Ada beberapa perbedaan yang kentara dan beberapa yang tidak terlalu kentara di antara model full rank yang dipelajari sebelumnya: • Dalam full rank model diasumsikan bahwa parameter dispesifikasikan dalam model yang unik. Dalam model dengan rank kurang dari penuh umumnya terdapat banyak set bilangan real yang tak terbatas yang menggambarkan system. • Dalam full rank model, X’X adalah matriks nonsingular. System dari persamaan normal hanya memiliki satu solusi, yaitu Dalam model rank kurang dari penuh yang umum terdapat banyak solusi yang tak terbatas untuk system persamaan normal.

6. 3. Dalam model full rank, semua fungsi linier dari β0, β1, β2, …, βk dapat diestimasi secara tak bias; dalam model rank kurrang dari penuh,hal ini tak dapat dibenarkan. Contoh 5.1.1 Model tersebut menunjukkan bahwa sumber variasi pada respon adalah acak di sekitar µ+τi. Untuk melihat bahwa parameter tidak teidentifikasi, dimisalkan,

7. Jika µ = 2, maka τ1 = 8, τ2 = 10, dan τ3 = 6. Jika µ = 3, maka τ1 = 7, τ2 = 9, dan τ3 = 5. Karena kolom pertama dari matriks X dapat ditunjukkan sebagai jumlah dari kolom 2, 3, dan 4, dan tiga kolom terakhir adalah independen secara linier, rank X adalah 3 dan X’X adalah matriks 4x4 dengan rank 3. Maka kasus tersebut adalah kasus kurang dari rank penuh, di mana X’X adalah matriks singular dan persaman normal, memiliki solusi yang tak terbatas.

8. 5.2 A POSSIBLE SOLUTION – REPARAMETERIZATIONI Sebuah metode yang sering digunakan dari pendekatan model dengan rank kurang dari penuh adalah reparameterization. Dalam moetode ini, parameter model ditentukan kembali dengan mengkombinasikan beberapa parameter menjadi satu pada sebuah cara di mana matriks baru yang dibentuk memiliki rank penuh.

9. Contoh 5.2.1 Anggaplah model klasifikasi satu arah dengan k=3. Bentuk matriks dan vector dari parameter untuk model ini adalah

10. Xold memiliki rank tidak penuh. Pada model tersebut dilakukan parameterisasi kembali dengan menentukan ttiga parameter baru yaitu µ1, µ2, µ3, dengan Dengan model baru berupa Bentuk matriks dan vector dari parameter untuk model baru adalah

11. Ingatlah bahwa X berordo Nx3 dengan rank = 3 di mana yang sekarang memiliki rank penuh. Teori yang dikembangkan pada chapter 3 dapat diterapkan untuk menyimpulkan bahwa Di mana,

12. Fungsi linier dari µ1, µ2,dan µ3, fungsi dari t’β, diestimasi dengan t’b, fungsi linier corresponding dari rata-rata masing-masing sampel. Sebagai contoh, fungsi linier 2µ1 - µ2 - µ3 diestimasi dengan . jika pengasumsian model biasanya dilakukan di sini, maka diasumsikan bahwa ε berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan varians . Hal ini ekuivalen dengan pengasumsian bahwa sampling berasal dari tiga populasi yang berdistribusi normal dengan rata-rata masing-masing µ1, µ2, dan µ3 dan varians umum . Varians umum tersebut dapat diestimasi dengan s2. Ingat kembali bahwa

14. Seperti dalam pembelajaran, s2 biasanya dituliskan dengan “pooled” variance. Hal ini ditunjukkan sebagai rata-rata tertimbang dari varians sampel yang tersedia. Dalam hal ini dapat ditunjukkan bahwa, Seperti yang kita lihat, memungkinkan bagi kita untuk bekerja pada model dengan rank kurang dari penuh dengan memparameterkan kembali ke dalam model rank penuh dan kemudian menerapkan teori yang telah tersedia.

