M etóda K onečných P rvkov vo výrobných technológiach

1. Metóda Konečných Prvkovvo výrobných technológiach prednáška č. 6

2. Obsah prednášky • MKP v dynamike telies • Základné pojmy v lineárnej dynamickej analýze Rovnice dynamickej rovnováhy telesa Matica hmotnosti Matica tlmenia • Typy dynamických analýz • Modálna analýza Určenie vlastných tvarov kmitania Určenie vlastných frekvencií kmitania

3. MKP v dynamike • Rozdiel medzi statickou a dynamickou analýzou: • zaťažujúce sily sa v čase menia (nestacionárna úloha) • posunutia, rýchlosti, zrýchlenia, deformácie a napätia sú časovo závislé • čas vystupuje ako ďalšia premenná • úlohu riešime v nejakom časovom intervale • rovnica • Ka(t) = f(t) • vyjadruje podmienku rovnováhy telesa v danom časovom okamihu • pre dynamické úlohy je potrebné túto rovnicu rozšíriť o účinok zotrvačných a vnútorných tlmiacich síl

4. MKP v dynamike

5. Základné pojmy • Rovnice dynamickej rovnováhy: • podľa d´Alambertovho princípu zahrnieme zotrvačné sily do MKP formulácie ako objemové sily • kde ü je lokálny vektor zrýchlenia všeobecného bodu prvku • äe je lokálny vektor (zovšeobecnených) zrýchlení uzlových bodov • prvku • re je hustota materiálu prvku

6. Základné pojmy • Matica hmotnosti: • V prvkoch konštrukcie pribudne zotrvačná sila • kde Me je lokálna matica hmotnosti prvku • Ak miesto äe použijeme globálny vektor zrýchlení uzlových bodov prvku äe dostaneme globálnu maticu hmotnosti prvku Me a globálny vektor zotrvačných síl fzeprvku.

7. Základné pojmy Súčtom rozšírených globálnych vektorov zotrvačných síl prvkudostaneme globálny vektor zotrvačných síl konštrukcie fz kde M je matica hmotnosti konštrukcie. Rovnice rovnováhy konštrukcie potom budú mať tvar kde

8. Základné pojmy Ak pri odvodení matice hmotnosti rozdelíme celkovú hmotnosť prvku do uzlov na základe „spriemerovania“ dostaneme tzv. maticu sústredenej hmotnosti prvku (lumped matrix). Pre určitú časť hmotnosti prvku sa predpokladá konštantné zrýchlenie rovné zrýchleniu uzla. Získané matice sú diagonálne. Ak sa pri odvodení uplatňujú interpolačné matice pre hodnoty zrýchlení bodov prvku mimo uzlov prvku, t.j. na aproximáciu zmeny zrýchlenia v objeme prvku sa využíva tá istá matica interpolačných funkcií Ne ako pre posunutia bodov, dostaneme tzv. konzistentnú maticu hmotnosti (consistent matrix).

9. Základné pojmy Matica tlmenia: Podobným spôsobom môžeme do formulácie dynamickej úlohy zahrnúť tlmiace sily, ktorá závisia od rýchlosti bodu telesa. Dynamické rovnice rovnováhy konštrukcie (telesa) budú mať potom tvar kde C je matica tlmenia telesa å je vektor rýchlostí uzlov konštrukcie ke je parameter určujúci tlmiace vlastnosti prvku

10. Základné pojmy Tento parameter je obtiažne určiť a preto sa v praxi globálna matica tlmenia C netvorí z matíc tlmenia prvkov, ale vytvára sa pomocou matíc hmotnosti M a tuhosti K konštrukcie. Často sa predpokladá tzv. proporcionálne (Rayleighovo) tlmenie a potom ako aproximácia reálneho tlmenia telesa, ktoré sa skladá z vonkajšieho tlmenia (odpor prostredia), vnútorného (materiálového) tlmenia a konštrukčného tlmenia. Súčiniteľe a, b sa určujú experimentálne. Vo všeobecnosti: tuhostné tlmenie tlmí viac vyššie frekvencie a menej nižšie, kým pri hmotnostnom tlmení je to opačne.

