Presentatie titel

2. Computer Graphics Presentatie titel Technische Informatica www.hogeschool-rotterdam.nl/cmi Rotterdam, 00 januari 2007

3. Les 4 • Les 4 gaat over de hoofdstukken: • 6.1 Meetkundige 3D transformaties • 6.2 3D transformaties van coordinaten • 6.3 Samengestelde 3D transformaties • 6.4 Instantie 3D transformaties • 7.1 Indelingen van Projectie • 7.2 Perspectief projectie • 7.3 Parallelle projectie

4. Inleiding • Manipulatie en constructie van 3-dimensionale grafische beelden vereist het gebruik van 3 dimensionale meetkundige en coordinaat transformaties • Gevormd door basis transformaties: • Translatie • Rotatie • Verschaling • Directe manipulatie met meetkundige transformaties • Stationair via coordinaat transformaties

5. Meetkundige transformaties • Een object Obj in hetvlakkanwordenbeschouwdalseenverzamelingpunten Obj= {P(x,y,z)} • Alshetverplaatstwordt , wordtheteennieuw object Obj’ , waarinallepunten P’(x’,y’,z’) verkregenkunnenwordenuit P(x,y,z) door middel van meetkundigetransformaties

6. Translatie • Bijeentranslatiewordteen object verplaatst over eengegevenafstand van de orginelepositie • De verplaatsing is gegeven door de vector v=aI +bJ+cK • Hetnieuwe punt P’(x’,y’,z’) kangevondenworden door de transformatieTvvanuit P(x,y,z ) • P’= Tv(P) (zie fig 6-1)

7. Translatie • Om transformatiesmogelijktemakenzijnhomogenecoordinatennodig:

8. Verschalen t.o.v. oorsprong • Bijverschalingveranderen de afmetingen van het object • De schaalfactor s bepaald of de verschalingeenvergroting is, s>1 of eenverkleining s<1 • De volgendetransformatie:

9. Verschalen t.o.v. oorsprong • In matrix vorm • Met homogenecoordinaten:

10. Rotatie om de oorsprong • Rotatie in 3 dimensies is veelcomplexerdanbij 2 dimensies • Bij 2 dimensieshebjeeenrotatie met rotatiehoekθ en eenrotatiecentrum P • Bij 3 dimensieshebjeeenrotatiehoek en eenrotatieas • De canoniekerotatieszijngedefinieerdalséén van de positievex,y,z-assen is gekozenalsrotatieas • Dan wordt de constructie van de transformatiegelijkaan die in 2 dimensies (zie fig 6-2)

11. Rotatie om de oorsprong • Rotatieom de z-as • Hierin is θ de rotatiehoek • En K de rotatie as (z-as)

12. Rotatie om de oorsprong • Rotatieom de x-as • Hierin is θ de rotatiehoek • En J de rotatie as (y-as) • Deze wordt verkregen door cyclische permutatie vanuit rotatie om z-as: • Verwissel • x met y (overal waar x staat vul je y in) • y met z (overal waar y staat vul je z in) • z met x (overal waar z staat vul je x in)

13. Rotatie om de oorsprong • Rotatieom de y-as • Hierin is θ de rotatiehoek • En I de rotatie as (x-as) • Deze wordt verkregen door cyclische permutatie vanuit rotatie om z-as: • Verwissel • x met z (overal waar x staat vul je z in) • y met x (overal waar y staat vul je x in) • z met y (overal waar z staat vul je y in)

14. Rotatie om de oorsprong • De richting van de positieverotatiehoek is overeenkomstig de rechterhand-regel met betrekking tot de rotatieas (zie appendix 2)

15. Rotatie om de oorsprong • Rotatieom de z-as • In matrix vorm • Met homogenecoordinaten:

16. Rotatie om de oorsprong • Rotatieom de y-as • In matrix vorm • Met homogenecoordinaten:

17. Rotatie om de oorsprong • Rotatieom de x-as • In matrix vorm • Met homogenecoordinaten:

18. Rotatie om de as L • Dezekanbepaaldwordenuit de canoniekerotaties • Gegeven: De rotatieas L heeft de richtingsvectorV en eenlokatie punt P op L (zie fig 6-5) • Gevraagd de transformatievooreenrotatie van θom L

19. Rotatie om de as L • Erdienen de volgendestappentewordenuitgevoerd: • Eentranslatie van P naar de oorsprong (T-P) • Laat de richting van Vsamenvallen met die van K (Av) (A=alignment =uitlijning) • Roteerθom de as K (Rθ,K) • Maak de richting van KweergelijkaanV (Av-1) • Eentranslatieterug van de oorsprongnaar P (T-P-1)