15. Pengantar invers bersyarat untuk menemukan metode umum untuk menangani kurang dari full rank Model beberapa teorema dan definisi dari bidang aljabar linear harus ditinjau. ingat bahwa bentuk sistem Ax = g

16. dimana A adalah matriks n x p bilangan real, x adalah vektor p x 1 yang tidak diketahui, dan g adalah vektor p x 1 bilangan real yang merupakan sistem persamaan yang linier diketahui. jika sistem tidak memiliki solusi dikatakan tidak konsisten, jika tidak konsisten. Maka setiap sistem tersebut, harus memegang tepat satu dari tiga hal : 1. sistem konsisten 2. sistem ini konsisten dan memiliki tepat satu solusi 3. sistem ini konsisten dan memiliki banyak solusi

17. Teorema 5.3.1 berguna dalam memeriksa sistem untuk konsistensisistem Ax = g konsisten jika dan hanya jika rank [A ¦g] adalah sama dengan rank A bukti asumsi bahwa sistem konsisten. Maka setidaknya ada satu vektor x0 sehingga Ax0 = g. Jelas bahwa r(A) ≤r( [A ¦ g] ). Ingat bahwa r([A ¦ g)] = r ([A ¦ Ax0]) = r (A[I ¦ x0]) r (A[I ¦ x0]) ≤ r(A) r(A) ≤ r([A ¦ g]) ≤ r(A)

19. ide ini memainkan peran penting dalam teori model linier. khususnya, persamaan normal (X’X)b = X’y merupakan sistem persamaan linear yang mudah untuk menunjukkan bahwa sistem ini konsisten, sehingga menunjukkan bahwa persamaan normal yang terkait dengan model linier selalu memiliki setidaknya satu solusi. Teorema 5.3.2 Xβ + ε menjadi model linier . maka sistem merupakan persamaan yang normal (X’X)b = X’y adalah konsiten

20. Pembuktian Untuk melihat bahwa sistem adalah konsisten, itu cukup untuk melihat dari teorema 5.3.1 Jelas bahwa r(X’X)≤r([X’X ¦ X’y]). r([X’X ¦ X’y])=r(X’[X ¦ y]) ≤r(X’) ≤r(X’X) Sehingga menunjukkan bahwa r(X’X)≤r([X’X ¦ X’y])≤r(X’X) ini hanya bisa berlaku jika r([X’X ¦ X’y])=r(X’X)

21. dari teorema 5.3.1 sistem persamaan normal adalah konsisten seperti yang telah ditunjukkan sebelumnya, dalam model rank full sistem persamaan normal memiliki tepat satu solusi; jika kurang dari model rank full, banyak solusi untuk sistem yang ada. masalah mendesak adalah untuk menemukan metode umum untuk memecahkan persamaan normal kurang dari model yang rank full. untuk melakukannya, invers bersyarat diperlukan definisi 5.3.1 misalkan A matriks n x p. matriks Acadalah A Matrik p x n sehingga AAcA=A disebut invers bersyarat untuk A

26. CONDITIONAL INVERSES AND THE NORMAL EQUATIONS Invers bersyarat sangat penting karena mereka dapat digunakan untuk memecahkan sistem konsisten bentuk. Ax = g Karena persamaan normal untuk setiap model linier konsisten dan menganggap formulir ini, invers bersyarat menyediakan metode untuk memecahkan persamaan normal dalam waktu kurang dari model yang full rank. untuk melihat bagaimana invers bersyarat hal ini mempertimbangkan Teorema 5.3.4. Teorema 5.3.4. Biarkan Ax= g konsisten. maka x = Acg adalah solusi untuk sistem di mana Ac dalah setiap invers bersyarat untuk A.

