Rosa Celeste Oliveira Joaquim António Pinto

1. Escola Secundária de Valongo 1 de Abril de 2004 Teoria Matemática das Eleições: Geometria e Paradoxos Rosa Celeste Oliveira Joaquim António Pinto

2. Haverá alguma dificuldade em VOTAR? O que pode correr mal quando votamos?

3. Gaius Plinius Caecilius Secundus, Plínio o Jovem (61 ou 62 - 113)

4. Suponhamos que a proporção das preferências era: Perdão - 40% Desterro - 35% Execução - 25% E se a votação fosse apenas entre Perdão e Desterro? Ou apenas entre Perdão e Execução? Ou apenas entre Desterro e Execução? Ou com a agenda: Desterro/Execução/Perdão?

5. Paradoxos O matemático francês Jean-Charles Borda (1733-1799) foi o primeiro a estudar sistematicamente o problema. O que descobriu surpreendeu os seus contemporâneos. Olhando para o sistema eleitoral como um método de agregar opiniões para encontrar uma escolha colectiva, notou que métodos diferentes conduzem a resultados diferentes. O paradoxo de Borda, como veio a ser conhecido, foi muito discutido na época, sem se encontrar uma solução satisfatória.

6. Problemas Analisemos um exemplo em onde quinze pessoas seleccionam a sua bebida preferida entre L (leite), C (cerveja), e V (vinho). As preferências dos eleitores são dadas pela tabela: Então o resultado da maioria (onde cada pessoa vota na sua bebida favorita) é: Aparentemente, o leite é a bebida escolhida! Será mesmo o leite a bebida preferida dos votantes?

7. Do mesmo modo, 9 votantes preferem o vinho ao leite e 10 preferem o vinho à cerveja. Isto cria uma contradição e uma potencial controvérsia entre os votantes, porque estas comparações entre pares sugerem que os eleitores preferem realmente o , o resultado oposto ao da maioria. Se é, seria de esperar que os votantes preferissem o leite à cerveja. Mas como mostra a tabela seguinte, estes votantes preferem realmente a cerveja ao leite. O que correu mal?

8. Analisemos um exemplo semelhante ao apresentado por Borda: O sistema usado nas democracias baseia-se no chamado voto plural, que é mais conhecido pela sigla “Um homem um voto”. Borda apresentou o problema à Academia Real Francesa em 16 de Junho de 1770. Expôs um exemplo no qual 21 votantes escolhiam entre 3 candidatos, onde considerou as preferências relativas de cada votante, isto é a forma como cada eleitor hierarquizava os candidatos e reparou que era possível eleger um candidato que a maioria dos eleitores colocava em último lugar. Bastava para isso que os votos dos outros dois estivessem suficientemente divididos.

9. Sistemas de votação Voto plural A ordenação das alternativas é feita contando, para cada uma, o número de boletins de voto em que esta ficou colocada em primeiro lugar. As alternativas são ordenadas por ordem crescente do correspondente número de votos obtidos. Sistema Sequencial aos Pares com Agenda Depois de acordada uma ordenação preliminar das alternativas, a que se chama uma agenda consideram-se os resultados de eleições de pares de alternativas, pela ordem dada na agenda, eliminando as derrotadas da agenda e prosseguindo até a agenda conter apenas um elemento. As alternativas são finalmente ordenadas por ordem inversa de eliminação da agenda.

10. Expresso, suplemento Economia Sábado, 11 de Maio de 2002 Sistemas de votação Sistema de Hare (1861) Elimina(m)-se, em eleições sucessivas, a(s) alternativa(s) com o menor  número de primeiros lugares, sendo as alternativas ordenadas por ordem  inversa de eliminação. “O SISTEMA de eleição presidencial francês produziu este ano a situação insólita de que a maioria dos franceses possa não se rever neste acto eleitoral. O resultado da lotaria da primeira volta… Este sistema é usado na Irlanda para as eleições presidenciais desde 1938, e apresento de seguida os resultados oficiais da eleição de 1990, para o leitor poder ver como funciona na prática. Neste caso, Mary Robinson ganhou a Brian Lenihanl na segunda contagem, porque a maioria dos eleitores que colocaram Austin Currie em primeiro lugar a tinham colocado em segundo.”

