Lezioni 1-2) Cenni di metematica, Nozioni di Analisi di Fourier

1. Lezioni 1-2) Cenni di metematica, Nozioni di Analisi di Fourier

2. DEFINIZIONE DI NUMERO COMPLESSO Il concetto di numero complesso è stato introdotto per risolvere comunque una equazione di secondo grado del tipo : che ammette soluzioni nella forma : nel caso sia possiamo esprimere la soluzione nella forma :

3. dove Una volta definita l’unità immaginaria si indica con il termine di numero complesso una qualsiasi coppia di numeri reali ordinati scritti come segue : sono indicati rispettivamente con il nome di parte reale e parte immaginaria del numero complesso. Dato un numero complesso si definisce su complesso coniugato il numero complesso dato dalla seguente relazione :

4. PROPRIETA’ DEI NUMERI COMPLESSI Due numeri complessi si dicono uguali se hanno rispettivamente uguali sia la parte reale che la parte immaginaria : Anche per i numeri complessi valgono le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva : Valgono naturalmente anche le proprietà commutativa ed associativa.

5. e OPERAZIONI DIRETTE SUI NUMERI COMPLESSI Dati due numeri complessi si definiscono rispettivamente loro somma e prodotto i numeri complessi dati dalle relazioni :

6. OPERAZIONI INVERSE SUI NUMERI COMPLESSI Dati due numeri complessi si definiscono rispettivamente loro differenza e quoziente i numeri complessi dati dalle relazioni :

7. Asse Immaginario r b f a Asse Reale RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI I numeri complessi si possono rappresentare su un piano cartesiano nel quale l’asse x rappresenti la parte reale del numero e l’asse y la parte immaginaria, in questa rappresentazione il numero complesso sarà rappresentato quindi da un punto avente come coordinata x la parte reale e come coordinata y la parte immaginaria. Oltre a considerare le coordinate cartesiane del numero complesso possiamo anche considerarne le coordinate polari r e f chiamate modulo e fase del numero complesso ed espresse dalle relazioni :

8. da quanto detto deriva l’espressione del numero complesso in forma di funzioni sinusoidali : si può infine dimostrare che un numero complesso può essere espresso nella forma esponenziale : che implica le seguenti relazioni : E’ interessante notare che il numero complesso z non cambia se alla fase viene aggiunto il fattore 2p, oppure un qualsiasi multiplo intero paro di p. In coordinate polari un punto nel piano complesso Individua quindi infiniti numeri complessi.

9. VETTORI Si definisce vettore un segmento orientato nello spazio cartesiano. Un vettore sarà quindi caratterizzato da una grandezza, detta modulo, e da un verso. Nello spazio cartesiano un vettore applicato nell’origine avrà x,y,z, ed il suo modulo sarà definito dalla relazione: Dati due vettori v1 e v2 si definisce prodotto scalare la grandezza scalare data dalla seguente relazione : Dati due vettori v1 e v2 si definisce prodotto vettoriale un vettore ortogonale al piano di v1 e v2 che ha come modulo la seguente relazione : Un generico vettore di componenti x,y,z, può essere descritto in termini dei tre vettori elementari, chiamati versori, di modulo unitario ortogonali tra loro così definiti :

10. x1*x2+y1*y2+z1*z2 Utilizzando i versori il prodotto vettoriale può essere espresso dalla seguente relazione : E’opportunonotare che il prodotto scalare è nullo se i vettori v1 e v2 sono ortogonali, mentre il prodotto vettoriale è nullo se i due vettori v1 e v2 sono paralleli. E’ anche interessante notare che il prodotto vettoriale è un vettore ortogonale al piano individuato dai vettori v1 e v2. Il prodotto scalare può essere anche calcolato applicando la seguente relazione:

12. SVILUPPO IN SERIE DI TAYLOR

13. MATRICI Si chiama matrice rettangolare di m righe e n colonne una tabella A costituita da mxn numeri disposti su m righe orizzontali e n colonne verticali : Se m=1 si ottiene come caso particolare un vettore a n componenti : Due matrici A e B si dicono uguali quando tutti i loro elementi sono uguali.