27. Bukti Biarkan Ax = g konsisten dan Ac menunjukkan setiap terbalik bersyarat untuk A. menurut definisi, AAcAx = Ax Dengan asumsi, Ax = g. Substitusi, AAcg = g Biarkan xo = Acg. Maka Axo = g, menunjukkan bahwa xo adalah solusi system. Aplikasikan teorema ini pada konteks Model Linear , akan sangat mudah melihat bahwa b = (X’X) cX’y adalah solusi untuk system berdistribusi normal (X’X)b = X’y. Setiap terbalik bersyarat akan menghasilkan solusi. Namun, dalam waktu kurang dari Model peringkat penuh solusi aktual yang diperoleh tergantung pada pilihan (X'X) c; berbeda bersyarat invers menghasilkan solusi yang berbeda.

29. Teorema 5.3.5 memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa setiap invers bersyarat benar-benar menghasilkan jumlah tak terhitung solusi, dalam kurang dari full rank Model, selain itu menghasilkan kuadrat terkecil estimator Teorema 5.3.5 Ax=g konsisten dan Acmenunjukkan invers bersyarat A .maka X0=Acg+(I-AcA)z adalah solusi untuk sistem dimana z adalah vektor p x 1 bukti berasumsi bahwa Ax = g konsisten dan A ' menunjukkan invers bersyarat A. X0 =Acg+(I-AcA)z AX0 =A[Acg+(I-AcA)z] =AAcg+A(I-AcA)z Diketahui bahwa Acg merupakan solusi sistem, maka AcAg = g. kita memperoleh Ax0 =g+(A-AAcA)z Dari definisi, AAcA=A maka Ax0 =g+(A-A)z=g dari ini, dapat disimpulkan bahwa x0 adalah solusi untuk sistem dalam konteks model linier, teorema 5.3.5 menyiratkan bahwa setiap vektor dalam bentuk b0=(X’X) cX’y+[I-(X’X) c(X’X)]z dimana (X'X) cmerupakan invers bersyarat X'X dan z adalah adalah solusi untuk persamaan normal. jika z = 0, maka kita mendapatkan solusi yang diperoleh melalui theore 5.3.4, jika X'X adalah full rank, maka kita memperoleh penduga kuadrat terkecil dikembangkan dalam bab 3.

31. Teorema 5.3.6 memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa setiap solusi untuk sistem yang konsisten dapat dinyatakan dalam setiap invers bersyarat. maka, dalam prakteknya, hanya satu invers bersyarat perlu ditemukan Teorema 5.3.6 Ax = g konsisten dan Acinvers bersyarat A. X0 akan ada solusi ke sistem. Kemudian X0=Acg+(I-AcA)z Dimana z=(I-AcA)X0 Bukti Ax=g konsisten dan X0 merupakan solusi dari system z=(I-AcA)X0 subtitusikan A’g+(I-A’A)z = Acg+(I-AcA) (I-AcA)X0 = Acg+(I-AcA)2X0 (I-AcA) idempoten, sehingga = Acg+(I-AcA) X0 = Acg+X0-AcAX0AX0=g Acg+(I-A’A)z = Acg+X0-Acg=X0 X0 solusi telah dinyatakan dalam bentuk yang diinginkan implikasinya terhadap model linier adalah bahwa setiap solusi untuk persamaan normal dapat dinyatakan dalam setiap invers bersyarat (X'X) c. ide ini diilustrasikan dalam contoh numerik 5.3.4

34. 5.4. Pengantar Estimability Dalam less than full rank model vektor β tidak dapat diestimasi secara unik. Ada banyak pilihan untuk (X’X)c, yang menghasilkan sejumlah solusi dalam persamaan normal. Dengan alasan ini, less than full rank statistical model bukan tertuju pada β tapi pada fungsi linier dari β. Dengan ini fungsi dari bentuk t’β dimana t’ adalah sebuah vektor dari bilangan riil. Estimator dari t’ β adalah t’b dimana b adalah banyak solusi pada persamaan normal. Permasalahannya b akan menghasilkan estimasi yang berbeda dari t’β.