11. Sistemas de votação Contagem de Borda Atribui-se a cada posição do boletim de voto, um número de pontos: 0 para a última, 1 para a penúltima, …, n-1 para a primeira. Os pontos “ganhos” por cada alternativa são totalizadas e as alternativas são ordenadas por ordem crescente de pontos obtidos.

12. Sistemas de votação Marie Jean Antoine Nicolas de CaritatMarquês de Condorcet (1743-1794) Método de Condorcet Os resultados são decididos estritamente nos termos de uma comparação entre pares de candidatos. O vencedor de Condorcet é o candidato que vence todos os candidatos restantes em eleições um contra um.

13. Sistema de votação (im)perfeito… Consideremos, novamente, o perfil envolvendo 15 eleitores e 3 alternativas. Procuremos as ordenações finais, para este perfil, usando cada um dos sistemas eleitorais acima descritos.

14. Conclusão… O resultado de uma eleição pode depender bastante do sistema eleitoral usado! Desafio Arranjar um processo, método ou algoritmo, um sistema eleitoral ou de votação, que decida, a partir do conjunto das listas de preferência, a que se chama o perfil eleitoral, uma ordenação das alternativas que reflicta o melhor possível as preferências dos eleitores.

15. Condição de Pareto (ou de unanimidade): Se a alternativa X ficou colocada acima da alternativa Y em todos os boletins de voto então na lista final deve ter-se . Condições… Numa primeira análise, as seguintes condições parecem ser imprescindíveis para que um sistema de votação democrático traduza as preferências dos eleitores: Critério do Vencedor de Condorcet (CVC): Se existir um vencedor de Condorcet, este deve ser o vencedor da eleição.

16. Condições… Monotonia: Se de uma eleição para outra, envolvendo os mesmos eleitores e os mesmos candidatos, a posição de um dos candidatos for alterada, num ou mais boletins de voto, mas sempre a favor desse candidato, então a sua posição na ordenação final não deve ser inferior à posição em que ficou colocado na primeira eleição. Independência das Alternativas Irrelevantes (IAI): Se em duas eleições distintas, envolvendo os mesmos eleitores e os mesmos candidatos, a ordem relativa de dois dos candidatos não foi alterada em nenhum boletim de voto, então a ordem relativa desses mesmos candidatos no resultado final deve ser a mesma.

17. Condições… Simetrias: Igualdade (ou Anonimato): Permutar as listas de preferência, sem as alterar, não deve ter nenhum efeito no resultado da eleição. Neutralidade: Se todos os eleitores cometerem o erro de trocar as alternativas X e Y, então basta trocar X com Y no resultado final para corrigir o erro.

18. Questão: Será que algum dos métodos satisfaz estas condições? Kenneth Arrow Em 1951, (prémio Nobel da Economia em 1972) provou o seguinte resultado: Teorema: Não existe nenhum sistema de votação que satisfaça simultaneamente as condições de Pareto, IAI e igualdade! Ideia da demonstração: As condições de Pareto e a da Independência de Alternativas Irrelevantes conduzem a uma ditadura!!!

19. Exemplos… O Sistema Sequential aos Pares com Agenda não satisfaz a condição de Pareto! Considere-se o seguinte perfil: Com agenda: ABCD. D CD ACD Tem-se: ABCD D é o vencedor apesar de todos os eleitores preferirem B a D !

20. Considere-se o seguinte par de eleições, em que na segunda delas 3 dos eleitores alteram os seus boletins de voto de para , uma mudança favorável a A, enquanto os outros eleitores não alteram as suas listas de preferências Exemplos… O Sistema de Hare não satisfaz a condição de Monotonia!

