TRASFORMATA DI FOURIER

1. TRASFORMATADIFOURIER

2. AUTOFUNZIONI S.L.T.I AUTOFUNZIONE : SI “REPLICA” IN USCITA LA STESSA” FORMA DEL SEGNALE IN INGRESSO A MENO DI UNA COSTANTE. SI DIMOSTRA CHE PER UN S.L.T.I. E’ UNA AUTOFUNZIONE  UTILITA’ : SE POSSO DESCRIVERE UN INGRESSO COME COMBINAZIONE LINEARE DI AUTOFUNZIONI ALLORA E’ SEMPLICE TROVARE L’ USCITA (ANCORA COMB. LIN. DI AUTOFUNZIONI).

3. AUTOFUNZIONI (DIMOSTRAZIONE) h(t) S.L.T.I. H(S) : FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (TRASFORMATA DI LAPLACE DI h(t))

4. TRASFORMATA DI FOURIER NELLE TLC E’ PIU’ UTILE RAGIONARE CON S=j (=0)  TRASFORMATA DI FOURIER (PERCHE’ NELLA VAR. “S” SOLO LA PARTE IMMAGINARIA HA UN SIGNIFICATO FISICO :FREQUENZA SEGNALE) : TRASFORMATA DI FOURIER DIh(t)=FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL S.L.T.I.

5. TRASFORMATA DI FOURIER (cont.) TRASFORMATA DI FOURIER (INTEGRALE) [x(t)] ANTITRASFORMATA -1 [X()]=  -1 [X(f)]

6. DIMOSTRAZIONE ANTITRASFORMAZIONE Continua…...

7. ……antitrasformata di Fourier VEDREMO CHE : 1 (t)

8. CONDIZIONI ESISTENZADELLA TRASFORMATA DI FOURIER • CONDIZIONI SUFFICIENTI NON NECESSARIE : • FUNZIONE MODULO INTEGRABILE • OPPURE • SEGNALE AD “ENERGIA” FINITA • ALTRIMENTI : SEGNALE A “VARIAZIONE FINITE” • NON VALE AD ESEMPIO PER LE CURVE FRATTALI Lunghezza finita

9. TRASFORMATA DI FOURIER (PROPRIETA’) NOTA : IN GENERALE L’ ANDAMENTO NEL TEMPO E NELLE FREQUENZE SONO MOLTO DIVERSI (es. ) E’ UNA FUNZIONE COMPLESSA. DALLE FORMULE DI EULERO:

10. TRASFORMATA DI FOURIER (PROPRIETA’)

11. RICHIAMI DI ANALISI FUNZIONI PARI FUNZIONI DISPARI  PRODOTTO DI 2 FUNZIONI PARI  PARI PRODOTTO DI 2 FUNZIONI DISPARI  PARI PRODOTTO DI 1 FUNZIONE PARI CON 1 FUNZIONE DISPARI  DISPARI ES: Sen  FUNZIONE DISPARI Cos  FUNZIONE PARI

12. RICHIAMI DI ANALISI RITARDO t0 > 0 0 0 ANTICIPO 0

13. SEGNALE GENERICO (REALE): E’ PARI IN  (INFATTI SE SI CAMBIA  IN -  NON CAMBIA NULLA) E’ DISPARI E’ PARI  POSSO STUDIARLO PER >0 E’ DISPARI E’ SUFF. FARE GRAFICI SOLO PER >0

14. TRASFORMATA DI FOURIER(PROPRIETA’)  TRASFORMATA DI FOURIER E’ REALE PARI : DISPARI :  TRASFORMATA DI FOURIER PURAMENTE IMMAGINARIA NOTE : <0 NON HANNO SIGNIFICATO FISICO (MATEMATICAMENTE SI) =0 E’ LA CONTINUA DEL SEGNALE :COMPONENTE CONTINUA SE C’E’ COMPONENTE CONTINUA (DA -  A + )  C’E’  .

15. TRASFORMATA DI FOURIER(PROPRIETA’) DIM : Ponendo

16. PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE(TEMPO-FREQUENZA) DALLA SI VEDE CHE UNA “COMPRESSIONE” NEL TEMPO CORRISPONDE AD UNA “DILATAZIONE” NELLE FREQUENZE (a>1), E VICEVERSA.

17. PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE : DURATA NEL TEMPO DEL SEGNALE : DURATA IN FREQUENZA MA ALLORA, IN LINEA DI PRINCIPIO, SOLO I SEGNALI DI DURATA INFINITA POSSONO AVERE DURATA FINITA IN FREQUENZA.