35. DEFINISI 5.4.1 TEOREMA 5.4.1 Misal y = xβ + ε dimana X adalah n x p dari rank r ≤ p. E[ε] = 0, dan varians ε = σ2i. Fungsi t’β dapat dikatakan estimable jika terdiri dari vektor c pada E[c’y] = t’β • Misal y = xβ + ε dimana X adalah n x p dari rank r ≤ p. E[ε] = 0, dan varians ε = σ2i. Untuk menjadi estimable, harus terdiri dari kombinasi respon y1, y2, ...yn. Harus mempunyai nilai harapan t’β. Nilai tersebut harus menjadi linier unbiased estimator. Syarat dan kondisi sesuai untuk t’β agar menjadi estimable adalah dimana terdiri dari sebuah solusi untuk sistem (X’X)z = t.

36. Bukti : Asumsikan sebuah penyelesaian zo dimasukan ke dalam sistem(X’X)z = t sehingga (X’X)zo = t dan z’oX’X = t’. Misal c’ = z’oX’. MakaE[c’y] = E[z’oX’y] = z’oX’ E[y]Berdasarkan bentuk asumsi, E[y] = X β. Substitusikan sehingga, E[c’y] = z’oX’Xβ = t’βBerdasarkan definisi t’ β adalah estimable. Untuk membuktikan asumsikan t’ β adalah estimable. Berdasarkan definisi vektor co berada dalam E[c’oy] = t’ β tanpa memperhatikan pilihan dari β. Ini menyatakan bahwa c’oE[y] = c’oXβ = t’β untuk setiap pilihan dari β. Ini dapat terjadi hanya jika c’o = t’ atau X’co = t. Dengan Demikian co adalah sebuah penyelesaian dari sistem X’c = t. Berdasarkan teorema 5.3.1.r(X’) = r ([X’ ¦ t])

37. [X’X ¦ t] = [X’ ¦ t]  Pada saat rank dari produk kurang dari atau sama dengan rank dari tiap faktor, sehingga dapat dihitung : r ([X’X ¦ t]) ≤ r ([X’ ¦ t]) = r(X’) = r(X’X)Penambahan kolom ke matriks tidak dapat menurunkan ranknya, r ([X’X ¦ t]) ≥ r (X’X). Ini dapat terjadi hanya jika, r ([X’X ¦ t]) = r(X’X)Berdasarkan teorema 5.3.1, sistem (X’X)z = t mempunyai solusi.

38. Teorema 5. 4. 2Misal y = Xβ + ε dimana X adalah n x p dari r ≤ p, E[ε] = 0, dan var ε = σ2I. Fungsi t’β adalah estimable jika dan hanya jika t’ (X’X)c (X’X) = t’ dimana (X’X)c adalah sembarang conditional inverse untuk X’X.

39. Bukti • Asumsikan bahwa t’(x’x)c (X’X) = t’ dan oleh karena itu • (X’X)[(X’X)c]’t = t. Berdasarkan property 3 dari conditional inverses, • (X’X)( X’X)c t = t • Ini menyatakan bahwa (x’x)c t adalah sebuah solusi untuk sistem (X’X) z = t. Berdasarkan teorema 5.4.1 t’β adalah estimable. Untuk membuktikannya, asumsikan bahwa t’β adalah estimable. Lalu dengan teorema 5.4.1 dimana solusi untuk sistem (X’X)z = t. Dengan teorema 5.3.4 (X’X)c t adalah solusi untuk sistem. Substitusikan, sehingga kita memperoleh : • (X’X) (X’X)c t = t • Ambil transpose dan catat bahwa [(X’X)c]’ =(X’X)c, sehingga dapat disimpulkan bahwa : • t’(X’X)c (X’X) = t’

40. Contoh 5.4.1 Berdasarkan sistem linear pada contoh 5.3.4. maka (X’X) = dan (X’X)c = Kita kalikan, diperoleh (X’X)c (X’X) = Untuk melihat β0 adalah estimable, kita bisa menulis parameter β0 = t’ β dimana t’ = . Maka t’(X’X)c (X’X) = = ≠ t’