21. Exemplos… O candidato A, que ganhou a primeira eleição, perde a segunda quando só houve alterações a seu favor !

22. Resultados: A: 14 A: 14 B: 11 B: 15 C: 8 C: 4 Exemplos… A contagem de Borda não satisfaz IAI! Considere-se o seguinte par de eleições, em que alguns dos eleitores (4) mudam a sua lista de preferências, mas ninguém altera a posição relativa de A versus B. Vê-se assim que a posição relativa de A e B é alterada de uma eleição para a outra.

23. Sistema de votação (im)perfeito II

24. Crítica ao Critério de Condorcet… (Saari) Saari dá um exemplo semelhante ao que se segue, mostrando que o vencedor de Condorcet não é invariante para a “adição de empates”.  + B é o vencedor de Condorcet (50.6%) A é o vencedor de Condorcet (58.5%) Perfil empatado Isto mostra que a condição CVC não é tão indiscutivelmente razoável quanto possa parecer numa primeira análise...

25. Teorema de Saari Suponhamos que a condição IAI do Teorema de Arrow é modificada para que o procedimento dependa não só da forma como cada eleitor ordena cada par de candidatos, mas também da informação que verifica que cada eleitor tem preferências transitivas – em particular, também usa o número de candidatos que cada eleitor ordena entre os dois candidatos específicos. A Contagem de Borda satisfaz esta forma modificada de IAI e as outras condições de Arrow. Mais nenhum método posicional satisfaz essas condições.

26. Quando apenas os três candidatos {A, B, C} são considerados, o resultado de Borda é No entanto, quando consideramos os quatro candidatos o resultado da contagem de Borda passa a ser Contra-exemplo… Consideremos o seguinte perfil: X não é a primeira preferência de nenhum eleitor. Mas, a sua intromissão na eleição inverte a posição de A e C, o último classificado e o primeiro classificado na primeira contagem de Borda… Como dar a volta a este paradoxo? Porque é que a contagem de Borda permite que um candidato mais fraco “deite por terra” o candidato forte?

27. Geometria, Eleições e Paradoxos Segundo Saari a contagem de Borda é a melhor (casos como o anterior raramente acontecem). Analisemos melhor esta contagem para o caso de termos três candidatos, estudar casos com mais de três candidatos é uma generalização simples deste caso. Os métodos que atribuem um número de pontos ao primeiro, ao segundo, e ao terceiro candidato ordenados pela ordem de preferência do eleitor, são chamados métodos eleitorais posicionais. Será que outros pesos, tais como (6; 5; 0) ou (4; 1; 0), em vez da escolha de Borda de (2; 1; 0) não poderão traduzir melhor a vontade dos eleitores em certos casos?

28. Quando normalizados para atribuir um único ponto ao candidato mais preferido de um eleitor, o ponto atribuído define um vector de voto: Por exemplo, os formulários normalizados de (6; 5; 0) e a contagem de Borda são, respectivamente, O sistema plural “um Homem um voto” é representado pelo vector: Qual o sistema representado pelo o vector Matemática Este vector representa o método antiplural, pois um eleitor vota contra o seu candidato menos preferido!

29. Matemática A normalização do Wp torna claro que há uma continuidade de métodos de registo onde cada um é caracterizado pelo peso (o valor de p ) colocado no candidato segundo posicionado de um eleitor. Defrontado com todas estas possibilidades, era natural que os colegas matemáticos de Borda, tais como Laplace, Condorcet, e outros, questionassem qual o método Wp que era óptimo no sentido de que os seus resultados melhor reflectissem as opiniões os eleitores. O debate que começaram continua hoje! Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet, matemático francês, filósofo, e político, acrescentou à controvérsia em 1780, o seu método, que produzia o chamado “vencedor de Condorcet”. Este vencedor estava aceite como escolha universal. Mas tem problemas!!!

