ELG3575

1. ELG3575 3. La transformée de Fourier, énergie, puissance et densités spectrales

2. Transformée de Fourier d’un signal périodique • Nous pouvons représenter un signal périodique par sa série de Fourier exponentielle complexe. • Supposons que x(t) est périodique avec période T, alors : • Sa transformée de Fourier est donnée par:

3. Exemple

4. 2A/p 2A/p 2A/3p 2A/3p 2A/5p 2A/5p Exemple |X(f)| f -10 -6 -2 2 6 10

5. Réponse en fréquence d’un système linéaire et invariant en temps • Un système linéaire et invariant en temps a une réponse impulsionnelle, h(t). • Pour un signal d’entré x(t), la sortie du système y(t) est • Le spectre de la sortie (son contenu fréquentiel) est Y(f) = F{y(t)} qui est donné par : • où X(f) = F{x(t)} est le spectre de l’entrée et H(f) = F{h(t)} est la réponse en fréquence du système LTI. • La réponse en fréquence du système est aussi donnée par :

6. Exemple H(f) = ?

7. Solution • H(f) = F{h(t)} = 20log|H(f)| 0dB -20dB/decade 1/(2pRC) f

8. Exemple 2 • Trouvez la sortie du circuit quand x(t) = Acos2pfot. • Solution • Le spectre de la sortie est: Y(f)

9. Réponse en amplitude et réponse en phase Le terme est la réponse en amplitude à la fréquence fo du système et est sa réponse en phase à la fréquence fo.

10. Réponse en amplitude et réponse en phase

11. Exemple • La sortie d’un système LTI est y(t) = L(t) pour un entrée x(t) = P(t). Trouvez la réponse impulsionnelle du système. Est-ce que le système est causal? • Solution • Le spectre de la sortie est Y(f) = sinc2(f) et celui de l’entrée est X(f) = sinc(f). • Alors, la réponse en fréquence du système est H(f) = sinc2(f)/sinc(f) = sinc(f). • La réponse impulsionnelle est h(t) = F-1{H(f)} = P(t). • Le système n’est pas causal parce que h(t) ≠ 0 pour toutes valeurs de t < 0.

12. Energie et puissance • La racine carrée moyenne (root mean square – RMS) d’un signal sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T est : • La puissance instantanée P(t) = v(t)i(t), où v(t) est la chute de tension et i(t) est le courant qui produit la chute de tension. • Pour une chute de tension sur une résistance, P(t) = v2(t)/R où R est la valeur de la résistance. Sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T, la puissance moyenne est :

13. Puissance normalisée • La puissance moyenne normalisée (R = 1) est donc : • Si nous prenons l’intervalle de -∞ ≤ t ≤ ∞, l’expression ci-dessus devient :

14. Définition d’un signal de puissance • Définition 3.1 : Le signal x(t) est un signal de puissance si 0 < P < ∞

15. Energie normalisée • Puissance est l’énergie par unité de temps. • Donc, l’énergie moyenne normalisée est donnée par :

16. Définition d’un signal d’énergie • Définition 3.2 : Le signal x(t) est un signal d’énergie si son énergie moyenne normalisée E < ∞.

17. Exemple • Pour chacun des signaux suivants, déterminez de quel type s’agit t’il. Energie, puissance où aucun des deux. • x(t) = Acos(2pfot) • y(t) = P(t) • z(t) = tu(t).

18. L’énergie d’un signal périodique • Si x(t) est périodique avec période T, l’énergie sur une période est : • L’énergie sur N périodes est EN = NEp. • L’énergie moyenne normalisée est • Donc un signal périodique ne peut jamais être un signal d’énergie.

19. La puissance d’un signal périodique • La puissance de x(t) sur une période est : • Et sa puissance sur N périodes est : • La puissance moyenne normalisée est • Donc la puissance moyenne normalisée d’un signal périodique est la puissance sur une période.

20. X*(f) si x(t) est réel

21. Théorème de Parseval • Supposons que x(t) est un signal d’énergie. • Son énergie moyenne normalisée est :

22. Exemple

23. La fonction d’autocorrélation d’un signal d’ énergie • La fonction d’autocorrélation est une mesure de similarité entre une fonction et une version identique décalée en temps par t. • Cette fonction est donné par : • Nous remarquons que • Aussi, on peut constater que

24. Densité spectrale d’énergie • Supposons que Gx(f) = F{jx(t)} • Alors Gx(f) = |X(f)|2.

25. Densité spectrale d’énergie de la sortie d’un système LTI • Pour le système démontré ci-dessous, l’entrée du système, x(t), est un signal d’énergie. • Le système est un système LTI avec réponse impulsionnelle h(t). • La sortie y(t) = x(t)*h(t).

26. Densité spectrale d’énergie de la sortie d’un système LTI • En supposant que la y(t) est aussi un signal d’énergie, nous trouvons sa fonction d’autocorrélation ci-dessous :

27. Densité spectrale d’énergie de la sortie d’un système LTI • Alors Gy(f) est donnée par: • Gy(f) = F{jy(t)} = H(-f)H*(-f)|X(f)|2= H*(f)H(f)|X(f)|2 = |H(f)|2Gx(f)

28. Densité spectrale d’énergie d’un signal décrit la manière que l’énergie est répartie dans le spectre du signal Ey = 2|X(f)|2Df Df en Hz, alors |X(f)|2 en J/Hz

29. Exemple • Trouvez la fonction d’autocorrélation, jx(t), pour x(t) = P(t) et trouvez la densité spectrale d’énergie à partir de jx(t). Démontrez que sa densité spectrale d’énergie est égal à |X(f)|2. Trouvez l’énergie en x(t).

30. Exemple

31. Exemple • Pour t < -1 et t > 1, x(t)x*(t+t) = 0, alors jx(t) = 0. Pour -1 < t < 0, jx(t) est : • Pour 0 < t < 1, jx(t) est :

32. Exemple • La densité spectrale d’énergie de x(t) est Gx(f) = F{jx(t)}. • Si nous trouvons sa transformée de Fourier, nous trouvons que Gx(f) = sinc2(f). • Aussi, F{x(t)} = X(f) = sinc(f) et alors, |X(f)|2 = Gx(f) = sinc2(f).

33. La fonction d’autocorrélation d’un signal de puissance • En suivant les mêmes méthodes que pour les signaux d’énergie, définissons la fonction d’autocorrélation pour les signaux de puissance comme : • Nous voyons que Px = Rx(0).

34. Densité spectrale d’énergie • La transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation F{Rx(t)} = Sx(f) est la densité spectrale de puissance du signal x(t).

35. Exemple • Trouvez la fonction d’autocorrélation et la densité spectrale de puissance du signal x(t) = Acos(2pfot). Trouvez la puissance de x(t) à partir de sa densité spectrale de puissance.

36. Exemple • La puissance Px est :