14. Date due matrici A e B si definisce loro somma la matrice C data da : Si definisce il prodotto di una matrice A per una costante c la matrice :

15. Date due matrici A e B si definisce il prodotto AB tra di loro solo se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B, per cui se A è una matrice mxp e B una matrice pxn AB sarà una matrice mxn. Il generico elemento di AB sarà dato dalla seguente relazione : Come esempio eseguiamo la moltiplicazione : Vista la definizione il prodotto AB non gode della proprietà commutativa. Si definisce trasposta di A una matrice i cui elementi siano legati a quelli di A dalla relazione :

16. Una matrice quadrata è una matrice in cui il numero di righe e quello delle colonne sono uguali. Si definisce deteminante di una matrice quadrata 2x2 il numero : Nel caso di una matrice 3x3 il determinate è dato da : In modo più generale il determinante di una matrice nxn si calcola eliminando progressivamente la riga e la colonna cui appartiene un elemento di una qualsiasi riga o colonna della matrice stessa. Successivamente si calcola il determinante della matrice (n-1)x(n-1) ottenuta e si moltiplica per l’elemento eliminato con segno positivo se la somma degli indici dell’elemento è pari, con segno negativo se è dispari. Tale procedura va ripetuta per tutti gli elementi eliminati che appartengono alla stessa riga o alla stessa colonna. Le matrici ottenute dall’eliminazione di righe e colonne si chiamano minori della matrice.

17. Un importante esempio di applicazione del concetto di matrice e di determinante si ha nelle risoluzione dei sistemi di equazioni omogenei di primo grado che sono espressi come un insieme di n equazioni di primo grado in n incognite da risolvere contemporaneamente : Si può dimostrare che un sistema così definito ammette soluzione se il determinante dalla matrice A dei coefficienti è uguale a zero.

18. ANALISI DI FOURIER ANALISI DI SEGNALI DIGITALI

33. CORRELAZIONE E CONVOLUZIONE

35. convoluzione

42. CAMPIONAMENTO ED ALIASING

49. Il teorema della convoluzione ci permette di introdurre il concetto di filtro digitale • Filtrare un segnale significa depurarlo di alcune frequenze che non interessano e che • possono mascherare il fenomeno che siamo interessati a studiare. • Un filtro può essere realizzato sia nello spazio delle frequenze che nello spazio dei • tempi. • Supponiamo di voler eliminare le alte frequenze da un segnale sismico possiamo procedere come nel seguente modo: • Eseguiamo la Trasformata di Fourier del segnale; • La moltiplichiamo nello spazio delle frequenze per una funzione che valga 1 a bassa frequenza e tenda a zero per frequenze più alte (funzione filtro); • Eseguiamo l’antitrasformata per ottenere il segnale filtrato nello spazio dei tempi. • Alternativamente possiamo: • Eseguire l’antitrasformata della funzione filtro; • Eseguire la convoluzione nello spazio dei tempi tra la funzione ottenuta ed il segnale da filtrare. • Le due operazioni descritte forniscono lo stesso risultato.

50. Un filtro che lascia passare le basse frequenze si chiama Passa Basso; un filtro che lascia passare le alte frequenze si chiama Passa Alto; un filtro che lascia passare frequenze intermedie si chiama passa banda. La funzione filtro è una funzione complessa che avrà uno spettro di ampiezza ed uno spettro di fase, i filtri possono sfasare le armoniche del segnale in modo differente in funzione della frequenza, se si vuole evitare questo fenomeno si può filtrare il segnale tramite la convoluzione una prima volta e poi filtrare di nuovo il risultato ottenuto dopo avere invertito l’asse dei tempi. In questo modo gli sfasamenti indotti dal primo filtro verranno eliminati dal secondo filtro che sfaserà in modo opposto tutte le armoniche del segnale.