20. Rotatie om de as L • De transformatiewordtdan: • Rθ,L= T-P-1.Av-1.Rθ,K.Av.T-P • De transformatie Av is beschreven in oefening 6.2 ( zie fig 6-4a en 6-4b en 64-c) • Gegeven is de vector V=aI+ bJ +cK • De volgendetransformatiesmoetenwordenuitgevoerd: • Roteerom de X-as over eenhoekθ1 zodat V roteert in het bovenste xz vlak (vector V1) (fig 6-4b) • Roteer V1 om de Y-as met een hoek –θ 2 zodat V1 roteert naar de positieve z-as (vector V2) (fig 6-4c)

21. Rotatie om de as L • Fig 6-4a

22. Rotatie om de as L • Fig 6-4b

23. Rotatie om de as L • Fig 6-4c

24. Coordinaten transformatie • We kunnenookhet object stilhouden en hetcoordinatensysteemveranderen • We plaatseneencoordinatensysteembij de observator • We bewegen de observator en hetcoordinaatsysteem • We berekenen de coordinaten van het object t.o.v. hetnieuwecoordinatensysteem ( zie fig 6-3) • De verplaatsingbeschrevenwordt door vector V=aI+bJ+cK • Een P(x,y,z) uit het orginelesysteemgaatnaar P’(x’,y’,z’)

25. Coordinaten transformatie • Dan is:

26. Coordinaten transformatie • De afleiding is identiekbij 2 dimensies • Gelijkeafleidingenzijnervoorrotatie en verschaling • De relatietussencoordinaat en meetkundigetransformaties CoordinatenMeetkundig • Translatie: vT-v • Rotatie: θ R-θ • Verschalen:sx,sy,szS1/sx,1/sy,1/sz • De inverse operaties:

27. Samengestelde transformaties • Meercomplexetransformatieswordengebouwdvanuit de basis transformaties met compositie van functies( zie appendix 1) • Voor matrix functies is compositiegelijkaan matrix vermenigvuldiging • De standaard 3*3 matrix kanomgezetworden in een 4*4 matrix ( homogeen)

28. Instantie transformaties • Alseen object gecreerd is met eigencoordinatensysteemkunnen we eencopie of eeninstantieplaatsen in eengrotere scene • Die scene is beschreven in eenonafhankleijkcoordinatensysteem • We kunnendaneencoordinatentransformatieuitvoeren. Ditnoemen we eeninstant transformatie

29. Wiskunde van projecties • Erzijnfundamenteleverschillentussen de echte 3D-wereld en de beschrijving van een 2D plaatje ( projectie) • Projectie is gedefinieerdalseenafbeelding van punt P(x,y,z) op zijnbeeld P’(x’,y’,z’) in hetprojectievlak (view plane) (zie fig 7-1)

30. Wiskunde van projecties • De afbeeldingwordtbepaald door eenprojectielijngenaamdprojector die door P gaat en hetprojectievlaksnijdt in P’ • Hetresultaat is afhankelijk van de ruimtelijkerelatietussen de projectors (zie de klassificatie van projectie) • De 2 basismethodenperspectiefen parallel zijnontworpenomhet basis probleem van presentatie op telossen • Weergevenzoalshet object zichvoordoet en hetbehouden van echtegrootte en vorm

31. Classificatie van projectie • Men kanverschillendeprojectiesmakenafhankelijk van hetbeelddatgewenstwordt • In fig 7-2 is eenclassificatiegegeven van families van perspectieve en parallelleprojecties • Sommigehebbennamen: cavalier, cabinet, isometrisch, enz • Andereprojectieskwalificeren het hoofdtype van eenprojectie ( verdwijnpuntvoor 1 as)

32. Classificatie van projectie

33. Perspectief projectie • Basis principe • De techniek van perspectieveprojectieszijngeneralisaties van hetprincipedat door kunstenaars is gebruiktom 3D weertegeven • Hetoog van de kunstenaarwordtgeplaatst in hetcentrum van projectieen hetdoek ( hetvlak van hetdoek) wordthetview plane • Eenbeeldpuntwordtgevormd door een projector die vanuithet object punt (P1) gaatnaarhetcentrum van projectie (C) (zie fig 7-3)

34. Perspectief projectie

35. Perspectief projectie • Perspectieftekeningenwordengekarakteriseerd door 2 elementen: • Verkorting: Dit is de illusiedatobjecten en lengtenkleinerzijnals de afstand van hetprojectiecentrumtoeneemt ( fig. A geenverkorting, fig. B wel)

