Journée du 6 janvier 2006

« Résolution de problèmes concrets »Quel niveau de culturepour la fin du collège ? Journée du 6 janvier 2006 « Si 12 boves depascant 3 1/3 jugera prati in 4 septimanis ; et 21 boves depascant 10 jugera consimilis prati in 9 septimanis ; quæritur quot boves despacant 24 jugera in 18 septimanis ? » Isaac Newton, Arithmetica universalis (1707)

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« Ce que l’élève doit emporter de l’école avec le petit bagage de notions pratiques déterminées par la loi, c’est un ensemble de facultés exercées, un esprit juste, un cœur droit, […]. Mais ce qui reste des études bien faites, c’est un jugement éclairé et sain, un cœur ouvert aux sentiments élevés, l’amour du travail et des vertus domestiques, force et sauvegarde des familles et des nations. » (1882)

Hier : « A l’occasion de la fête nationale, un bureau de bienfaisance a réparti 125 fr entre les vieillards, puis fourni aux nécessiteux 275 pains … » (Cours moyen 1921) « Une jeune fille dont la mère était malade ne s’est pas couchée du lundi matin 4 heures au mercredi minuit … » (Cours moyen 1921) « Un ménage d’ouvriers laborieux a dépensé 172 fr par mois. Le père n’a que 120 fr d’appointements par mois ; mais la mère, en prenant soin de sa maison a gagné encore 50 fr par mois ; et une jeune fille, qui a travaillé 25 jours dans ce mois, … » (1887)

« Pour faire de la boisson, une personne a acheté 5 kg. de raisin sec à 0 fr. 40 le kg., 2 kg. 5 de pommes tapées à 0 fr. 70 le kg.. Et 0 kg. 8 de genièvre à 0 fr. 55 le kg. Cette personne ayant mis 100 litres d’eau dans son tonneau, à combien lui revient le litre de cette boisson ? » (1887) « Un ouvrier consomme tous les jours de l’eau de vie pour 0fr25, il dépense en outre 1fr75 au cabaret tous les dimanches, mais sa femme et ses enfants sont presque nus. Il leur suffirait d’une somme de 72fr pour se vêtir convenablement. Combien de jours cet ouvrier mettrait-il à économiser cette somme en s’abstenant de liqueurs alcooliques ? » (1920)

Aujourd’hui : • Lors des élections de délégués, Anne, Bernard et Carole ont obtenu respectivement 12, 8 et 11 voix. Sachant que 2 élèves ont mis des bulletins nuls, calcule le pourcentage des voix obtenues par chacun des candidats. • On estime qu’une hirondelle détruit 50 chenilles par jour. On considère que chaque couple d’hirondelles a 8 petits dont 2 ne survivent pas. Evalue le nombre de chenilles qui pourraient être détruites par 5 couples et leurs petits pendant un jour, puis pendant un mois de 30 jours.

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… / …

1.— La proportionnalité De la règle de trois à la linéarité 2.— Algébrisation : Inconnues, indéterminées et variables 3. Dialectiques… Les deux voies : concret / abstrait

« … partout le souci de marquer que l’enseignement doit être concret, simple, progressif. C’est sur des faits qu’il faut s’appuyer, et c’est à des faits qu’il faut appliquer le calcul et les idées … » (1882) « La plupart de nos élèves devront, dès qu’ils nous aurons quittés, gagner leur vie par leur travail et nous voulons les munir des connaissances pratiques qui, dès demain, leur serviront dans leur métier. » (1923)

1895

72 8 … 7 1895

28,40 35 … 435 1895

7 roses coûtent 11,90 euros, combien coûtent 5 roses ? Une automobile a parcouru 223 km en 2 h 30 mn , combien aurait-elle parcouru, à la même vitesse, en 3 h 10 mn ? b) Combien lui faudrait-il de temps pour parcourir 400 km ? J’ai obtenu une note de 15,5 points sur un total de 23 . A quelle note sur 20 correspond ce résultat ?

1682. Bertrand-François Barrême (1638-1703)

« … multipliez seulement les deux derniers nombres ensembles … … et divisez ce qui viendra par le premier … » 7 roses coûtent 11,90 euros, combien coûtent 5 roses ?

R x C R B B x A A C Euclide,Livre I, Proposition 43 : Dans tout parallélogramme, les compléments des parallélogrammes, autour de la diagonale, sont égaux entre eux.

x.C = B.A x C =B A x C = B.A xx = B x xx = C C

11,90 11,90 Prix d’une rose euros 7 7 Prix de 5 roses 5 x euros La question du sens : — Le retour à l’unité : 7 roses coûtent 11,90 euros, combien coûtent 5 roses ? Mais… « J’ai obtenu une note de 15,5 points sur un total de 23 . A quelle note sur 20 correspond ce résultat ? »

a) Je sais que je dois modifier 15,5 en le multipliant par une fraction obtenue avec les deux autres nombres : Résultat cherché = x15,5 … … b) J’ai le choix entre 20/23 et 23/20 … mais comme j’aurai moins sur 20 que sur 23, je choisis celle qui est inférieure à 1 Donc : Résultat cherché = x15,5 20 23 La question du sens : — L’utilisation d’une fraction : J’ai obtenu une note de 15,5 points sur un total de 23 . A quelle note sur 20 correspond ce résultat ?

x A C C C x = B x = = 1895 B D D D B La question du sens : — formalisme des proportions : — fractions et pourcentages :

28,40 35 … 435 17,32 … La question du sens : — tableau de proportionnalité : — déterminant…

… 7 7 Croix des mélanges Preuve par neuf : Fausse position Produit en croix : 5 … 9 2 1557 … 13 — Importance de la croix ? …

— importance des unités …

x C = 5 x11,90 x… = 7

x C = 5rosesx11,90euros x… euros = 7roses xeuros = x11,90 euros x C = 5 7

x C = 5rosesx11,90euros x… euros = 7roses 11,90 11,90 xeuros = x11,90 euros Prix unitaire : euros / roses 7 7 Prix de 5 roses : 5x x C = 5 7

x C = 5rosesx11,90euros x… euros = 7roses 11,90 11,90 xeuros = x11,90 euros Prix unitaire : euros / roses 7 7 Prix de 5 roses : 5x x C = 5 5 5 15 15 7 7 roses 7 … … … … 11,90 11,90 euros

x C = 5rosesx11,90euros x C = 5rosesx11,90euros x… euros = X xeuros = 7roses 7roses 7rosesxxeuros = 5rosesx11,90euros

1.— La proportionnalité De la règle de trois à la linéarité 2.— Algébrisation : Inconnues, indéterminées et variables 3. Dialectiques… Les deux voies : concret / abstrait

x + (x + 3,65) = 13,85 x + (x + 180) = 6340 1895

Journée du 6 janvier 2006