ELG3575

1. ELG3575 4. Propriétés des signaux d’énergie et de puissance et transformée de Hilbert

2. Signaux d’énergie • Si x(t) est un signal d’énergie avec énergie moyenne normalisée Ex : • y(t) = x(t)×Ae-j2pfot est aussi un signal d’énergie avec Ey = A2Ex ; • z(t) = x(t)×Acos2pfot est aussi un signal d’énergie avec Ez = (A2/2)Ex; (pour fo > Bx où Bx est la largeur de bande de x(t)) • Y(f) = AX(f-fo). Donc Gy(f) = |Y(f)|2 = |AX(f-fo)|2 = A2Gx(f-fo). Ey est donnée par :

3. Signaux d’énergie • Remplaçons f-fo par f’ et on obtient : • Pour z(t) = x(t)×Acos2pfot , il faut noter que z(t) peut être exprimé comme:

4. Signaux de puissance • De la même façon, nous pouvons démontrer que si x(t) est un signal de puissance ave puissance moyenne normalisée Px : • y(t) = Ax(t)e-j2pfot est aussi un signal de puissance avec Py = A2Px ; • z(t) = x(t)×Acos2pfot est aussi un signal de puissance avec Pz = (A2/2)Px; (pour fo > Bx où Bx est la largeur de bande de x(t)).

5. Symétrie de la fonction d’autocorrélation • Si x(t) est un signal réel, sa fonction d’autocorrélation est une fonction paire. • Supposons que x(t) est un signal d’énergie et que x(t) = x*(t), jx(-t) est donnée par : • Remplaçons t-t par t’ et on obtient : • De la même façon nous pouvons démontrer que Rx(t) = Rx(-t) si x(t) est réel.

6. Symétrie de la densité spectrale • Si x(t) est un signal réel, sa densité spectrale est une fonction paire. • Nous savons que sa fonction d’autocorrélation est une fonction paire. • Sa densité spectrale est la transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation. • La transformée de Fourier d’une fonction paire est toujours une fonction paire.

7. Symétrie de la densité spectrale • Supposons que x(t) est un signal de puissance réel avec fonction d’autocorrélation Rx(t). • Sa densité spectrale de puissance est : • Remplaçons t par -u et on obtient

8. Multiplication par cos(2pfot) • Supposons que x(t) est un signal d’énergie et que y(t) = Ax(t)cos(2pfot) (pour fo > Bx où Bx est la largeur de bande de x(t)). • La fonction d’autocorrélation de y(t) est :

9. Multiplication par cos(2pfot) • Similairement, si x(t) est un signal de puissance, la fonction d’autocorrélation de y(t) = Ax(t)cos(2pfot) est : • (pour fo > Bx où Bx est la largeur de bande de x(t)). • Alors Gy(f) = (A2/4)Gx(f-fo)+(A2/4)Gx(f+fo) si x(t) est un signal d’énergie et Sy(f)= (A2/4)Sx(f-fo)+(A2/4)Sx(f+fo) si x(t) est un signal de puissance.

10. Réseaux transformateurs de phase et la transformée de Hilbert • Un signal x(t) est l’entrée d’un réseau transformateur de phase. • La sortie est le signal d’entrée déphasée par une constante q. • Supposons que x0(t) = Acos(2pf0t) est l’entrée a ce réseau. • La sortie y0(t) = Acos(2pf0t+q). • Si nous changeons la fréquence de l’entrée, c'est-à-dire que l’entrée devient x1(t) = Acos(2pf1t), la sortie est y1(t) = Acos(2pf1t+q). • Alors le montant de déphasage est indépendant de la fréquence.

11. Réponse en fréquence du réseau transformateur de phase • Pour x(t) = Acos(2pf0t), X(f) = . • La sortie y(t) = Acos(2pf0t+q) a une transformée de Fourier Y(f) = . • La réponse en fréquence du réseau transformateur de phase est :

12. La transformée de Hilbert • La transformée de Hilbert est un transformateur de phase où q = -90o. • Pour un signal x(t), sa transformée de Hilbert xh(t) est x(t) déphasée par -90o (-p/2 radians). • La transformée de Fourier du signal xh(t) est Xh(f) qui est donnée par :

13. La transformée de Hilbert • La transformée de Hilbert est donnée par : • xh(t) = F{-jsgn(f)X(f)} = x(t)*1/pt

14. Exemples • Trouvez la transformée de Hilbert de • x(t) = Acos(2pfot) et • y(t) = sinc(t) • SOLUTION (a) alors La transformée de Hilbert de x(t) est alors xh(t) =F-1{Xh(f)} = Asin(2pfot).

15. Exemples • SOLUTION (b) • Y(f) = P(f). La transformée de Fourier de la transformée de Hilbert de y(t) est Yh(f) = -jsgn(f)P(f). • -jsgn(f)P(f) = -jP(2(f-¼)) + jP(2(f+¼)), alors yh(t) = Yh(f) j 0.5 f -0.5 -j