41. Dari hasil tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa β0 tidak estimable dan karenanya β tidak estimable. Untuk melihat jika β1 estimable, tulis β1 sebagai β1 = t’ β dimana t’ = . t’(X’X)c (X’X) = = = t’ Parameter tersebut tidak estimable. Sebuah penghitungan cepat akan menunjukkan bahwa β2 juga adalah non estimable. Sekarang anggap fungsi β1 – β2. Fungsinya dapat ditulis : β 1 – β2 = t’ β Dimana t’ = . kita kalikan, diperoleh t’(x’x)c (X’X) = = = t’ Teorema 5.4.2 menunjukkan bahwa β 1 – β2 adalah estimable. Sebagai awal menandai, dalam bagian fungsi linear dari perhatian para statistisi ini adalah invariant untuk memilih solusi untuk persamaan normal. Dikatakan bahwa property ini mengikat dugaan dari estimability. Lemma 5.4.2 menunjukkan kita tentang establish hasilnya.

42. Misal y = Xβ + ε dimana X adalah n x p dari rank r ≤ p, E[ε] = 0, dan varians ε = σ2I. Linear unbiased estimator yang paling baik dar semua estimable function t’β adalah z’ X’ y dimana z adalah sebuah solusi dari (X’X)z = t. LEMMA 5.4.1

43. Bukti : Asumsikan linear unbiased estimator yang terbaik dari t’ β adalah k’ y. Misal z0 menunjukkan solusi (X’X)z = t. Tulis k’ dalam bentuk k’ = z’0 X’ + c’ harus ditunjukkan bahwa c = 0. Karena k’ y adalah unbiased estimator dari t’ β. E[k’ y] = k’ E[y] = k’ Xβ = t’β. Substitusikan bentuk k’, sehingga dapat diperoleh (z’0 X’ + c’) Xβ = (z’0 X’ X + c’ X)β = t’β Karena z0 solusi dari sistem (X”X)z = t, (X’X) z0 = t dan z’0 X’X = t’. Karenanya (t’ + c’ X) β = t’β Dari bentuk tersebut dapat disimpulkan bahwa c’X= 0’. Agar k’ y menjadi the best linear unbiased estimator untuk t’β, variansnya tidak boleh lebih besar dari banya linear unbiased estimator lainnya dari t’β.

44. Sekarang var (k’y) = E[(k’y – t’β)2] = E[(k’y – t’β)(k’y – t’β)’] Karena y = Xβ + ε, var (k’y) = E{[k’(Xβ + ε) – t’β][k’(Xβ + ε) – t’β]’} Misalkan k’ = z’0 X’ + c’ dimana c’X = 0’. Sehingga variansnya menjadi var (k’y) = E{[ z’0X’Xβ + c’Xβ + z’0X’ε + c’ε – t’β] . [z’0X’Xβ + c’Xβ + z’0X’ε + c’ε – t’β]’} = E{[ z’0X’Xβ + z’0 X’ ε + c’ε – t’β][ z’0X’Xβ + z’0X’ε + c’ε – t’β]’} = E{[ z’0X’Xβ + k’ε – t’β][ z’0X’Xβ + k’ε – t’β]’} Gunakan z’0X’X = t’, maka var (k’y) = E{[t’β + k’ε –t’β][t’ β + k’ε – t’β]’} = E[(k’ε)(k’ε)’] = E[k’ε ε’k] = k’E[ε ε’]k

45. Berdasarkan definisi, E[ε ε’] = var ε = σ2I. Karenanya var (k’y) = σ2k’k Dimana k’ = z’0X’ + c’. Substitusikan, sehingga kesimpulan yang diperoleh var (k’y) = σ2( z’0X’ + c’)(Xz0 + c) = σ2( z’0X’Xz0 + z’0X’c + c’Xz0 +c’c) Karena c’X = 0’, var (k’y) = σ2(z’0X’Xz0 + c’c) karena z’0X’Xz0 ditetapkan dalam nilai, var (k’y) minimum ketika c’c minimum. Karena c’c = , minimum terjadi ketika ci = 0, i = 1, 2, ... , n. Maka var (k’y) minimum pada saat c = 0 terbukti.