18. BANDA SEGNALE IN PRIMA APPROSSIMAZIONE : DOVE E’ 0 (O COMUNQUE DOVE E’ “SIGNIFICATIVAMENTE”  0). VEDREMO PIU’ AVANTI UNA DEFINIZIONE IN TERMINI ENERGETICI. SOLO 0 Banda base Passa banda BANDA BANDA E’ ANCHE DETTO “SPETTRO DEL SEGNALE”

19. x(t) Passa alto 5% della Energia totale BANDA SEGNALEMETODO DI CALCOLO (BANDA BASE) 1)METODO MATEMATICO : CERCO LA BANDA CHE CONTIENE UNA CERTA PERCENTUALE DELL’ ENERGIA DEL SEGNALE (BANDA = ). 2) METODO SPERIMENTALE : Misuratore di Potenza/Energia

20. TRASFORMATA DI FOURIER  RITARDO ALTERA LA FASE LA FORMULA VALE ANCHE PER “ANTICIPO” MA FISICAMENTE ANTICIPO SPESSO NON HA SENSO (CAUSALITA’).

21. TRASFORMATA DI FOURIER(PROPRIETA’) DIM : ponendo

22. ( ) d « t 1 ( ) pd w « 2 PER DUALITA’ TEOREMA DUALITA’ LA DIMOSTRAZIONE E’ “INTUIBILE” DALLE DEFINIZIONI DI TRASFORMATA ED ANTITRASFORMATA (CAMBIA IL SEGNO E ABBIAMO UN FATTORE 2). ES : 1

23. TEOREMA CONVOLUZIONE E’ MOLTO IMPORTANTE!! NEI S.L.T.I. POSSO FARE PRODOTTO IN FREQUENZA INVECE DI CONVOLUZIONE NEL TEMPO. CIOE’ “LAVORO’ IN FREQUENZA E POI TORNO NEL TEMPO (ANTITRASF.)

24. TEOREMA CONVOLUZIONE DIM :

25.  “ INVERTENDO L’ ORDINE DI INTEGRAZIONE”  TEOREMA CONVOLUZIONE(DIMOSTRAZIONE)

26. TEOREMA CONVOLUZIONE(DIMOSTRAZIONE) POICHE’ : (NON DIMOSTRATA)

27. TEOREMA CONVOLUZIONE PER IL TEOREMA DUALITA’ : NB : TEOREMA CONVOLUZIONE E’ FONDAMENTALE PER LO STUDIO DI SEGNALI E SISTEMI DI TELECOMUNICAZIONE (MA ANCHE IL DUALE E’ IMPORTANTE).

28. TRASFORMATA DI FOURIER HP : x(t) A MODULO INTEGRABILE E A VARIAZIONI LIMITATE.

30. UTILITA’ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER CONSENTE DI STUDIARE IL COMPORTAMENTO DI UN SISTEMA L.T.I. SENZA CALCOLARE LA CONVOLUZIONE. Anziché un integrale di convoluzione, si eseguono 2 trasformate + 1 prodotto + 1 antitrasformata. E’ conveniente se le trasformate di x(t), h(t) e l’antitrasformata del prodotto X()H() sono note (o comunque semplici).

32. COMPOSIZIONE DI BLOCCHI L.T.I. X Y L.T.I. X Y L.T.I. L.T.I. DIM. BLOCCO TOTALE ANCORA L.T.I. ; h(t), H()

33. TRASFORMATE NOTEVOLI • TRASFORMATA DEL RETTANGOLO : SARA’ REALE PERCHE’ x(t) PARI.

34. TRASFORMATA RETTANGOLO (CALCOLO) POICHE’ :

35. TRASFORMATA RETTANGOLO (CALCOLO)

36. INVILUPPO AT w 0 4 p 6 p __ __ p 2 __ T T T TRASFORMATA “RETTANGOLO” ZERI : N.B. : FASE NULLA (x(t) PARI).

37. TRASFORMATA SENO : N.B.PURAMENTE IMMAGINARIA

38. TRASFORMATA COSENO • : DIM :

39. TRASFORMATA TRENO DI IMPULSI : …….. ……. ……. ……. t 0 N.B. : IMPULSI VICINI NEL TEMPO  DISTANTI IN FREQUENZA (PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE)

40. TRASFORMATA COSENO “FINESTRATO” : 1 t

41. COSENO FINESTRATO HP :T>>T0AFFINCHE’ LE DUE SINC NON INTERFERISCANO

42. N.B : NON VALE L’INVERSA. TRASFORMATA DELLA DERIVATA : x(t)  X() DIM :

43. PUO’ ESSERE VISTO COME ES : * TRASFORMATA DELL’ INTEGRALE : N.B. : USANDO LE TRASFORMATE E LE PROPRIETA’ GIA’ VISTE SE NE POSSONO RICAVARE MOLTE ALTRE. t Convoluzione di due rettangoli.

44. TRASFORMATE DI FOURIER +1 t -1 +1 “Gradino unitario” t

45. TRASFORMATE DI FOURIER  > 0 t

47. T T -T -T T T TRASFORMATE DI FOURIER ? 1 1 = * PER IL TEOREMA DELLA CONVOLUZIONE :

48. FILTRO DI HILBERT (QUADRATURA) f

49. FILTRO DI HILBERT 1 2

50. Filtro di Hilbert Trasformata di Hilbert NON CAUSALE DIVERGE NELL’ ORIGINE