30. Matemática Para ilustrar as dificuldades vejamos um exemplo: Uma escola pretende comprar um livro de um lote de três possíveis {A, B, C}. Os 15 membros do Conselho Pedagógico têm que decidir… Uma maneira natural para seleccionar o livro é por eliminação, onde após ter comparado duas escolhas, {A, B}, o vencedor é comparado com a escolha restante, C. Suponha-se que as opiniões do conselho Pedagógico são:

31. Em ambas as eleições o vencedor vence com dois terços dos votos, portanto parece seguro dizer que o resultado da votação do Conselho Pedagógico é: Matemática Contemos os votos:

32. Matemática Embora o resultado pareça ser inquestionável, vamos questioná-lo. Nós já sabemos que C vence A e A vence B, assim só falta determinar se C vence B. Podemos não esperar surpresas, mas… … na verdade encontramos uma: B vence C pelos mesmos dois terços dos votos.

33. Matemática Este perfil define os resultados eleitorais cíclicos, Representando por um grafo esta eleição vemos que não existe nem vencedor nem perdedor de Condorcet! Portanto, seja qual for o candidato votado em último (nesta eleição por agenda aos pares), vence decididamente. Em particular, não há nenhum vencedor ou perdedor de Condorcet. Condorcet compreendeu que os ciclos poderiam acontecer em caso de votação entre pares; ele estudou este comportamento introduzindo o exemplo anterior. Tal exemplo é conhecido agora como um perfil de Condorcet. Os ciclos não permitem seleccionar um candidato “óptimo”!!!

34. Complexidade e Geometria Qual o melhor método? Os estudos no campo da Teoria Matemática das eleições foram retardados pela complexidade do cálculo combinatório envolvido! Uma maneira tradicional para comparar procedimentos é construir perfis que mostrem como um método tem uma falha provocada por outro. Mas para construir exemplos, necessitamos determinar quantos eleitores devemos ter de cada tipo de modo que os resultados provenientes da eleição exprimam o fenómeno desejado.

35. Complexidade e Geometria Questões: Qual é o número mínimo de eleitores necessários para criar particularidades interessantes em eleições? Podem os vencedores de Borda e de Condorcet ser diferentes? Existe alguma explicação para que os resultados de uma eleição mudem com o uso de diferentes vectores Wp? Há perfis dos eleitores onde cada candidato é o “vencedor” para um Wp apropriado? Os exemplos que os suportam são frequentes ou raros? Podemos caracterizar todos os exemplos possíveis?

36. Complexidade e Geometria Procurando respostas… Recentemente, o progresso no estudo da matemática das eleições foi sendo feito com base na procura de respostas para as questões anteriores substituindo o método combinatório tradicional por uma perspectiva geométrica. Nesta apresentação tentaremos mostrar como a geometria reduz assuntos anteriormente complicados a formas mais simples para assim poderem ser apresentados aos estudantes que as podem representar graficamente com equações algébricas elementares.

37. Complexidade e Geometria Donald Saari: Matemático da Universidade de Califórnia em Irvine, tem-se dedicado a estudar os problemas eleitorais. Mostrou, usando a geometria, que pequenas mudanças em qualquer sistema eleitoral podem trazer grandes alterações nos resultados das eleições. Saari é um dos matemáticos e especialistas de ciência política que se têm dedicado a estudar os problemas da chamada escolha pública, uma área que sofreu um grande desenvolvimento na segunda metade do século XX.

38. Geometria(Donald Saari) Tipos de Eleitores O “tipo” de eleitor é definido pela forma como os candidatos {A, B, C} são ordenados. Por conveniência denotem-se os tipos pelos números 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Estes tipos estão reflectidos na geometria do triângulo equilátero, onde cada candidato está identificado como um vértice.

40. Geometria – Exemplos de Condorcet Dos seis tipos de preferências que referimos para três candidatos vamos apenas estudar três tipos. Das vinte hipóteses que temos para escolher três tipos, a nossa escolha recai sobre os tipos que geram o perfil de Condorcet. O perfil de Condorcet é gerado pelos tipos: 1, 3 e 5. Estes três tipos de perfis geram uma configuração simétrica – em moinho de vento – no triângulo considerado.