36. Perspectief projectie • Verdwijnpunt: De illusiedatparallellelijnensamenkomen in een punt ververwijderd • Dit punt heetverdwijnpunt • Hoofdverdwijnpuntenwordengevormd door parallellelijnenevenwijdigaan de x,y of z-as • Hetaantalhoofdverdwijnpuntenwordtbepaald door hetaantalhoofdassen die het view plane snijden

37. Perspectief projectie

38. Wiskundige beschrijving van perspectieve projectie • Eenperspectieftransformatiewordtbepaald door eenprojectiecentrum en een view plane • Een view plane wordtbepaald door view referentiepunt R en view plane normaal N • Hetobjectpuntwordtbepaald door wereldcoordinaten in P(x,y,z) • Hetprobleem is de beeldpuntcoordinaten P’(x’,y’,z’) tebepalen ( zie fig 7-3)

39. Wiskundige beschrijving van perspectieve projectie • Voorbeeld 1: • De standaardperspectiefprojectie is in fig 7-4 gegeven

40. D(0,y,z) D(0,y’,z) y y’ z d B(0,0,z) O(0,0,0) C(0,0,-d) Wiskundige beschrijving van perspectieve projectie • Het view-plane is hetxyvlak • Projectiecentrum is C(0,0,-d) op de negatieve z-as • Met behulp van driehoek ABC en A’OC wordt : • Zieonderstaandfiguurvoor de verhouding van de y-waarde

41. Wiskundige beschrijving van perspectieve projectie • De perspectieftransformatietussen object en beeldpunt is nietlineair , daaromgeen 3*3 matrix. We gebruikenhomogenecoordinaten • De factor 1/(z+d) kanweggelatenworden want de grootte van de vector is niet van belangmaar de richting • Eenalgemenetransformatie (met n=normaal op vlak en C(a,b,c)= projectiecentrum ) is in opg. 7.5 gegeven

42. Perspectief afwijkingen • Hetproces van perspectiefintroduceertafwijkingen van grootte en vorm • Verkorting Hoe verdereen object weg hoe kleinerhetvooronsverschijnt (zie fig 7-5)

43. Perspectief afwijkingen • Verdwijnpunt: Lijnen van projectie die niet parallel aanhet view plane zijnverschijnenaanons op enig punt op het view plane • Eenalgemenemanifestatie van dezeafwijking is de illusiedat de spoorstaveneen punt aan de horizon bereiken

44. Parallelle projectie • Parallelleprojectiemethodenwordengebruikt door tekenaars en engineers omwerktekeningentemaken van een object , waarbij de schaal en vormbehoudenblijven • De complete presentatie van deze details vereist 2 of meeraanzichten (projecties) van het object op verschillende view planes • Bijparallelleprojectiewordenbeeldpuntengevondenals het snijpunt van het view plane met de projector die getekendwordtvanuit het objectpunt en heefteenvasterichting (zie fig 7-9)

45. Parallelle projectie

46. Parallelle projectie • De richting van de projectie is gelijkvooralle projectors • Orthografischeprojectiewordtgekenmerkt door het feitdat de richting van projectieloodrecht op het view plane is • Als de richtingevenwijdigaan de coordinaatas is, dankrijgen we vooraanzicht, bovenaanzicht en zijaanzicht van technischetekeningen (multiviewtekeningen) • Axonometrischeprojectie is orthografischeprojectiewaarbij de richtingvan projectienietevenwijdigis aan de coordinaatas

47. Parallelle projectie • Nietorthografischeparallelleprojectie ( projectierichtingloodrecht op view plane ) heetOblique paralleleprojectie Multiviewtekening

48. Wiskundige beschrijving van Parallelle projectie • Eenparallelleprojectievetransformatiewordtbepaald door de richting van de projectie vector V en een view plane • Het view plane is gespecificeerd door zijnreferentiepunt R0 en de normaal op het view plane N • Hetobjectpunt P(x,y,z) in wereldcoordinaten • Hetprobleem is omhetbeelpuntcoordinaat P(x’,y’,z’) tebepalen (zie fig 7-9) • Als de projectievectorVdezelfderichtingheeftalsNspreekt men van orthografisch ( andersoblique ( zie fig 7-10)

49. Wiskundige beschrijving van Parallelle projectie

50. Wiskundige beschrijving van Parallelle projectie • Subcatogorie van orthografischeprojectie: • Isometrisch: De projectierichtingheeftgelijkehoeken met alle 3 de hoofdassen • L, B en H op schaal 1/1 • assenkruis met hoeken onder 120° • eenvoudig