11. Typy dynamických analýz • Modálna analýza • Harmonická analýza • Spektrálna analýza • Prechodová analýza

12. Metódy riešenia • metódy priamej integrácie pohybových rovníc • explicitné – metóda stredovej diferencie • implicitné – Houboltova metóda • Wilsonova –metóda • Newmarkova metóda – najčastejšie používaná(ANSYS) • metóda superpozície vlastných tvarov

13. Modálna analýza • Cieľ modálnej analýzy: • určenie vlastných frekvencií kmitania • určenie vlastných tvarov kmitania • Využitie modálnej analýzy: • vyhnutie sa neželaným vibráciam v rezonančnej oblasti • naladenie sústavy na vlastnú kruhovú frekvenciu • ako základný prvok pre ďalšie typy analýz

14. Modálna analýza Matematická formulácia problému (tlmenie a zaťaženie nie sú uvažované) čiže riešenie predpokladáme v tvare kde w je vlastná kruhová frekvencia  je vektor vlastných tvarov (módov) kmitania, ktorý obsahuje veľkosť amplitúd zložiek kmitania uzlových bodov telesa nezávislých od času, ale len od počiatočného impulzu, ktorý ich vyvolal

15. Modálna analýza Matematická formulácia prejde na problém vlastných čísiel Pre neupevnené teleso je K singulárna a riešením je aj w = 0 (tuhý pohyb telesa). To vedie na rovnicu K atuh.teleso = 0 čo sa často využíva pri kontrole kvality zvolených prvkov. Pri hľadaní nenulových hodnôt vlastných frekvencií sa úloha redukuje odobraním riadkov a stĺpcov zodpovedajúcich odstráneným stupňom voľnosti potom zovšeobecnený problém vlastných čísel má nenulové riešenia vtedy, ak

16. Modálna analýza Rozpísaním determinantu dostaneme algebraickú rovnicu n-tého stupňa pre výpočet w2. Korene tejto rovnice predstavujú vo všeobecnosti n vlastných čísiel, v tomto prípade n druhých mocnín vlastných kruhových frekvencií telesa w12, w22, ..., wn2 Frekvencii wi potom zodpovedá vektor i - vlastný tvar kmitania telesa pri tejto frekvencií.

17. Modálna analýza Z rovnice vyplýva: Ak Fi je riešením tak aj ci je riešením, t.j. amplitúdy voľného kmitania môžu mať (teoreticky) ľubovolnú hodnotu v závislosti od začiatočného impulzu, ktorý pohyb vyvolal. Preto pri výpočte amplitúd i sústavy pre známu frekvenciu wi amplitúdy normujeme, napr. tak že fin = 1 Dostaneme tak správny relatívny pomer amplitúd uzlov telesa. Absolútne hodnoty amplitúd uzlov sú závislé od spôsobu normovania.

18. Modálna analýza • Na riešenie problému sa používajú v programe ANSYS nasledovné algoritmy • - Block Lanczos (default) • Subspace • Power Dynamics • Reduced • Unsymmetric • Damped (full) • QR Damped

19. Modálna analýza Pri riešení pomocou metódy superpozície vlastných tvarov je potrebné normovať každý vlastný tvar tak, aby alebo Špeciálnou vlastnosťou vlastných tvarov, ktorá sa pri tejto metóde využíva je ich ortogonálnosť vzhľadom na M a K

20. u1 = 0 u2(t) u3(t) 2k k F 1 2 3 2m m Príklad - jednorozmerná netlmená dvojhmotová sústava Vypočítajte vlastné tvary a frekvencie kmitania k = 128 Nm-1m = 1 kg

21. Matica tuhosti a hmotnosti sústavy Dosadením do

22. Po redukcií sústavy rovníc (pre u1 = 0) Dostaneme redukovanú sústavu rovníc Po roznásobení dostaneme kvadratickú rovnicu

23. Výsledkom riešenia sú 2 vlastné frekvencie t.j. Vlastný tvar kmitania (vektor i ) pre i-tu vlastnú frekvenciu určíme z

24. Ak zvolíme normovanief3i = 1 dostaneme 2 vlastné tvary (vektory) pre obe vlastné frekvencie kmitania. Normovanie vzhľadom na M Modálna matica konštrukcie  má potom tvar