46. TEOREMA GAUSS-MARKOFF Lemma 5.4.1 digunakan terutama untuk establish teorema 5.4.3. Teorema ini adalah teorema Gauss-Markoff yang dapat diterapkan untuk less than full rank model, dengan full rank model menjadi spesial casenya (lihat teorema 3.2.3). hal ini memberikan kita kesimpulan 2 hal. Pertama, menunjukkan bahwa jika t’β adalah estimable maka the best linear unbiased estimate t’β = z’X’y adalah invariant untuk memilih z dimana z adalah solusi dari system (X’X)z = t. Maka, the best linear unbiased estimate dari t’β adalah unique. Kedua, bagian dari pembuktian tersebut menunjukkan bahwa t’β = t’b dimana b adalah banyak solusi untuk persamaan normal. Jadi, the best linear unbiased estimate dari t’β sebenarnya adalah t’b dan invariant untuk memilih b sebagai claim pertama.

47. Teorema 5.4.3(Teorema Gauss-Markoff) misal y = Xβ + ε dimana X adalah n x p dari rank r ≤ E[ε] = 0, dan varians ε = σ2I. Misal t’β estimable. Maka banyak solusi untuk system (X’X)z = t menghasilkan estimasi yang sama dari t’β. Selanjutnya, this best linear unbiased estimate dari t’β dimana b adalah banyak solusi untuk persamaan normal. Bukti Asumsikan bahwa z0 dan z1 adalah tiap solusi untuk sistem (x’x)z = t jadi (x’x)z = t, (x’x)z1 = t, dan z’0x’x = z’1x’x = t’. Misal b merupakan banyak solusi untuk persamaan normal dan catatan bahwa (x’x)b = x’y. Anggap estimasi z’0x’y dan z’1x’y. Maka Z’0x’y = z’0(x’x)b = t’b Dan Z’1x’y = z’1(x’x)b = t’b Dari sini dapat diambil kesimpulan bahwa Z’0x’y = z’1x’y The best linear unbiased estimate dari t’β adalah unique. Selanjutnya the unique estimate dari t’β adalah t’b dimana b adalah banyak solusi untuk persamaan normal.

48. Contoh 5.4.2 Anggap sistem pada contoh 5.4.1 ditunjukkan dalam fungsi linear t’β = β = β1 – β2 adalah estimable. Dalam contoh 5.3.3 ditunjukkan bahwa b = dan b0 = adalah tiap solusi untuk persamaan normal. Teorema 5.4.3 menjamin bahwa the best linear estimate dari t’β adalah unique. Selanjutnya, b atau b0 atau banyak solusi lainnya untuk persamaan normal dapat digunakan untuk menjamin estimasi ini. Disini, catat bahwa t’β = = -2 dan t’b0 = = -2 hasilnya seperti yang diharapkan, yaitu sama.

49. Dalam sesi pendugaan estimability yang sudah dikembangkan dan udi dari estimability diperoleh. Terdapat point penting untuk mengingat dalam aplikasi selanjutnya sebagai berikut : Dalam less than full rank model interest centers di fungsi estimable dari bentuk t’β. Fungsi estimable dapat diestimasi dengan unik. Estimasi unique dari fungsi-fungsi yang sedemikian rupa adalah t’b dimana b adalah banyak solusi untuk persamaan normal. t’b adalah the best linear unbiased estimator dari t’β.

50. 5.5 Teorema Estimabilita • Theorem 5.5.1jika y = Xβ + ε , dimana X adalah matriks nxp, dengan rank r ≤ p, E[ε] = 0, dan var ε = σ2I. Element dari Xβ adalah estimable. penjelasan 5.5.docx