41. Em vez de trabalharmos com inteiros, dividimos por n de modo que: representem as fracções de todos os eleitores que são de cada tipo. A restrição x+y+z = 1, ou z = 1– (x+y), permite-nos representar todos os perfis possíveis como pontos – racionais – do triângulo: . Para um ponto (x, y) T1, a fracção de todos os eleitores com preferências do tipo 1 e 5 são dadas, respectivamente, pelos valores de x e de y; a fracção de todos os eleitores do tipo3 é dada por 1–x–y. Geometria – Exemplos de Condorcet Consideremos n eleitores. Para cada j, seja nj o número de eleitores do tipo j, o número total de eleitores é então n1+n3+n5 = n.

43. Resultados de eleições de um contra um… Com a Geometria associar perfis com os seus possíveis resultados reduz-se a representar graficamente equações. Estudemos uma eleição {A, B} Por simples análise do triângulo facilmente se vê que só os eleitores do tipo 5 votam em B; todos os outros eleitores estão do lado de A da linha A~B. A~B Consequentemente B vence A se e só se:

44. A análise para os dois pares restantes é idêntica. Numa eleição {A, C} somente os eleitores do tipo 1 preferem A a C e assim A vence C se e somente se Do mesmo modo na disputa {B,C} o candidato C ganha se e somente se: Resultados de eleições de um contra um…

45. Como é fácil determinar os resultados das votações entre pares que ocorrem em cada lado de cada linha tracejada do triângulo T1, sabemos quais os resultados das eleições que estão associados a cada uma das quatro regiões resultantes dos perfis. Por exemplo, a região do extremo direito, com vértice T1(1, 0) está a baixo da linha limite e acima da linha limite assim estes perfis definem o tipo 1, O Triângulo T1

46. O Triângulo T1 O nosso verdadeiro interesse está no triângulo pequeno que sobra no centro, que identifica todos os perfis que causam resultados cíclicos. Para ilustrar como usar a geometria, suponha-se que queremos determinar o número mínimo dos eleitores necessários para construir exemplos para qualquer um dos resultados admitidos. Para o fazermos, observe-se que n, o número total de eleitores, é um denominador comum a x e y. A resposta envolve, então, apenas a procura dos pontos (x, y) em cada região com o menor denominador comum.

47. O Triângulo T1 Pontos (x, y) com denominador comum 2. Como todos os pontos com denominador comum 2 ou são vértices de T1 ou vértices do triângulo pequeno que causa resultados cíclicos, todos os exemplos de dois eleitores ou têm resultados unânimes, ou têm resultados não transitivos envolvendo empates de votos.

48. O ponto em que x = 1, y = 0 e z = 1, define o resultado: mesmo que O Triângulo T1 B~C A~C Podemos ver que bastam dois eleitores para que resultados estranhos possam acontecer em eleições!!!

49. O ponto , corresponde a termos um eleitor de cada tipo!!! O Triângulo T1 Três eleitores… Argumentos idênticos aos apresentados mostram que os pontos nas linhas limite necessitam de quatro eleitores. Consequentemente, bastam-nos quatro eleitores, para criarmos exemplos de todos os resultados entre pares de candidatos.

50. O Triângulo T1 A geometria mostra que resultados estranhos são causados pelo modo como os pontos racionais estão distribuídos dentro de uma região, dependendo da paridade do menor denominador comum. Ilustramos levantando uma outra questão: Podem os ciclos ocorrer se somente um eleitor numa população grande tiver preferências do tipo 3? assim como o ponto (x, y) Com n eleitores, esta condição requer deve satisfazer e estar na região cíclica próximo de Senfor par, só podemos considerar os pontos que não são admissíveis porque são pontos da fronteira do triângulo pequeno. Assim, este comportamento particular ocorre se e somente senfor ímpar e