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ELG3575. 5. Signaux en bande passante. Pré-enveloppe positive. Soit x ( t ) un signal réel avec une transformée de Fourier X ( f ). Nous définissons x + ( t ) comme la pré-enveloppe positive du signal x ( t ).
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ELG3575 5. Signaux en bande passante
Pré-enveloppe positive • Soit x(t) un signal réel avec une transformée de Fourier X(f). • Nous définissons x+(t) comme la pré-enveloppe positive du signal x(t). • Le spectre de la pré-enveloppe positive est nulle pour les fréquences négatives et proportionnel au spectre de x(t) pour les fréquences positives. • Le spectre de la pré-enveloppe positive est :
Pré-enveloppe positive • Nous pouvons démontrer que X+(f) = X(f) + sgn(f)X(f) = X(f) + j(-jsgn(f)X(f)) = X(f) + jXh(f) où Xh(f) = F{xh(t)}. • Alors
Exemples • Trouvez la pré-enveloppe positive de x(t) = cos(2pfct). • Trouvez la pré-enveloppe de y(t) = sinc(t). • SOLUTION • On sait que xh(t) = sin(2pfct), alors x+(t) = cos(2pfct)+jsin(2pfct). • Alors x+(t) = ej2pfct. • Pour y+(t) il faudra trouver Y+(f). • Y(f) = P(f), alors Y+(f) = 2P(2(f-¼)). Alors y+(t) = F-1{Y+(f)} = sinc(t/2)ej(p/2)t.
Pré-enveloppe négative • La pré-enveloppe négative du signal x(t) est le signal dont son contenu spectral est le spectre négatif de x(t). • On voit que X+(f)+X-(f) = 2X(f), alors x+(t)+x-(t) = 2x(t). • Alors x-(t) = x(t)-jxh(t).
Signaux en bande passante • Le signal x(t) est un signal en bande passante si son spectre est non-zéro dans la gamme de fréquences fc - (B/2) ≤ |f| ≤ fc + B/2 où B est la largeur de bande de x(t) et B < fc.
Pré-enveloppe d’un signal en bande passante • Prenons la pré-enveloppe du signal en bande passante x(t). • |X+(f)| est démontré ci-dessous. • La pré-enveloppe x+(t) = x(t)+jxh(t).
L’enveloppe complexe • L’enveloppe complexe de x(t), , est son équivalent en bande de basse. • C'est-à-dire que le spectre de a la même forme que celui de x+(t), mais centré à f = 0. • Alors,
L’enveloppe complexe • Alors, nous définissons comme l’enveloppe complexe du signal en bande passante x(t). • Nous voyons du spectre de que la largeur de bande de l’enveloppe complexe est B/2 pour un signal en bande passante avec largeur de bande B.
La forme en quadrature d’un signal en bande passante • Si • Alors • Aussi • Alors • Un signal en bande passante peut être exprimé dans la forme • Où et
Exemple 1 • x(t) = Acos(2pfct+f). • Trouvez son enveloppe complexe ainsi que sa forme en quadrature. • SOLUTION • X(f) = (1/2)ejfd(f-fc)+(1/2)e-jfd(f+fc) • X+(f) = ejfd(f-fc) • Alors x(t) = xI(t)cos(2pfct)-xQ(t)sin(2pfct) = cos(f)cos(2pfct)- sin(f)sin(2pfct).
Exemple 2 • y(t) = 100sin(2p(fc-f1)t)+500cos2pfct+100sin(2p(fc+f1)t). • Y(f) = -j50d(f-fc+f1)+j50d(f+fc-f1)+250d(f-fc)+250d(f+fc)-j50d(f-fc-f1)+j50d(f+fc+f1). • Y+(f) = -j100d(f-fc+f1) +500d(f-fc)-j100d(f-fc-f1) • y(t) = 500cos(2pfct)+200cos(2pf1t)sin(2pfct)
